精品解析：河南省驻马店市正阳县2024-2025学年下学期期中素质测试九年级数学试题

河南省驻马店市正阳县2024-2025学年 下学期期中素质测试卷九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同，设增加了x行，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 3. 如图，已知a∥b，含30°角的直角三角板的顶点在直线b上，若∠1＝24°，则∠2等于（ ） A. 110° B. 112° C. 114° D. 120° 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝24，AB＝30，则△ABD的面积是（ ） A. 105 B. 120 C. 135 D. 115 5. 下列几何体都是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面和左面看到的形状图相同的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ） A. 87分 B. 87.5分 C. 88.5分 D. 89分 7. 如图，已知和都是的内接三角形，和相交于点，则与的相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 8. 用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ） A. 原图形的外部 B. 原图形的内部 C. 原图形的边上 D. 任意位置 9. 如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点A，B为反比例函数的图象上的两点，且满足，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若有意义，则实数x的取值范围是___________． 12. 不等式＞＋2的解是__________． 13. 一个不透明的盒子中装有三个红球和两个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩余的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为______． 14. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是__________（结果保留）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．连结，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结．当最短时，的值为_________ ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量． 课题 测量嵩岳寺塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案 在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°． 说明：E、C、B三点在同一水平线上 请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 18. 如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度． 19. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________）， ∴． 　　　　 任务： （1）请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； （2）如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 20. 神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________；并补全条形统计图： （2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆； （3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？ 21. 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值． 22. 如图是一矩形广告牌，米，为测量其高度，某同学在处测得点仰角为，该同学沿方向后退6米到处，此时测得广告牌上部灯杆顶端点仰角为．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆的高为2.25米，求广告牌的高度(或的长)．(精确到1米，参考数据：，) 23. 探究并证明以下问题： （1）如图，矩形的对角线、交于点，且，点为线段上任意一点，以为边作等边三角形，连结，求证：． （2）如图，在正方形中，点为边上任意一点，以为边作正方形，为正方形的中心，连结，直接写出与的数量关系______． （3）如图，在菱形中，：：，点为边上一点，以为对角线作菱形，满足，连结，猜想与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省驻马店市正阳县2024-2025学年 下学期期中素质测试卷九年级数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同，设增加了x行，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由增加了x行可得出后来共种了（8+x）行、（10+x）列，根据后来种植的树共（8×10+40）棵，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵增加了x行， ∴后来共种了（8+x）行，（10+x）列． 依题意得：（8+x）（10+x）＝8×10+40． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2. 2022年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约44.8万度的清洁电力．将44.8万度用科学记数法可以表示为（ ） A. 度 B. 度 C. 度 D. 度 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：44.8万度=448000度=度． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 3. 如图，已知a∥b，含30°角的直角三角板的顶点在直线b上，若∠1＝24°，则∠2等于（ ） A. 110° B. 112° C. 114° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得∠DBC＝54°，再由平行线的性质可求得∠3＝126°，再利用四边形的内角和为360°即可求得∠2的度数． 【详解】解：如图， 由题意得∠DBC＝∠1+30°＝54°， ∵ab， ∴∠DBC+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠DBC＝126°， ∵∠A＝90°， ∴∠2＝360°﹣∠90°﹣30°﹣126°＝114°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和四边形的内角和360°，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若AC＝24，AB＝30，则△ABD的面积是（ ） A. 105 B. 120 C. 135 D. 115 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出BC＝18，作DH⊥AB于H，如图，设DH＝x，则BD＝18﹣x，利用作法得AD为∠BAC的平分线，则根据角平分线的性质得CD＝DH＝x，接着证明△ADC≌△ADH得到AH＝AC＝24，所以BH＝6，然后在Rt△BDH中利用勾股定理得到62＋x2＝（18﹣x）2，最后解方程求出x即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，BC18， 作DH⊥AB于H，如图， 设DH＝x，则BD＝9﹣x， 由作法得AD为∠BAC的平分线， ∴CD＝DH＝x， ∵AD＝AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADH（HL）， ∴AH＝AC＝24， ∴BH＝6， 在Rt△BDH中，， 解得x＝8， 即点D到AB的距离是8． ∴△ABD的面积AB•DH8＝120， 故选：B． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5. 下列几何体都是由4个相同的小正方体搭成的，其中从正面和左面看到的形状图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别画出四个选项从正面看和从左面看的形状，即可得到答案． 【详解】解：A、从正面看的形状 ，从左面看的形状 ，故A符合题意； B、从正面看的形状 ，从左面看的形状，故B不符合题意； C、从正面看的形状 ，从左面看的形状，故C 不符合题意； D、从正面看的形状，从左面看的形状，故D 不符合题意；故选A． 【点睛】本题主要考查了小正方块组成的几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键． 6. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ） A. 87分 B. 87.5分 C. 88.5分 D. 89分 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩． 【详解】解：小明的总评成绩是：85×60%＋95×30%＋90×10%＝88.5（分），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 7. 如图，已知和都是的内接三角形，和相交于点，则与的相似的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则弧所对的圆周角，和是对顶角，所以． 【详解】解：， ， 故选：． 【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等． 8. 用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在（ ） A. 原图形的外部 B. 原图形的内部 C. 原图形的边上 D. 任意位置 【答案】D 【解析】 【分析】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求． 【详解】画一个图形的位似图形时，位似中心的选取是任意的.故选D. 【点睛】本题考查图形的位似，解题的关键是掌握位似图形的性质和画法. 9. 如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1和图2得当时，点到达处，即，当时，点到达点处，即可求解． 【详解】解：当时，点到达处，即； 过点作交于点，如图所示： ，， ， ， 则四边形为长方形， ， ， ， ， ， 当时，点到达点处，则， 则， 由勾股定理得，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出，是解题的关键． 10. 如图，点A，B为反比例函数的图象上的两点，且满足，若点A的坐标为，则点B的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转到，连接、，作轴于，轴于，通过证得，得到，证得，求得，设点的坐标为，根据，得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接、，作轴于，轴于， 点的坐标为， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点为反比例函数图象上的点， ， ， 设点的坐标为， ， ， 解得（负数舍去）， ， 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】∵有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键． 12. 不等式＞＋2的解是__________． 【答案】x＞－3 【解析】 【详解】＞＋2, 去分母得： 去括号得： 移项及合并得： 系数化为1得： . 故答案为x＞－3. 13. 一个不透明的盒子中装有三个红球和两个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从剩余的球中随机摸出一个球，则两次摸到相同颜色的球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到相同颜色的球情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 第二次 第一次 红球1 红球2 红球3 白球1 白球2 红球1 （红1，红2） （红3，红1） （红1，白1） （红1，白2） 红球2 （红2，红1） （红3，红2） （红2，白1） （红2，白2） 红球3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，白1） （红3，白2） 白球1 （白1，红1） （白1，红2） （红3，白1） （白1，白2） 白球2 （白2，红1） （白2，红2） （红3，白2） （白2，白1） ∵共有20种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的球有8种情况， ∴两次都摸到相同颜色的球概率为． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，四边形是菱形，，，扇形的半径为6，圆心角为，则图中阴影部分的面积是__________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键．连接，将扇形补到扇形的位置，从而得到即可得到答案． 【详解】 连接，将扇形补到扇形的位置， ， 四边形是菱形， ， 过D 作于点H， ， ， ∵扇形的圆心角为60°，， ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．连结，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结．当最短时，的值为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，先由函数关系式求出点A、B的坐标进而求得OA、OB的长，再由旋转可得AC＝AD，∠CAD＝90°，由此可证得△ACO≌△DAE，进而可表示出DE和BE的长，最后利用勾股定理表示出BD2，进而即可求得当最短时的的值． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠AED＝90°， 令y＝0，则 解得：， ∴OA＝1，OB＝3， ∴AB＝OB－OA＝2， 令x＝0，则y＝3a， ∴OC＝3a， ∵旋转， ∴AC＝AD，∠CAD＝90°， ∴∠CAO＋∠DAE＝90°， ∵∠COA＝90°， ∴∠CAO＋∠ACO＝90°， ∴∠ACO＝∠DAE， 在△ACO与△DAE中， ∴△ACO≌△DAE（AAS）， ∴DE＝OA＝1，AE＝OC＝3a， ∴BE＝AE－AB＝3a－2， ∴BD2＝BE2＋DE2＝(3a－2)2＋1≥1， 当3a－2＝0即a＝时，BD取得最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图像性质、全等三角形的判定及性质，勾股定理的应用，作出正确的辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1． 【解析】 【分析】先把括号的项通分相减，再将除法变成乘法进行运算，然后把，代入求值即可． 【详解】 把，代入得， 原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到分式的加减乘除混合运算，正确掌握分式混合运算法则是解题的关键． 17. 某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量． 课题 测量嵩岳寺塔的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量方案 在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°． 说明：E、C、B三点在同一水平线上 请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62） 【答案】37.2米 【解析】 【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，设，在中，，列出方程，解方程求解可得，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 设，， ， 根据题意可得四边形是矩形， 则,， 在中，， ， 解得， （米） 答：嵩岳寺塔AB的高度为37.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确的使用三角函数是解题的关键． 18. 如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用.延长交于点，则，作于，根据三角函数求出米，米，即可得到米，最后根据计算即可. 【详解】解：延长交于点，则， 作于， 在中，，米 米，米 在中，（米） 米 在中，（米）． 答：旗杆的高度为米． 19. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________）， ∴． 　　　　 任务： （1）请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； （2）如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 【答案】（1）直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程； （2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解． 【小问1详解】 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（直径所对的圆周角相等）， ∴，∴． ∵，∴． ∵，∴∽， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴． 　　 故答案为：直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例； 【小问2详解】 解：图3中，连接，， ∵， ∴设，，，则， ∵是的切线，是割线， ∴由割线定理得，则， 解得（负值舍去）， ∴，，，则， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴； ∵，， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解切割线定理，掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 20. 神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，A：航模制作；B：航天资料收集；C：航天知识竞赛；D：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的m名学生（每名学生必选一项且只能选择一项），并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________；并补全条形统计图： （2）根据抽样调查的结果，请估算全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆； （3）在选择A项活动的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这10名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？ 【答案】（1）100，35， 补全条形统计图如图所示： （2）720名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A：航模制作的有10人，占10%可以求得m的值，从而可以求得n的值；根据题意和m的值可以求得B：航天资料收集；C：航天知识竞赛人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据可以估算出全校1800名学生中，大约有多少人选择参观科学馆； （3）利用列表或树状图求概率即可 【小问1详解】 由题意可得，m＝10÷10%＝100，n%＝100%-15%-10%-＝35%， 故答案为：100，35； 由题意可得：B：航天资料收集有：100×35%＝35（人） C：航天知识竞赛有：100×15%＝15（人） 【小问2详解】 （名）， 答：估计该校大约有720名学生选择参观科学馆． 【小问3详解】 解法一 列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 如上表，共有12种等可能的结果．其中恰好选中甲、乙两名同学的结果为2种：（甲，乙），（乙，甲）． 甲、乙恰好被分在一组的概率为． 解法二 画树状图为： 共有12种等可能的结果：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）． 甲、乙恰好被分在一组的结果为4种：（甲，乙），（乙，甲）（丙丁一组意味着，甲乙一组）． 甲、乙恰好被分在一组的概率为． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，利用列表或树状图求概率．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21. 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标； （2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC于点F，求△DEF周长的最大值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（1，﹣4） （2） 【解析】 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx﹣3，利用待定系数法即可解决问题； （2）如图中，连接DB、DC．设D（m，m2﹣2m﹣3），由题意△DEF是等腰直角三角形，DE最大时，△DEF的周长最大，此时△DBC的面积最大，则有S△DBC＝S△DOB＋S△DOC﹣S△BOC•3•（﹣m2＋2m＋3）•3•m（m）2，可得m时，△DBC的面积最大，此时△DEF的面积也最大，可求出DE的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx﹣3， 得到， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． ∵， ∴顶点M的坐标为（1，-4）； 【小问2详解】 如图，连接DB、DC，OD， 令x=0，y=-3， 解得：， ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0） ∴OB＝OC=3， ∴∠OBC＝45°， ∵DF∥OB， ∴∠DFE＝∠OBC＝45°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴， ∴△DEF周长为， ∴DE最大时，△DEF的周长最大，此时△DBC的面积最大， 设D（m，m2﹣2m﹣3）， ∴S△DBC＝S△DOB＋S△DOC﹣S△BOC•3•（﹣m2＋2m＋3）•3•m（m）2， ∴m时，△DBC的面积最大，此时△DEF的周长也最大， 此时D（，）， ∵， ∴此时， 解得：， ∴△DEF的周长最大的最大值为 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质是解题的关键． 22. 如图是一矩形广告牌，米，为测量其高度，某同学在处测得点仰角为，该同学沿方向后退6米到处，此时测得广告牌上部灯杆顶端点仰角为．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆的高为2.25米，求广告牌的高度(或的长)．(精确到1米，参考数据：，) 【答案】广告牌的高度为17米 【解析】 【分析】首先延长DH交于,交于,构造直角三角形,可得到,设,表示出PM, 在中得到,,在中运用勾股定理求解即可. 【详解】依题意：米,米,米, 如图设直线交于,交于, 则. 设m则, 在中, ∵, ∴, ∵,则, 在中, ∵, ∴, 解得,∴(米), ∴广告牌的高度为17米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题,准确构造直角三角形和找准角度是解题的关键. 23. 探究并证明以下问题： （1）如图，矩形的对角线、交于点，且，点为线段上任意一点，以为边作等边三角形，连结，求证：． （2）如图，在正方形中，点为边上任意一点，以为边作正方形，为正方形的中心，连结，直接写出与的数量关系______． （3）如图，在菱形中，：：，点为边上一点，以为对角线作菱形，满足，连结，猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵以为边作等边三角形， ∴，， 即 在和中， ， ∴， ∴； （2）； （3） 解：． 理由：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，即可得到是等边三角形，得到，，，证明即可求证； （2）连接，证明，得到即可； （3）由菱形的性质得到，，由可知，即，由证明，即可得到，即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵四边形是正方形，F为正方形的中心， ∴，， 即，， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $