10.1.2 立方根（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

10.1.2 立方根 题型一：利用立方根的定义判断式子是否正确 1．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 2．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根、立方根、平方根．解题关键在于掌握运算法则．根据算术平方根的定义对A、B、D进行判断；根据立方根的定义对C进行判断． 【详解】解：A．，所以选项A错误； B．，所以选项B错误； C．，所以选项C正确； D．，所以选项D错误； 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，熟练掌握算术平方根、立方根的求法是解题的关键． 利用算术平方根、立方根进行求解后即可判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，利用二次根式的性质化简，求立方根，解题关键是掌握上述性质，并能熟练求解． 根据二次根式的加减，利用二次根式的性质化简，求立方根，对四个式子逐一计算求解，再作出判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D ． 5．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根、算术平方根及立方根．分别根据平方根、算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，掌握算术平方根和立方根的定义是解题关键．根据算术平方根和立方根的定义逐项计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的性质，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．根据算术平方根与立方根、实数的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 题型二：利用立方根的性质判断选项 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是3 C．没有立方根 D．8的立方根是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握求一个数算术平方根，平方根和立方根的方法．根据算术平方根，平方根和立方根的定义即可进行解答． 【详解】解：A、4的算术平方根是2，故A不正确，不符合题意； B、9的平方根是，故B不正确，不符合题意； C、的立方根是，故C不正确，不符合题意； D、8的立方根是2，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·江西赣州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根，根据各自的定义求解即可得出答案． 【详解】解：．的平方根是，说法正确，故该选项不符合题意； ．是9的一个平方根，说法正确，故该选项不符合题意； ．， ，0.4的算术平方根是，则原说法错误，故该选项符合题意； ．，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）下列说法正确的是（   ）． A．的平方根是 B．8的立方根是 C．的算术平方根是3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根和算术平方根，利用立方根、平方根和算术平方根的意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：，4的平方根是，故A选项不符合题意； 8的立方根是2，故B选项不符合题意； ，9的算术平方根是3，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意， 故选：C． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列说法错误的是（   ） A．的立方根是 B． C．的相反数是 D．5的平方根是 【答案】B 【分析】本题考查平方根和立方根相关概念的辨析及相反数的定义，理解并掌握基本概念是解题关键．根据平方根和立方根的相关概念进行逐项分析即可． 【详解】解：A、的立方根是，选项说法正确，不符合题意； B、，选项说法错误，符合题意； C、的相反数是，选项说法正确，不符合题意； D、5的平方根是，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（   ） A．8的算术平方根是4 B．64的立方根是 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根，根据算术平方根、立方根、平方根的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、8的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； B、64的立方根是，故原说法错误，不符合题意； C、，的平方根是，故原说法正确，符合题意； D、，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根 B．的立方根是 C．的平方根是 D．是的算术平方根 【答案】B 【分析】此题考查了平方根和立方根的定义与性质，解题的关键是掌握平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义和性质对选项逐个判断即可． 【详解】解：A. 是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意；     B. 的立方根是，故该选项正确，符合题意； C. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意； D. 是的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 题型三：求一个代数式的立方根 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）若实数，满足，则的立方根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查求立方根，涉及平方根定义、代数式求值、算术平方根的非负性、绝对值非负性及非负式和为零的条件，根据求出实数，，得到代数式的值，再求立方根即可得到答案，熟记非负式和为零的条件求出实数，是解决问题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴的立方根为2， 故答案为：2． 2．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根有关计算，根据题意得出，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的一个平方根， ∴，， ∴， 故答案为：1． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 【答案】或7 【分析】根据4的平方根是，的立方根是，得到，解得即可． 本题考查了平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：4的平方根是x，的立方根是y， 且4的平方根是，的立方根是， 故， 故或， 故答案为：7或． 4．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）已知实数a，b满足，则立方根是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，求一个数的立方根，代数式求值，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 先根据非负性求得，再代入求得，即可求解立方根． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴立方根是1， 故答案为：1． 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）设、为实数，且，则的立方根是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数；然后根据立方根的定义可得答案． 【详解】解：由题意，有， 解得． 这个正数的立方根是． 故答案为： 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】利用绝对值的定义求出的值，利用平方根的定义求出的值，利用立方根的定义求出的值，根据、，得到同号，求出与的值，再代入式子中计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，或，， ∴ 或； 故答案为：或． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知是的整数部分，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，求一个数的算术平方根，无理数的估算，先估算出，则可得到，再求出，进而求出，最后根据立方根的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 题型四：立方根与数轴的化简 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）在数轴上表示的点一定在（   ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根运算、有理数比较大小以及在数轴上表示有理数等知识，根据立方跟的性质求解是解题关键．首先根据立方跟的性质可得，易得，即可获得答案． 【详解】解：， ∵， ∴数轴上表示的点一定在第②段． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 是关于的方程的解的立方根， 是此方程的解， ， 解得． 故选：A 3．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 4．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，根据数轴得，则可得，，进而可求解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：由数轴得：， ，， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，化简： 【答案】 【分析】首先由数轴判断，的正负，然后根据去绝对值，去括号法则，算术平方根的定义，立方根的定义化简，最后进行加减运算即可． 【详解】解：根据数轴可知：，， ． 6．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用数轴上，，的位置进而分别得出各式的符号； （2）直接利用（1）中各式的符号进而化简即可． 此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，数轴与实数，化简绝对值，立方根、算术平方根，正确化简各数是解题关键． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：；；； （2）解：原式 ． 7．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为． \ (1)求实数的值； (2)求的值； (3)数轴上有、两点分别表示实数和，且有，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)的立方根是 【分析】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知、，再利用绝对值的性质化简绝对值，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 的立方根是． 8．（23-24七年级下·安徽池州·期中）如图所示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ． (2)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)的立方根为 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的表示方法，代值求解即可得到答案； （2）根据题意，结合绝对值非负性、算术平方根的非负性及非负式和为零的条件列式求值，得到，再由立方根定义与运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点， 点所表示的数为，即； （2）解：与互为相反数， ，则，且，解得，， ， 则的立方根为． 9．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简    【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质以及绝对值与数轴,正确化简各式是解题关键﹒直接利用数轴得出各式的符号，进而化简得出答案. 【详解】解：由数轴可知：， ， ， ，， 题型五：立方根中混合运算（计算题） 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)6(2)6 【分析】本题考查了求算术平方根，求立方根. （1）先计算算术平方根，立方根，再计算减法即可； （2）先计算算术平方根，立方根，乘方，再计算减法即可； 【详解】（1） ； （2） 2．（24-25七年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】0． 【分析】本题主要考查了实数的运算．先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)(2)1 【分析】（1）根据计算即可． （2）根据计算即可． 本题考查了立方根，算术平方根，绝对值计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）计算：． 【答案】2 【分析】先化简绝对值、求立方根和算术平方根，再加减即可． 本题考查了绝对值、立方根、算术平方根的运算，准确运用法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 5．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了立方根、乘方、算术平方根，先化简立方根、乘方、算术平方根，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】 ． 6．（24-25七年级下·天津南开·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了算术平方根和立方根，绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算算术平方根和立方根，然后计算加减； （2）首先计算算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 7．（24-25七年级下·山东德州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根、化简绝对值，先化简绝对值，以及运算立方根。算术平方根，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 题型六：立方根中解方程问题 1．（24-25七年级下·吉林·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据平方根和立方根定义解方程，理解平方根和立方根的定义是解答的关键． （1）根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：由得， ∴； （2）解：由得， ∴． 2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根与立方根的应用，正确理解平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 或． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平方根、立方根的定义， （1）根据立方根的定义进行求解； （2）根据平方根的定义进行求解； 解题的关键是能通过方程的特殊结构并结合相应的定义求解． 【详解】（1）解：， ， ， 即， ∴的值为； （2）， ， 即， ∴或， ∴的值为或． 4．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根的性质解方程，正确计算是解题的关键． 先利用等式的性质将原方程化为，再利用立方根的定义求解即可． 【详解】解： ， 解得：． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：整理，得， 所以， 所以． （2）两边开立方，得， 所以， 所以． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】此题考查了利用立方根的性质解方程， （1）根据立方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可； （3）根据立方根的性质求解即可； （4）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键， （1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 题型七：与立方根有关的实际应用 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根的应用，先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．掌握立方根的意义是解题的关键． 【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：， 体积为的正方体的棱长为：， 又∵， ∴棱长应变为原来的倍． 故选：A． 2．（2025七年级下·山西·专题练习）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握正方形的体积公式是解题的关键． 根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长． 【详解】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 4．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键． 先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解． 【详解】解：设小美正方体棱长为，， 得，， 小美制作的正方体礼盒的棱长为：， 其体积为：， 小丽制作的正方体礼盒的体积为：， 则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：， 小丽制作的正方体礼盒的表面积为：； 故选：B． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查立方根、算术平方根的应用， （1）根据甲正方体纸盒的底面积求出其棱长，即可求出其体积，从而得出乙正方体纸盒的体积，即可求出乙正方体纸盒的棱长； （2）先求出丙正方体纸盒的体积，再求出丙正方体纸盒的棱长即可； 掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的棱长为， ∴甲正方体纸盒的体积为， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为：， ∴乙正方体纸盒的棱长为， 答：乙正方体纸盒的棱长为； （2）由（1）知乙正方体纸盒的体积为， ∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体纸盒的体积是， ∴丙正方体纸盒的棱长是， 答：丙正方体纸盒的棱长． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案． 【详解】解：设铅球的半径为， ∵铅球的体积（）， ∴， 解得， ∴铅球的半径为． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 【答案】(1)小红所搭积木的棱长为 (2)小明搭的积木高 【分析】本题考查了立方根的实际应用，平方根的实际应用． （1）根据正方体的体积公式，列出方程，根据求立方根的方法解方程，即可求出小红所搭积木的棱长； （2）根据长方体的体积公式，列出方程，根据求平方根的方法解方程，求出小明所搭积木的高，即可求解． 【详解】（1）解：设小红所搭积木的棱长为， 由题意，得， 解得， 小红所搭积木的棱长为． （2）解：设小明所搭积木的长和高为， 由题意，得， 可求出（负值已舍去）， 小明所搭积木的高为． ， 小明搭的积木高． 题型一：与立方根有关的规律探索问题 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 2．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵, ∴，故B选项的结论不符合题意； 任何实数a都有奇数次方根， ∵， ∴，当时，，当时，， ∴C选项的结论不符合题意； ∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察规律，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 【答案】0.2872 【分析】此题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：0.2872． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）利用立方根的定义填表即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.000008 0.008 8 8000 0.02 0.2 2 20 （2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位； （3）①， ， 介于整数12和13之间； ②， ； ③设正方体的棱长为a米，则， 由②知， ； ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 6．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 7．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 【答案】195112的立方根是58 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定195112的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：①，，又， 能确定195112的立方根是个两位数．              ②195112的个位数是2，又， 能确定195112的立方根的个位数是8．             ③如果划去195112后面的三位112得到数195， 而，则，可得， 由此能确定195112的立方根的十位数是5，              因此195112的立方根是58． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 【答案】(1)0.01，100(2) (3)当或时，；当或或时，；当或时， 【分析】此题考查了立方根的求解与规律归纳能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算、归纳． （1）根据立方根的概念进行求解、归纳； （2）运用（1）题规律进行求解； （3）根据题目中求立方根的结果进行规律归纳． 【详解】（1）解：（1）；； 按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位， 故答案为：0.01、100； （2）已知，若，用含的代数式表示，则， 故答案为：； （3），，，，， 与的大小情况为： 当或时，； 当或或时，； 当或时，． 题型二：立方根与平方根的综合 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)的平方根是． 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根的计算，掌握其运算方法是关键． （1）根据算术平方根，立方根的计算列式求解即可； （2）把的值代入，根据平方根的计算求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是2， ， 解得； 的立方根是2， ，即， 解得． （2）解：由（1）知，，， ； 而10的平方根是， 的平方根是． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于，的方程，解方程，即可求解； （2）将、代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， 解得:． （2）解：当时， ，                       所以的平方根是． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 【答案】(1)，，(2)， 【分析】（1）根据算术平方根，平方根和立方根的概念分别计算出、、即可； （2）利用（1）的结论直接求值即可． 本题主要考查算术平方根，平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键． 【详解】（1）解： 的算术平方根是1， ， 解得； 的立方根是， ， ； 的平方根是， ， ． （2）解：由（1）知，，，， ， 的平方根是； 的立方根是． 5．（24-25八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 6．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 【答案】(1)，(2)(3)4 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义，即可得出m和n的值； （2）将m和n的值代入M和N即可求解； （3）将（2）中得出的M和N的值相加即可． 【详解】（1）解：∵表示的算术平方根， ∴， 解得：， ∵表示的立方根， ∴， 把代入得：， 解得：， 综上：，； （2）解：∵，， ∴，， 综上：； （3）解：∵， ∴． 7．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)已知实数的一个平方根是，的立方根是n，求的算术平方根． 【答案】(1)(2)2 【分析】（1）根据题意，联立，解方程组可求得x，y的值，即为所求． （2）将代入，可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n，进而可求a和b的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 联立， ①+②，得， 解得， 把代入①，得， 解得． ∴这个相同的解为． （2）将代入， 得， ③+④，得， 把代入③，得， 解得． ∴， ∴； ∴，即， ∴， ∴， ∵4的算术平方根是2． ∴的算术平方根为2． 题型三：立方根中新定义类问题 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）本学期第七章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 【答案】类比探索：（1），，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根；（2），，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；拓展应用： 【分析】本题考查类比探究类问题，类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键． 类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表； （2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可； 拓展应用：根据四次方根的定义求解即可． 【详解】解：类比探索： （1）填写表格： 类比平方根和立方根，给四次方根下定义：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． 故答案为：，，；一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数就叫做的四次方根． （2）根据列表可得： ①1的四次方根是； ②16的四次方根是； ③ 0的四次方根是0； ④没有四次方根． 根据平方根的性质归纳如下： ①一个正数有两个四次方根，它们互为相反数； ②0的四次方根是0； ③负数没有四次方根； 故答案为：，，0，没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数，0的四次方根是0，负数没有四次方根． 拓展应用： ； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 【答案】(1)若，那么叫做的五次方根(2)，(3)①或；② 【分析】本题考查了四次方根和五次方根的意义，解题的关键是熟练掌握四次方根和五次方根的意义，准确进行计算． （1）依照平方根和立方根的定义即可得出答案； （2）根据四次方根和五次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根和五次方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：若，那么叫做的五次方根， 故答案为：若，那么叫做的五次方根． （2）解：∵， ∴625的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：，． （3）解：①， 或． ② ． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求和的值． (2)用四则运算的加、减、乘、除定义一个新运算：．若满足，且，化简． 【答案】(1)，；(2)． 【分析】（）根据算术平方根、立方根的定义列出方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新运算列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再根据绝对值的性质化简即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，化简绝对值，熟记算术平方根、立方根的定义及理解新运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴由题意可得，， 解得， ∴原式 ． 5．（24-25七年级下·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 【答案】(1)(2)D(3)(4)或 【分析】（1）利用平方根解方程即可； （2）根据被开方数大于等于零，得出，即进行判断即可； （3）根据立方根的定义解方程即可； （4）根据得出，即，解关于x的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：要使式子有意义，则， ∴， ∵， ∴a的取值可以是，故D正确． 故选：D． （3）解：∵， ∴， 即， 解得：． （4）解：∵， ∴， 即， 解得：，． 故答案为：或． 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查实数的运算，先根据立方根和算术平方根的定义得出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是数a的立方根，是数b的算术平方根， ∴，， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，列出方程组，解方程组求出、的值，再把出、的值代入计算即可． 【详解】解：如下图所示， 设中间小方格中的数是， 则有， 解得：， ， ， 的立方根是． 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数的立方根，理解一个数的立方根的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解本题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：，， 是两位数， 又只有个位上是的数的立方的个位上的数是， 的个位上的数是， 如果划去后面的三位得到， 而，， 十位上的数是， 的值是， 故选：D． 4．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐句进行判断即可．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、1的平方根是，故A选项错误； B、若，则，故B选项错误； C、，，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 5．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算，再比较大小即可． 【详解】解：，，，， ， 故选A． 6．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 7．（2025·四川资阳·模拟预测）若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 8．（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了数的立方，正确理解题意是解题的关键． 模仿题干的解题过程，先找出，再确定的个位数是5，接着得出，确定的十位数是6，据此即可作答． 【详解】解：，，，则， 故答案为：65． 9．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）实数与互为相反数，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，立方根，算术平方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的相反数，然后根据算术平方根的定义，即可求出答案． 【详解】解：，实数与互为相反数， ∴， ， ， ∴a的算术平方根为； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，；(2)的平方根为． 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值； （2）将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是2， ∴，， 解得：，， ∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根为． 11．（2025·河北秦皇岛·一模）数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． (1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； (2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用立方根解方程，理解并掌握对应的法则，是解题的关键： （1）根据对应的法则列出算式进行计算即可； （2）根据对应的法则列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得：， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 【答案】(1)0.1；10 (2) (3)①6.694； 0.3107②需要大约1248平方米的铁皮 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （3）①结合表格信息，对算式进行变形分析即可； ②设正方体的棱长为a米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得： ；； 故答案为：0.1；10； （2）解：∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：①； ； 故：6.694；0.3107； ②设正方体的棱长为a米，则， ∴， ∴（平方米）， 答：需要大约1248平方米的铁皮． 13．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 【答案】(1)两，9，3 (2) 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，正确理解题意是解题的关键． （1）按照求立方根三步走，求位数，求个位，求十位推算即可； （2）按照题给方法，依次推算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴是两位数， ∵的个位上的数是9， ∴的个位上的数字是9， ∵划去59319后面的三位319得到数59， ∴的十位上的数字是3 故答案是：两，9，3； （2）解：∵， ∴ ∴的立方根是两位数 ∵个位数是 5 ∴的立方根个位数是5 ∵划去274625后面的三位625得到数274，且 ∴274625的立方根的十位数是6， ∴274625的立方根65， ∴的立方根是． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 【答案】一个月造成的水流矢量至少是；这个水池至少挖深 【分析】此题考查了立方根， 熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 根据水龙头与抽水马桶浪费的水量之和计算即可；设底面半径为，水池深，根据圆柱体体积公式列出方程，求出方程的解得到的值，即为所求． 【详解】解：根据题意得：， 一个月造成的水流矢量至少是； 设底面半径为，则水池深， 根据题意得：，即， ， 解得：． 则这个水池至少深． 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1)(2)3(3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1.2 立方根 题型一：利用立方根的定义判断式子是否正确 1．（2025·北京·二模）下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建福州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式正确的是(　　) A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二：利用立方根的性质判断选项 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是3 C．没有立方根 D．8的立方根是2 2．（24-25七年级下·江西赣州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．的平方根是 B．是9的一个平方根 C．0.4的算术平方根是0.2 D． 3．（24-25七年级下·湖南怀化·期中）下列说法正确的是（   ）． A．的平方根是 B．8的立方根是 C．的算术平方根是3 D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列说法错误的是（   ） A．的立方根是 B． C．的相反数是 D．5的平方根是 5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）下列说法正确的是（   ） A．8的算术平方根是4 B．64的立方根是 C．的平方根是 D． 6．（24-25七年级下·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根 B．的立方根是 C．的平方根是 D．是的算术平方根 题型三：求一个代数式的立方根 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）若实数，满足，则的立方根为 ． 2．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）若是数a的立方根，是数b的一个平方根，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若4的平方根是x，的立方根是y，则的值为 ． 4．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）已知实数a，b满足，则立方根是 ． 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）设、为实数，且，则的立方根是 ． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根为 ． 7．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知．若，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·山东青岛·期中）已知是的整数部分，，则的立方根是 ． 题型四：立方根与数轴的化简 1．（24-25八年级上·福建三明·期中）在数轴上表示的点一定在（   ） A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段 2．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 3．（24-25七年级下·重庆·期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 4．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 5．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）实数在数轴上对应点的位置如图，化简： 6．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 7．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为． \ (1)求实数的值； (2)求的值； (3)数轴上有、两点分别表示实数和，且有，求的立方根． 8．（23-24七年级下·安徽池州·期中）如图所示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ． (2)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 9．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简    题型五：立方根中混合运算（计算题） 1．（24-25七年级下·河南濮阳·期中）计算： (1)． (2)． 2．（24-25七年级下·吉林松原·期中）计算：． 3．（24-25七年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 4．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）计算：． 5．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）计算：． 6．（24-25七年级下·天津南开·期中）计算： (1)； (2)． 7．（24-25七年级下·山东德州·期中）计算： 题型六：立方根中解方程问题 1．（24-25七年级下·吉林·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·广东阳江·期中）解方程： (1)； (2) 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）求下列各式中的值： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）解方程： 5．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 题型七：与立方根有关的实际应用 1．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（    ） A．倍 B．倍 C． D． 2．（2025七年级下·山西·专题练习）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的棱长； (2)求丙正方体纸盒的棱长． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铅球的半径． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）小明和小红比赛搭积木，小红搭成的正方体，体积是，小明搭成的长方体，体积是，且长方体的宽和小红搭成的正方体的棱长相同，长方体的长和高相同． (1)求小红所搭积木的棱长； (2)小明和小红谁搭的积木高？ 题型一：与立方根有关的规律探索问题 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 2．（23-24八年级上·辽宁锦州·阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）观察规律，，，则 ． 4．（24-25七年级下·天津北辰·期中）观察下表规律： 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 利用规律：如果，，则 ． 5．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表： a 0.000008 0.008 8 8000 （2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______； （3）根据你发现的规律解答： ①已知，，，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______； ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米） 6．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 7．（24-25七年级下·贵州黔南·阶段练习）求59319的立方根，解答如下： ①，，又， ，能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． 根据以上步骤求195112的立方根． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）观察下列规律回答问题： (1)_______，_______； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则_______； (3)根据规律写出与a的大小情况． 题型二：立方根与平方根的综合 1．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知实数的算术平方根是2，的立方根是2． (1)求，的值； (2)求的平方根． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 4．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）已知的算术平方根是1，的立方根是，的平方根是． (1)求a，b，c的值： (2)求的平方根和立方根． 5．（24-25八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 6．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，表示的算术平方根，，表示的立方根． (1)求m、n的值； (2)求M和N的值； (3)求的平方根． 7．（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)已知实数的一个平方根是，的立方根是n，求的算术平方根． 题型三：立方根中新定义类问题 1．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 2．（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）本学期第七章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容： 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根） 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）． 性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数． 【类比探索】 （1）探索定义：填写表格： 1 16 81 类比平方根和立方根，给四次方根下定义： ； （2）探究性质： ①1的四次方根是 ； ②16的四次方根是 ； ③0的四次方根是 ； ④ （填“有”或“没有”）四次方根． 类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ① ； ② ； ③ ； 【拓展应用】______． 3．（23-24七年级下·江西南昌·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义：______； (2)625的四次方根为______；的五次方根为______； (3)求下列的值： ①； ②． 4．（23-24七年级下·安徽安庆·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求和的值． (2)用四则运算的加、减、乘、除定义一个新运算：．若满足，且，化简． 5．（24-25七年级下·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，并完成问题解答： （一）小明阅读7年级数学第二学期课本44-46页关于平方根的定义：如果，那么x叫做a的平方根，记作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，请你根据以上定义解答下列问题： (1)解方程： (2)选择题：式子中的a的取值可以是（    ） A．1    B．    C．    D． （二）仿照以上平方根的定义，我们发现：如果，那么x叫做a的立方根．记作，其中a可以是任意实数，例如：，那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (3)解方程： 如果，那么x叫做a的4次方根，记作，其中，例如：如果．那么，即，请你根据以上信息解答下列问题： (4)填空题：若，则x的值是________． 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）若是数的立方根，是数的算术平方根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（24-25七年级下·广东广州·期中）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．图即洛书，数出图中各处的圆圈和圆点个数，并按照图中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图），在图的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，则的立方根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚有一次看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出．请你用有关立方根的知识，逐一确定的位数、各个数位上的数字，可知的值是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法中正确的是（    ） A．1的平方根和立方根都等于它本身 B．若，则 C． D． 5．（24-25七年级下·四川凉山·期中）设，，，，则按由小到大顺序的排列为：（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）若，，，则= ． 7．（2025·四川资阳·模拟预测）若，则 ． 8．（24-25七年级下·河南开封·期中）阅读下面材料： 已知59319，274625都是整数的立方，，，，则．请根据上面的材料解决下面问题： ． 9．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）实数与互为相反数，则的算术平方根为 ． 10．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是2，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 11．（2025·河北秦皇岛·一模）数学课上，张老师为了提高学生的数学兴趣，设计了一个掷骰子的小游戏，游戏规则如下：游戏开始时，老师先说出一个数字，然后投掷骰子，骰子朝上的点数1，2，3，4，5，6分别代表计算法则：“＋1”，“平方”，“立方”，“”，“＋5”，“”，根据投掷的点数按照相应的计算法则进行计算．例如：开始数字为10时，投掷两次骰子的点数依次为5和2，则计算结果为： ． (1)开始数字为，投掷三次骰子的点数依次为4，2，6，计算其结果； (2)开始数字为m，投掷两次骰子的点数依次为1和3，计算结果为，求m的值． 12．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）观察下表，并解答下列问题． … 0.000001 0.001 1 1000 1000000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中______，______； (2)若，，则______（用含有的代数式表示）； (3)已知，，. ①_____，______； ②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，） 13．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）据说．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊讶，忙问计算的奥秘．你知道华罗庚怎样迅速准确地计算出来的吗？ 请按照下面的问题试一试： (1)由，可以确定是______位数，由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数字是_______．如果划去59319后面的三位319得到数59，而，由此可以确定的十位上的数字是_______； (2)已知是整数的立方，按照上述方法，请你求它的立方根． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有个水龙头和个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水，一个漏水的抽水马桶一个月漏水，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到取) 15．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$