1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值 暑假讲义2025-2026学年七年级上册数学（人教版2024）

1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求一个数的相反数 【题型二】 相反数的几何意义 【题型三】 求一个数的绝对值 【题型四】 绝对值的非负性 【题型五】 绝对值的几何意义及其应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握相反数的概念，会求一个有理数的相反数，能运用相反数的性质； 2 掌握绝对值的概念，会求一个有理数的绝对值，能运用绝对值的性质。 1.相反数 1.1相反数的概念 像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 1.2 相反数的几何意义 (1)在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则的相反数是. (2)互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等. 1.3 相反数的性质 (1)在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数. 如，，. (2)若，互为相反数，则. 2 绝对值 2.1 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作. 2.2 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值是. 用字母表示为： 如果，则；如果，则；如果，则. 即. 2.3 绝对值的大小 两个负数，绝对值大反而小. 【题型一】求一个数的相反数 相关知识点讲解 （1）引入： 在数轴上，到原点的距离等于的点有几个？这些点分别表示什么数？它们之间有什么关系呢？ 与原点距离是的点呢？ （2）像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 即的相反数是，的相反数是. 解释 (1)相反数不是一个数，是成对出现的； (2)表示任何一个数，则的相反数是；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数. (3)的相反数是. 【典题1】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典题2】 （15-16七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25九年级下·吉林松原·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 3（2025·福建三明·一模）在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型二】 相反数的几何意义 相关知识点讲解 相反数的几何意义 (1)在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则的相反数是. (2)互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等. 【典题1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，则图中点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 变式练习 1 （24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（   ） A． B．2025 C． D． 2（2024·河南商丘·模拟预测）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是（　　） A． B． C． D． 3（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 4（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型三】 求一个数的绝对值 相关知识点讲解 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作. 【例】 若，则 . 解析 ，即与原点距离为，则或 【典题1】（2025·甘肃陇南·二模）若的绝对值是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25七年级上·山东临沂·期末）在下列有理数中：，，，0，，，，负数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式练习 1（2025·河南信阳·三模）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 2（24-25七年级上·广东江门·期中）的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 3（2025·湖南张家界·二模）如果，那么（   ） A． B． C． D． 4（2024七年级上·全国·专题练习）若，，，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 5（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若，，则等于（     ） A． B． C． D．或 【题型四】绝对值的非负性 相关知识点讲解 的绝对值. 【典题1】（22-23七年级上·广东河源·期中）已知，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 变式练习 1（2024七年级上·全国·专题练习）如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 2（24-25七年级上·四川眉山·期中）成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 3（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 4（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 5（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【题型五】 绝对值的代数定义 相关知识点讲解 1 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值是. 用字母表示为： 如果，则；如果，则；如果，则. 即. 【例】，. 【典题1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 2（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 4（24-25九年级下·全国·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型五】 绝对值的几何意义及其应用 【典题1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 变式练习 1（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有； 既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数； 表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 4（22-23七年级上·湖北武汉·期中）国庆小长假后，高速公路养护小组乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下：（单位；千米）、、、、、、、． (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若他们所乘车辆的耗油量为0.08升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，互为相反数的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 2（24-25七年级上·山东德州·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4（22-23七年级上·广东肇庆·期中）在数轴上有A、B两点，A点表示的数为，A点与B点之间的距离为5个单位长度，则B点表示的数的相反数是（    ） A．3 B． C．或7 D．3或 5（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 6（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 7（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 9（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 2（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习） 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 求一个数的相反数 【题型二】 相反数的几何意义 【题型三】 求一个数的绝对值 【题型四】 绝对值的非负性 【题型五】 绝对值的几何意义及其应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 掌握相反数的概念，会求一个有理数的相反数，能运用相反数的性质； 2 掌握绝对值的概念，会求一个有理数的绝对值，能运用绝对值的性质。 1.相反数 1.1相反数的概念 像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 1.2 相反数的几何意义 (1)在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则的相反数是. (2)互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等. 1.3 相反数的性质 (1)在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数. 如，，. (2)若，互为相反数，则. 2 绝对值 2.1 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作. 2.2 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值是. 用字母表示为： 如果，则；如果，则；如果，则. 即. 2.3 绝对值的大小 两个负数，绝对值大反而小. 【题型一】求一个数的相反数 相关知识点讲解 （1）引入： 在数轴上，到原点的距离等于的点有几个？这些点分别表示什么数？它们之间有什么关系呢？ 与原点距离是的点呢？ （2）像和，和这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 即的相反数是，的相反数是. 解释 (1)相反数不是一个数，是成对出现的； (2)表示任何一个数，则的相反数是；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数. (3)的相反数是. 【典题1】（24-25七年级上·广东广州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．和只有符号不同，是互为相反数，故该选项符合题意； B．和不是相反数，故该选项不符合题意； C．和，不是相反数，故该选项不符合题意； D．和不是相反数，故该选项不符合题意； 故选：A． 【典题2】 （15-16七年级上·广东韶关·期中）下列化简，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 变式练习 1（24-25九年级下·吉林松原·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，理解相反数的定义是关键． 根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：B ． 2（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）给出下列各数：，，，，．其中负数有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查化简多重符号，将各数化简后，根据负数：“小于0的数”，进行判断即可．掌握化简多重符号，正负数的意义，是解题的关键． 【详解】解：，，，，， 则共有3个负数，即，，． 故选：C． 3（2025·福建三明·一模）在，0，，这四个数中，负数的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了负数“负数就是小于0的（实数）”，化简多重符号，熟练掌握负数的定义是解题关键．先化简多重符号，再根据负数的定义即可得． 【详解】解：是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，是负数， ，是正数， 综上，负数的个数是2个， 故选：B． 【题型二】 相反数的几何意义 相关知识点讲解 相反数的几何意义 (1)在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；则的相反数是. (2)互为相反数的两个数，在数轴上的对应点(除外)在原点两旁，并且与原点的距离相等. 【典题1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数互为相反数，则图中点C所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，相反数的定义，关键是正确确定原点位置． 首先确定原点位置，进而可得C点对应的数． 【详解】解：∵点A、B表示的数互为相反数， ∴原点在线段的中点处， ∴点C对应的数是． 故选：C． 变式练习 1 （24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点表示数，根据可得点A、B表示的数是相反数解题即可． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴点表示的数是， 故选：A． 2（2024·河南商丘·模拟预测）如图，点，，，在数轴上的位置如图所示，其中表示的相反数的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相反数的定义及互为相反数的两个数在数轴上的位置特点，熟练掌握相反数的定义是解题的关键；符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数，在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离的相等． 【详解】解：表示的相反数的点在原点的右侧，且到原点的距离为个单位长度的点，如图： 根据点，，，在数轴上的位置，可得点符合题意， 故选：C． 3（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数轴上，若，表示互为相反数的两个点，在的左边，并且这两点的距离为，则点所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点及互为相反数、两点之间的距离的概念，由相反数的含义及两点之间距离的表示方法，点与点到原点的距离相等即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，表示互为相反数的两个点，两点的距离为， ∴点和点到原点的距离为， ∵在的左边， ∴点表示的数为， 故选：． 4（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 【题型三】 求一个数的绝对值 相关知识点讲解 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做的绝对值，记作. 【例】 若，则 . 解析 ，即与原点距离为，则或 【典题1】（2025·甘肃陇南·二模）若的绝对值是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的定义，根据定义求解即可． 【详解】解：∵的绝对值是， ∴， 故选：A． 【典题2】（24-25七年级上·山东临沂·期末）在下列有理数中：，，，0，，，，负数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，化简多重符号，去绝对值，根据小于0的数为负数进行判断即可． 【详解】解：在，，，0，，，中，负数有，，，，共4个； 故选B． 变式练习 1（2025·河南信阳·三模）的绝对值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的定义． 根据绝对值的定义解答即可求解． 【详解】根据绝对值的定义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以． 故选A． 2（24-25七年级上·广东江门·期中）的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题绝对值和相反数，根据负数的绝对值为它的相反数，以及只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：的相反数是； 故选D． 3（2025·湖南张家界·二模）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4（2024七年级上·全国·专题练习）若，，，则的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义可得，，进而由即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， 故选：． 5（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）若，，则等于（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了乘方、绝对值、代数式的值，先由，得到，，再分别代入数值计算即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 即等于或， 故选：D 【题型四】绝对值的非负性 相关知识点讲解 的绝对值. 【典题1】（22-23七年级上·广东河源·期中）已知，则的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得到，，分别求出和的值，再进行计算即可解答． 【详解】解：依题意得：，， ． ． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性以及有理数加法运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 变式练习 1（2024七年级上·全国·专题练习）如果m是一个有理数，那么下面结论中正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，当时，，，据此可判断A、B、C，由绝对值的非负性即可判断D． 【详解】解：如果m是一个有理数，那么不是负数， 当时，，， ∴四个选项中，只有D选项结论正确，符合题意； 故选：D． 2（24-25七年级上·四川眉山·期中）成立的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据绝对值的非负性，可得，，求解即可选出正确答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：且 故选：C 3（24-25八年级上·山东临沂·期中）若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 4（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 5（2024七年级上·全国·专题练习）根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【题型五】 绝对值的代数定义 相关知识点讲解 1 绝对值的代数定义 一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值等于它的相反数；的绝对值是. 用字母表示为： 如果，则；如果，则；如果，则. 即. 【例】，. 【典题1】（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）若，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，即可求得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值的性质，关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 变式练习 1（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）若，则a的值不可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：当时，； 当时，则，； 当时，则，； 所以当小于或等于0时，， 所以不满足条件． 故选：A． 2（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义解题即可. 【详解】解：由题可知：， 解得：， 故选A. 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键. 3（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴以及绝对值，熟练掌握数轴是解题的关键．根据题意得到在数轴的位置判断即可． 【详解】解： a在数轴上的对应点的位置如图所示，且， 故在数轴上的对应点的位置如图所示， ， ，选项A正确，不符合题意； ，选项B错误，符合题意； ，选项C正确，不符合题意； ，选项D正确，不符合题意；    故选B． 4（24-25九年级下·全国·期末）若，，且，则x，y的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性．先根据绝对值的定义得到，，再由绝对值的非负性推出，则，． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 故选：C． 【题型五】 绝对值的几何意义及其应用 【典题1】（24-25六年级上·山东淄博·期中）某工厂的质检员抽查一批零件的质量，从中抽取了5件，根据检查结果 记录如下（已知零件的标准直径为，超过标准直径长度的数量记为正数，不足标准直径长度的数量记为负数．）： 1号零件： ；2号零件：；3号零件：；4号零件：；5号零件： 根据信息回答问题： (1)你认为几号零件的大小最符合标准？ (2)如果规定：误差在之内为正品，误差在之间为次品，误差超过为废品，那么这5个零件，哪件是正品，哪件是次品，哪件是废品？请直接写出你的结论． 【答案】(1)5号零件的大小最符合标准 (2)1、2、5号是正品，3号是次品，4号是废品 【分析】本题主要考查了绝对值意义，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据． （1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好； （2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品． 【详解】（1）解：∵， ∴5号零件的大小最符合标准． （2）解：∵，， ∴第1、2、5号是正品； ∵， ∴3号是次品， ∵， ∴4号为废品． 变式练习 1（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）在下列说法中：如果，则有； 既不是正数，也不是负数；一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数； 表示没有温度．正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，的意义，解题的关键是熟练掌握有关概念和性质． 根据绝对值的定义，的意义逐一判断即可． 【详解】解：如果，则有，故原说法错误； 既不是正数，也不是负数，故原说法正确； 一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数或，故原说法错误； 有温度，温度为度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上），故原说法错误； 综上可得：正确，共个， 故选：． 2（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，绝对值，解题的关键是根据数轴上点的位置确定，的正负； 根据，在数轴上的对应点的位置，逐项进行判断即可． 【详解】解：由，在数轴上的对应点的位置可知，， A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C 3（24-25七年级上·全国·随堂练习）世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 4（22-23七年级上·湖北武汉·期中）国庆小长假后，高速公路养护小组乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下：（单位；千米）、、、、、、、． (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若他们所乘车辆的耗油量为0.08升/千米，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后达到的地方在出发点的南边，距离出发点4千米 (2)这次养护共耗油5.92升 【分析】（1）把行驶记录的数据相加，根据计算结果即可解决问题； （2）用行驶记录数据的绝对值之和乘以耗油量即可得到答案． 【详解】（1）解：（千米）． 答：养护小组最后达到的地方在出发点的南边，距离出发点4千米． （2） （升． 答：这次养护共耗油5.92升． 【点睛】此题主要考查了有理数加法和乘法的实际应用，也考查了绝对值和正负数的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【A组---基础题】 1（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各组数中，互为相反数的是（  ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 化简各式，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】A．和这两个数互为相反数，故本选项符合题意； B．和3这两个数相等，故本选项不符合题意； C．和这两个数相等，故本选项不符合题意； D．和这两个数相等，故本选项不符合题意； 故选：A． 2（24-25七年级上·山东德州·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数，去括号，掌握一个数的前面加上负号就是这个数的相反数成为解题的关键． 根据相反数的定义逐层去括号，然后判断即可解答． 【详解】解；A、，故A选项正确，符合题意； B、，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质计算即可判断求解，掌握绝对值是性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4（22-23七年级上·广东肇庆·期中）在数轴上有A、B两点，A点表示的数为，A点与B点之间的距离为5个单位长度，则B点表示的数的相反数是（    ） A．3 B． C．或7 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意得出两种情况：当点在表示的点的左边时，当点在表示的点的右边时，列出算式求出再求相反数即可． 【详解】解：分为两种情况：①当点在表示的点的左边时，数为； ②当点在表示的点的右边时，数为， ∴B点表示的数是3或， 则B点表示的数的相反数是或7； 故选：C． 【点睛】本题考查的是数轴的特点，即数轴上两点之间的距离等于两点坐标之差的绝对值． 5（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数概念，化简多重符号，化简绝对值，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简多重符号与绝对值，再结合相反数概念判断各项，即可解题． 【详解】解：A、和，不互为相反数，不符合题意； B、和，互为相反数，符合题意； C、3和互为倒数，不符合题意； D、和，不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 6（24-25七年级上·广东珠海·阶段练习）若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值． 【详解】∵ ∴，解得： ∴ 故选：A． 7（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较，根据数轴的定义和性质可得，逐一判断即可，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解决问题的关键． 【详解】解： A、由数轴可知，，则，故选项不符合题意； B、由数轴可知，，故选项不符合题意； C、由数轴可知，，则，故选项不符合题意； D、由数轴可知，，则，， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 8（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数 【答案】A 【分析】 此题考查了有理数的加法和绝对值的意义的综合运用能力，由题意得a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且，所以可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数． 【详解】解：且， a，b，c三个数至少有一个正数，且至少有一个为负数，且， 可能a，b为正数c为负数，也可能a，b为负数c为正数， 故选：A． 9（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，绝对值，解题关键是判断出之间距离小于3，然后根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：， 之间距离小于3， ， 原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P． 故选：C． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 2（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习） 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，且满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____． 【答案】(1)8 (2)5或 (3)6，2025 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义的应用，数轴上两点之间的距离，理解并应用绝对值的定义及两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式求解可得； （2）根据绝对值的定义可得； （3）由的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；由表示数轴到表示3与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：若，那么的值为5或； （3）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，其中整数有，，0，1，2，3，共6个； 表示数轴到表示3与表示的点距离之和， 由两点之间线段最短可知： 当时，有最小值，最小值为． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$