精品解析：安徽省定远县第三中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024~2025学年第二学期高一5月考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 3. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，表示水平放置用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 5. 已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误是（ ） A. ，则 B. ，则直线，直线 C. ，则 D. ，且不共线，则重合 6. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的（ ） A. 极差为4 B. 标准差为 C. 平均数为3 D. 中位数为3 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的外接圆直径是 D. 内切圆半径是 11. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ） A. 与垂直 B. 与平行 C. 点到点，，，的距离相等 D. 与平面，与平面所成的角可能相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班有45名学生，其中男生25人，女生20人.现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的女生人数为______. 13. 已知是圆的弦，且，则______. 14. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与的夹角为135°，求实数的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量. 16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的众数； （2）求，值； （3）估计这100名候选者面试成绩第80百分位数． 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，，D是棱的中点． （1）证明：平面BCD平面． （2）求三棱锥的体积． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）若，边上中线，求边的长. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期高一5月考试 数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先用复数的乘法运算化简复数，然后求出复数所对应的点，即可得解. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 四边形一定是平面图形 C. 一个棱柱至少有两个面互相平行 D. 用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用基本事实一判断；对于B，利用空间四边形判断；对于C，根据棱柱的概念判断；对于D，由圆台于产生圆台的圆锥的结构特征，即可判断． 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 四边形不定是平面图形，比如空间四边形，B错误； 根据棱柱的概念可知，棱柱必有一组底面平行，故C正确； 用一个平行于底面的平面截圆锥才可以得到一个圆台和一个圆锥，故D错误． 故选：C 3. 如图所示，已知在中，是边上的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 4. 如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原△ABC，计算边AB上的高. 【详解】如图，作线段轴，交轴于点， 则， 所以边上的高为. 故选：D. 5. 已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ） A. ，则 B. ，则直线，直线 C. ，则 D. ，且不共线，则重合 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确. 故选：C. 6. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得，，，在点处测得塔顶的仰角为30°，则塔高为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可. 【详解】依题意，中，，，即， 解得. 在中，，即. 故选：A. 7. 在正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，知是与所成的角，进而可求解. 【详解】设正方体棱长为，则， 由，知是与所成的角， 正方体中可知：， 所以. 故选：C 8. 在中，为上一点，为上任意一点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先由共线定理得出，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为为上任意一点，， 因为三点共线，所以由共线定理得， 则， 当且仅当且，即时取等号，此时的最小值是12． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给定一组数据5，2，1，2，3，3，2，3，5，4，则这组数据的（ ） A. 极差为4 B. 标准差为 C. 平均数为3 D. 中位数为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出极差、平均数、标准差、中位数逐项判断可得答案. 【详解】将数据从小到大排列为：， 极差；平均数为； 标准差为；中位数为3. 故选：ACD 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式得，即可得，再利用余弦定理求，正弦定理求的外接圆直径，利用三角形面积公式求面积和内切圆半径. 【详解】由二倍角公式，可得， 因为，所以， 由余弦定理有， 解得，故A正确； 三角形的面积，故B正确； 的外接圆直径是，故C错误； 设内切圆半径为，结合B选项，三角形面积 ， 解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ） A. 与垂直 B. 与平行 C. 点到点，，，的距离相等 D. 与平面，与平面所成的角可能相等 【答案】AC 【解析】 【分析】 由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点. 因为，所以，所以平面，所以，从而A正确； 由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B错误； 点是外心，所以到，，的距离相等， 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C正确； 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法： （1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直； （2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可； （3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班有45名学生，其中男生25人，女生20人.现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的女生人数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质进行求解即可. 【详解】因为用分层抽样的方法， 所以应抽取的女生人数为， 故答案为：4 13. 已知是圆的弦，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】设，， ， . 故答案为： 14. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，，，结合长方体模型得出球O的半径，进而得出球O的表面积. 【详解】由题意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体. 由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，， 所以球O的表面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与的夹角为135°，求实数的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算结合向量夹角余弦公式计算求参； （2）应用数量积运算律结合投影向量公式计算求解. 【小问1详解】 由题意知，解得或. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得，∴. 故在上的投影向量为. 16. 某高校承办了某大型运动会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名候选者面试成绩的众数； （2）求，的值； （3）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数． 【答案】（1）; （2）; （3）. 【解析】 【分析】（1）可利用频率分布直方图来估计众数，即取频率最大的那组中点值； （2）可利用频率分布直方图来计算概率和为1，再联立方程组求解即可； （3）利用频率分布直方图中的面积和为0.8来计算第80百分位数． 【小问1详解】 根据频率分布直方图可知，第三组数据频率最大，取中点值为， 所以估计这100名候选者面试成绩的众数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图中的频率和为1可得，， 化简得：， 又由第三、四、五组的频率之和为0.7，则， 化简得：，所以； 【小问3详解】 第一组频率为，第二组频率为， 第三组频率为，，第四组频率为， 所以可设这100名候选者面试成绩的第80百分位数估计为， 则，解得：， 即可估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数为． 17. 如图，在三棱柱中，底面ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，，D是棱的中点． （1）证明：平面BCD平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，根据线面垂直的性质及判定证平面，再由面面垂直的判定证结论； （2）根据及锥体体积公式，即可得结果. 【小问1详解】 底面ABC，面ABC， ． ，，AC，平面， 平面， 平面BCD， ∴平面平面． 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ，则， 即△为等腰直角三角形 ∴. ∴. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. （1）求角； （2）若，边上的中线，求边的长. 【答案】（1） （2），或，. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故，结合，从而求出； （2）根据及余弦定理得到，再由得到，结合余弦定理得到，，求出的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 即， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 由余弦定理知：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故， 解得：，或，. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点为线段中点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而证明线面平行；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，由边的比求出正切值. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接，则为中点. 因为分别为中点， 所以. 因为平面平面， 所以平面. 小问2详解】 取中点，连接， 取中点，连接， 可得. 因为平面平面，平面平面. 所以平面， 因此平面平面，所以. 过作交于，连接， 可得平面，所以， 所以就是所求二面角的平面角，如图所示， ， 在直角中，可得， 即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$