2025年重庆市初中学业水平暨高中招生考试数学模拟试卷

重庆市2025年初中学业水平暨高中招生考试 数学试题 (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题題卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式：抛物线ya+如(a≠0)的顶点坐标为（么a),对称销为 2a’4a 2a 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、BC、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。 1.下列四个数中，最大的数是 A.5 B.2 C.-1 D.-6 2.五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看得到的视图是 正面 D 2题图 A B 3.如图，直线AB,CD被EF所截，AB∥CD,EG平分∠AEF,若∠AEF=130°，则∠EGF的度数为 A.65 B.60° C.50° D.25 、E 3题图 5题图 4.若点M(1,m)在反比例函数y=6(x≠0)的图象上，则m的值是 6 R若 C.-6 D.6 5.如图，△ABC和△A,B,C,是以点P为位似中心的位似图形，PA:PA1=1:2,若△ABC的面积为4，则 △AB,C1的面积是 A.8 B.12 C.16 D.18 数学第1页（共6页） 6.2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功.如图是某中学科技小组的同学用形 状大小相同的基本图形“负”按照一定规律正放或反放拼接得到的火箭模型图，第①个模型图中 有4个基本图形，第②个模型图中有6个基本图形，第③个模型图中有8个基本图形，第④个模型 图中有10个基本图形，…，按照此规律，则第⑩个模型图中，基本图形的个数是 A.38 B.40 C.42 D.44 D 3 0 6题图 8题图 7.估计32+√32的值在 A.6和7之间 B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间 8.如图，在矩形ABCD中，点0在BC边上，B0=2C0=2,以0为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰 好经过点D,且交AD于点E,则阴影部分的面积为 A B.Z 9.如图，在正方形ABCD中，P,Q分别是AD,BC上的点（不与点D,C重合），PQ∥AB,BD与PQ交于 点E,取DE的中点P,连接4Q,F0,测哈是的值为 9题图 A.5 B.3 C.2 10.已知整式M:a,x+a-x-+an-2x2++a,x+a,其中n为正整数，a,…,a为正整数，下列说法： ①当M=(3x+2)”时，a一定能被2整除； ②n=5时，ao,a1,a2,a,a4,4,中必有两个数的差是5的倍数； ③若(1+2x)'=ata,x+a2x2++ax2,则a1+a2ta3ta4+a5+a6+a,=3’-l. 其中正确的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横 线上 11.若单项式2x“y2与xy的和仍为单项式，则b-a= 数学第2页（共6页） 12.化学实验课上，每个学生需在“二氧化碳的实验制取与性质”“粗盐的提纯”“溶液的配置”三个 实验中以抽签的方式随机选取1个，则甲、乙两人抽中同一个实验的概率为 13.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2√3，D是BC上一点，∠BAD=15°，DA⊥AE,且AE=AD,BE 交AC于点F,则CF的长度为 13题图 15题图 3x+2 14.若关于x的不等式组{ 4 ≥x-1, 至少有3个整数解，且关于y的分式方程-a-2=4 3-y 有正整 -2(x-a)<x+ y-3 数解，则符合条件的所有整数a的和是 15.如图，△ABC内接于⊙O,AB是⊙0的直径，CD是⊙0的切线，C为切点，且CD∥AB,E为OB的 中点，连接CE并延长交⊙0于点F,连接AD,AF若AC=6万，则BC的长度是 ;AF的长 度是 16.一个四位自然数M=abcd,若M满足M=A·B,A,B是连续的两个两位自然数，且A,B的十位数 字相同，则称这个四位数M为“致广数”.例如：四位数3080.：3080=55×56，.3080是“致广 数”.按照这个规定，则最小的“致广数”是 ;将A放在B的左边组成一个新的四位数V, 设F(0=)c(M=,当F0,C(M的值分别都为整数时，则满足条件的M是 三、解答题：（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推 理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17.(1)计算：（π+1）°+11-31+()1-3an30; (2)先化简，再求值：(m士工)mm,其中m是方程-*-2=0的一个根 I8.自从兼具“低成本”与“高性能”核心属性的DeepSeek-R1开源AI大模型横空出世之后，全球掀 起部署或本地接人DeepSeek这一重磅生成式AI应用的巨浪.某公司接人一款AI软件，先组织 甲、乙两个部门进行了学习，过后为了解员工掌握情况进行了一场测试，现从该公司甲、乙两个 部门中各随机抽取20名员工的成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： A:95≤x≤100，B:90≤x<95,C:85≤x<90,D:85分以下，得分在90分及以上为优秀).下面给出 了部分信息： 甲部门C组员工的分数分别为：85,86,88,89； 乙部门员工的分数分别为：70,74,82,82,86,87,88,88,89,89,89,89,89,92,92,92,95,95,96,96. 数学第3页（共6页） 甲、乙两个部门选取的员工成绩统计表： 部门 平均数 中位数 众数 优秀率 甲 87 a 95 m% 乙 88 89 b 35% 甲部门选取的员工成绩 乙部门选取的员工成绩 条形统计图 扇形统计图 人数 A20% D20% B15% C45% B D组别 18题图 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a= ,b= ,m= (2)若甲部门有280名员工，乙部门有240名员工，估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数： (3)根据以上数据，你认为哪个部门员工对培训知识的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理 由即可) 19.学习了平行四边形的相关知识后，兴趣小组的同学进行深入研究后发现，平行四边形一组对角的 平分线与另一组对角的对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相等，可利用证明三角形全 等得到此结论，根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在口ABCD中，∠BAD的平分线交对角线BD于点E.用尺规作LBCD的平分线交BD 于点F(不写作法，保留作图痕迹)； (2)已知：在口ABCD中，BD是口ABCD的对角线，∠BAD的平分线交BD于点E,LBCD的平分 线交BD于点F求证：BE=DF 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC,∠BAD=∠BCD, ∴.∠ADB= ① E B :∠BAD,LBCD的平分线分别交对角线BD于点E,F, 19题图 ∠BMD=∠BAD,LPCB=7LBGD, ② LADE=∠CBF, 在△AED和△CFB中，AD=CB, ∠EAD=∠FCB, 数学第4页（共6页） .△AED≌△CFB(ASA). ③ .BE=DF. 进一步思考，如果过平行四边形一组对角的顶点向另一组对角的对角线作的是垂线呢？请 你模仿题中的表述，写出你猜想的结论： ④ 20.奉节脐橙果皮脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，是中国地理标志产品.一 批发商收购了1000千克的大果和中果，共花费6800元，已知大果收购价每千克8元，中果收购 价每千克5元 (1)求该批发商大果和中果各收购了多少千克？ (2)因销量可观，该批发商计划再次收购6300元的大果和6300元的中果，受价格上涨的影响， 大果比中果少收购270千克，已知大果和中果的收购单价上涨金额相同，则第二次收购时大果和 中果的收购价分别为每千克多少元？ 21.如图1，在等腰△ABC中，AB=AC=5,BC=8,P为BC上一动点，点P以每秒1个单位长度的速度 从点B出发向点C运动，到点C处停止运动，连接AP,设点P运动的时间为x秒，△APC的面积 为y1,△ABC与△ABP的面积之比为y2 (1)请直接写出1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1,y2的图象，并分别写出函数y1,y2的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出y>y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）. 13 10 9 87 6 2 0123456789x 21题图1 21题图2 22.2025年春晚重庆分会场的主舞台位于两江交汇处的南岸区弹子石广场，对面就是朝天门，小明 同学想把“半城烟水半城山，一城灯火若星河”的春晚无人机表演尽收眼底，决定在江北嘴的A 点或者弹子石的D点观看演出.小明根据所学知识画了如图所示的方位图，B为朝天门，C为春 晚主舞台所在地弹子石广场，C在A的北偏东60°方向，B在A的东南方向的1200米处，C在B 的北偏东15方向，D在C的北偏西30°方向的6002米处，且D在B的正北方向，AC与BD交于 点E.（参考数据：N2≈1.41,5=1.73,6≈2.45) 数学第5页（共6页） (1)求B,C两地间的距离； (2)小明查资料得知，当观看地点到B,C的距离之和越小，观看效果越佳，请通过计算说明小明 应在A,D两处中选择哪一处观看？ 22题图 23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=2+x+e与x轴交于点A(-1,0),B(点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C(0,-2),连接BC,过点A作BC的平行线交抛物线于点D. (1)求抛物线的表达式； (2)P为直线BC下方抛物线上一点，PE⊥AD于点E,过点P作y轴的平行线交BC于点F,交直 线AD于点G.求PG5EG的最大值及此时点P的坐标； 2 (3)将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过BC的中点K,点M为平移后的抛物线 上一点，且∠ADM=2∠ABC,直接写出所有符合条件的点M的坐标 23题图 23题备用图 24.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC,D是AC的中点，E在AB边上运动，连接DE,将△ADE沿着 DE折叠得到△DFE,点A的对应点为F,其中DF交AB于点G,连接AF,BF (1)如图1，当LADF=90时，求证：DG=FG: (2)如图2，当∠AEF=90时，用等式表示线段DG与BF之间的数量关系，并证明； (3)在点E的运动过程中，当AE=1,AD=5时，过点G作GQ⊥BF于点Q,连接EQ,请直接写出 ∠FEQ的度数 24题图1 24题图2 24题备用图 数学第6页（共6页） 数学 快速对答案 ⑦核对完答案后，请翻至详解详析，更好地掌握解题思路和提分技法哦！ 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1~5 ADACC 6~10 BDCCD 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分） 112号3.5-114615.62,18@ 16.1056,8742 5 三、解答题（本大题8个小题，每小题10分，共80分） 请看“详解详析”P16-P21 详解详析 1.A 3.对以上两个整数开方 2.D【解析】从左面可看到两列正方形，左边一列有 4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间 2个正方形，右边一列有1个正方形，故D选项符 [w=1 合题意 3.A【解析】：EG平分∠AEF,∠AEF=130°， 确定9和16 ∠AEG=65°.AB∥CD,∠EGF=∠AEG=65°. 9=3,16=4 4C【解析小：点M(1,m)在反比例函数钉=6的图 x [3<而<4 象上，m=-名m=-6 6 8.C【解析】如答图，连接OD,由题意得，OB=OE= 0D,.0D=20C=2,.∠0DC=30°，则∠0DE= 5.C【解析】：△ABC与△A,B,C1位似，△ABC与 60°，△0DE为等边三角形，∠B0E=180°-60 △A,B,C,相似，PA:PA,=12,∴相似比为 -60°=60°，阴影部分的面积为60mx2_2红 3603 1:2,:面积比等于相似比的平方，“ E SAA0C=4.SAG=16. 6.B【解析】第①个模型图中的基本图形的个数 为4+0×2=4：第②个模型图中的基本图形的个数 0 为4+1×2=6：第③个模型图中的基本图形的个数 8题答图 为4+2×2=8：第④个模型图中的基本图形的个数 9.C【解析】如答图1，过点F作AB的平行线，分别 为4+3×2=10；…；∴.第@个模型图中的基本图形 交AD,BC于点M,N,连接AF.:四边形ABCD是 的个数为4+(n-1)×2=2n+2,第⑨个模型图中 正方形，.∠BAD=∠ABC=90°，：MW∥AB,PQ∥ 基本图形的个数是2×19+2=40. AB,.四边形ABNM,四边形PQNM是矩形，.AM= 7.D【解析】32+√32=32+42=72=√98.81 BN,PM=QN,∠AMF=∠FNQ=90°，F是DE的 中点，FM是△DEP的中位线，∴.DM=PM,.DM <98<100,.9<√98<10，.32+√32的值在9和10 =NQ,由正方形性质可知∠CBD=∠ADB=45°， 之间. △BFN,△DFM是等腰直角三角形，.BN=NF,MF= 2类题通法 DM,,AM=NF,NQ=MF,在△AFM和△FQN中. 1.先对二次根式平方 (AM=FN, 2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的 ∠AMF=∠FNQ,.△AFM≌△FQN,、AF=FQ. 整数 FM=ON, 14 ∠AFM=∠FQN,:∠FQN+∠NFQ=90°，∠AFM 整数，ao,a1,a3,a,a4,a5被5除的余数只能是 +∠NFQ=90°，.∠AFQ=90°，∴△AFQ是等腰直 0,1,2,3,4,必有2个数的余数相同，这两个数 角三角形，. 0反 的差肯定是5的倍数，故②正确；③冷x=0,则(1+ 0)'=ao,则ao=1.令x=l,则a+a1+a2+a,+a4+ag D +a6+a,=32,a,+a2+ata4+a5+a6+a,=37-1,枚 ③正确，故选D. N 9题答图1 11.1【解析】：单项式2xy2与y的和仍为单项 【一题多解法】 式，2xy3与2-…为同类项，a=1,2b-a=3, .b=2,.b-a=1. 解法二：如答图2，连接AF,FP.:四边形ABCD是 正方形，.AD∥BC,∠BAD=∠ABC=90°，∠ADB= 12. 弓【解折】将二氧化碳的实验制取与性质”“粗 ∠CBD=45°.PQ∥AB,∴.∠DPE=∠PQB=90°， 盐的提纯”“溶液的配置”三个实验分别记为A,B, AP=BQ,.△BEQ和△DPE是等腰直角三角形，÷ C,画树状图如答图，由树状图可知，共有9种等可 BQ=QE,∠QEF=135°，∴.AP=QE.F是DE的中 能的情况，其中两人抽中同一个实验的情况有3 点，.PF=EF,PF⊥DE,∠DPF=45°，.∠APF= 180°-45°=135°，∴.∠APF=∠QEF在△APF和 种P风甲，乙两人抽中同-个实验)=号号 (PF=EF, 开始 △QEF中，∠APF=∠QEF,∴△APF≌△QEF, 匆 AP=QE, AF=QF,∠AFP=∠EFQ.:∠AFP+∠AFB=90°， B C A B ∠EFQ+∠AFB=90°，即∠AFQ=90°，.△AFQ是等 12题答图 履直角三角形一品反 ?新考法解读本题通过三项科学小实验，考查 两步概率，教育部发布的《关于加强初中学业水平 考试命題工作的意见》中指出：“要积极探索跨学 科命题“：2024年有多个地市考查跨学科试题，在 学习过程中，要学会从数学的角度观察与分析、思 考与表达、解决与阐释社会生活及科学技术中遇 9题答图2 到的现实问题， 解法三：如答图3，过点F作BC的垂线，垂足为点 13.√5-1【解析】如答图，过点E作EG垂直于AC G,设AB=a,BQ=b,由正方形性质可知∠EBQ= 交于点G.,△ABC是等腰直角三角形，，∠BAC 45°，：PQ⊥BC,.△BEQ是等腰直角三角形， =45°，.∠DAC=∠BAC-LBAD=45°-15°=30 EQ=b,易知四边形CDEQ是梯形，：F是DE的中 AC=BC=23,..AD=AE=4..DA L AE,.. 点，G是c0的中点…60=7，PG=,根据 LDAE=90°，LDAC=30°，∠EAG=60°，AG =2,EG=23..BC=23,..EG=BC.LEGF= 勾股定理可求得AQ,QF的长，直接求比值即可. ∠BCF=90°，LGFE=LCFB,∴.△BCF≌△EGF, CP=c64C=25,4G=2cG=25-2 .CF=5-1. 9题答图3 10.D【解析】①当x=0时，则4。=2”，∴a,一定能被 B D 2整除，故①正确：②a,a1,a,a,a4,a5均为正 13题答图 15 [3x+2」 数，.满足条件的m,n为(3,0)，(3,7)，(4,4) x-1, 146【解析】解不等式组 4 得 (5,1),(5,8),(6,5),(7,2),(8,6),(9,3).又 -2(x-a)<x+2, c(N-4+B.20m+2n+1=2m+2n-2m+为整数. x≤6， 1111 11 2-2不等式组至少有3个整数解… 2a-2 t 3 满足条件的m,n为(3,8)，(6,0)，(7,1)，(8， 3 2),(9,3),.同时满足F(N),G(N)为整数的m, 4ac1解分试方程写号27宁分 n为(9,3)，即当m=9,n=3时，F(N),G(N)的值 分别都为整数，此时M=93×94=8742. 式方程有解3受3a≠6分式方 程--2=4 3-y “,3有正整数解受是正整数且a< P类题通法 7,∴.符合条件的所有整数a为2,4，∴符合条件 用字母表示多位数的方法： 的所有整数a的和是2+4=6. 三位数 四位数 五位数 156a,18 【解析】如答图，连接OC,过点A作 多位数 abe abed abede CF的垂线，垂足为H.:CD是⊙O的切线，C为切 用含字母的 100a+ 1000a+100b10000a+1000b 点，.∠DC0=90°.CD∥AB,∠A0C=90°.0 式子表示数106+c +10c+d +100c+10d+e 为直径的中点，AC=BC.AC=6V2,BC= 其中，a,b,c,d,e分别表示各个数位上的数，其 62:A0=0C,∠A0C=90°，.△A0C为等腰直 中a为小于10的正整数，b,c,d,e为小于10的 角三角形.AC=62,∴.A0=C0=B0=6.E为 非负整数， OB的中点，OE=3,∴AE=9.在Rt△C0E中，CE 17. =35.由等面积法可得号4×0C=号cEXM, 解：(1)原式=1+(5-1)+2-3x3 =2;…(5分) A月=185：LA0C=90,∠AFC=459, (2)原式=(2-2m,1 (m-1)2 m-2tm-2}(m+2)(m-2) △AFH是等腰直角三角形，AF=18V而 -m-1)2.(m+2)(m-2) 5 m-2 (m-1)3 D =m+2. …(8分) 解方程x2-x-2=0得x1=2,x2=-1, 当m=2时，m-2=0, 六x1=2舍去，即m=-1, 当m=-1时，原式=-1+2=1.…（10分) 15题答图 18.解：(1)87,89,40；…(3分) 16.1056,8742【解析】设mn,m为连续的两个两 【解法提示】 位自然数，则A·B可表示为mn·m,:自然数M 由条形统计图可得成绩在A组和B组的人共有8 是四位数，.m2≥9，∴.m≥3，要使致广数”最小， 个，∴把数据从小到大排列后，排在第10,11位的 m应取值为3，个位数字从小到大取值，当n,∫分 数为86,88， 别取1,2时，31×32=992，为三位自然数，不符合 .中位数a=(86+88)÷2=87: 题意，当n∫分别取2,3时，32×33=1056，符合题 由乙部门员工的分数可知89出现的次数最多 意，.最小的“致广数”是1056；设A=10m+n,则 ∴众数b=89; B=10m+n+1(3≤m≤9.0≤n≤8)，.N=1000m+ 甲部门的优秀率为(3+5)÷20×100%=40%、 100n+10m+n+1=1010m+101n+1.:F(N)为整 ∴.m=40. 数】1010m+101n+1=144m+14n+2m+3n+为整 (2)280×40%+240×35%=112+84=196(人). 7 答：估计这两个部门成绩为优秀的员工总人数为 16 196人；… …(7分) 续表 (3)甲部门员工对培训知识的掌握情况更好， 图示 结论与依据 理由：由表格可知，甲部门员工的优秀率高于乙部 门员工的优秀率， 米M MN⊥直线I “甲部门员工对培训知识的掌握情况更好.（答案 点在直线 依据：等腰三角形 不唯一，合理即可)…（10分) 9新考法解读本题以热点信悲“DeepSeek”为背 景设題，试题与现实生活相关联，试题命制符合教 过一点作已知直线 “三线合一”；两点 确定一条直线 PN⊥直线I 育部发布的《关于加强初中学业水平考试命题工 伥据：到线段两端 作的意见》中指出的：拓宽试题材料选择范围，丰 点在 点距离相等的点 富材料类型， 直 在这条线段的垂 19.解：(1)作图如答图；… (6分) 外 直平分线上：两点 确定一条直线 20. 解：(1)设该批发商大果收购了x千克，则中果收 B 购了(1000-x)千克， 19题答图 则8x+5(1000-x)=6800, (2)①∠CBD:②∠EAD=∠FCB:③DE=BF:④过 解得x=600, 平行四边形一组对角的顶点所作对角线的垂线与 则1000-x=400, 对角线的交点分别到对角线不同端点的距离相 答：该批发商大果收购了600千克，中果收购了 等 (10分) 400千克；…(5分)》 (2)设收购单价的上涨金额为m元， 由题意得5300+270=630 【方法指导】解答尺规作图题要熟练掌握以下 8+m 5+m 技巧： 解得m=2(负值不符合题意，舍去). 经检验：m=2是分式方程的根，且符合题意； 图示 结论与依据 “大果收购价为8+2=10（元），中果收购价为5+2 ∠AOP=∠BOP =7(元)， M 依据：三边分别相 答：第二次收购时大果的收购价为每千克10元 作一个角 等的两个三角形全 中果的收购价为每千克7元.…（10分) 的平分线 等；全等三角形的 B 对应角相等：两点 21. 解：61x=子+20e8)n-0xe8: 3 确定一条直线 …(4分) MN⊥AB,MW平 【解法提示】 分AB 作一条线 如答图1，过点A作AD⊥BC于点D. 依据：到线段两端点 段的垂直 距离相等的点在线 平分线 段的垂直平分线上： 两点确定一条直线 B ∠A'O'B'=∠P0Q 21题答图1 依据：三边分别相 作一个 .AB=AC,BC=8, 等的两个三角形全 角等于 ∴BD=CD=4, 等；全等三角形的 已知角 AB=5, 对应角相等：两点 .AD=3, A 确定一条直线 由题意可得BP=x,CP=8-T, 17