1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 暑假讲义2025-2026学年新七年级上册数学（人教版2024）

1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 有理数的概念 【题型二】 有理数的分类 【题型三】 对0的认识 【题型四】 数轴的定义 【题型五】 数轴的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 理解有理数的概念； 2 掌握有理数的分类； 3 理解数轴的概念，会画数轴，理解数轴与有理数之间的关系。 1.有理数的概念 能写成分数形式的数称为有理数. 2.有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (2)按正数负数来分 3.数轴的概念 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 4 数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用脑原点右边的点表示，负有理数可用脑原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 【题型一】 有理数的概念 相关知识点讲解 1 旧知识回顾引入 我们目前学过了什么数？有些乱，我们要试图整理下； 2 能写成分数形式的数称为有理数. 解释 凡能写成(为整数且)形式的数，都是有理数. （1）整数也能化为分数，也是有理数，比如，； （2）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都是有理数，比如，； （3）无限不循环小数不能写出分数形式，不是有理数，比如. 【典题1】（24-25七年级上·云南保山·期末）下列各数：，0.121121112…，，，，，0，其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的概念，根据整数和分数统称为有理数，判定每个数是否是有理数即可． 【详解】解：有理数有，，，，0，共5个， 故选：C． 【典题2】证明是有理数，即证明能写成(为整数且)形式。 证明 设，则， 所以，所以，所以，即， 所以是有理数。 变式练习 1 （24-25七年级上·安徽芜湖·期末）在，，，中，有理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键． 根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，是有理数，共个， 故选：B． 2（24-25七年级上·湖南长沙·期中）下列各数：0，，，，，，，其中有理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据有理数的定义判断解答即可． 本题考查了有理数的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是有理数的数是0，，，，． 故选：Ｄ． 3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可． 【详解】解：根据题意，有理数是0，，，，，共5个． 故选：B． 4（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 5（24-25七年级上·四川眉山·期末）观察下面六个数，，，，，，（两个1之间的2的个数依次逐渐增加），这些数中，有理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据有理数定义：“整数和分数统称为有理数”进行解答即可． 【详解】解：在，，，，，（两个1之间的2的个数依次逐渐增加）中，有理数有，，，，共4个， 故选：C． 【题型二】 有理数的分类 相关知识点讲解 1 旧知识回顾引入 不管在生活中还是数学中，分类都很重要；比如人，按照性别分为男人和女人，按照人品分为好人和坏人； 我们学过的小数，分成多少种？ 2 有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (和正整数统称为自然数) (2)按正数负数来分 【典题1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【典题2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：； 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 变式练习 1（2025·河南漯河·一模）下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法解答即可，解题的关键是熟练掌握有理数的分类方式，有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：、是负分数，故不符合题意； 、既不是正整数也不是负整数，故不符合题意； 、是负整数，符合题意； 、是正整数，故不符合题意； 故选：． 2（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据负有理数包括负整数和负分数，进行判断即可． 【详解】解：，0，，，5中，负有理数有，，，共3个； 故选B． 3（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的分类和概念，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、既是分数，又是负数，符合题意； B、0是整数，既不是正数也不是负数，不符合题意； C、是小数，是正数，不符合题意； D、是整数，是负数，不符合题意； 故选：A． 4（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【分析】本题考查正数负数定义，正分数定义等．根据题意利用正负数及正分数定义逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵在和之间有正数，例如， ∴①不正确， ∵在0与之间有负数，例如， ∴②不正确， ∵在和之间有很多个正分数， ∴③正确， ∵在和之间有正分数，例如， ∴④不正确， 故选：A． 5（24-25七年级上·广东深圳·期中）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， (1)正有理数集合：{                                           …} (2)负有理数集合：{                                           …} (3)整数集合：{                                          …} (4)分数集合：{                                           …} 【答案】(1)5，，，π，， (2)，，，， (3)5，，，0， (4)，，，，， 【分析】此题考查了有理数的分类，根据有理数的分类方法进行解答即可. （1）根据正有理数的意义进行解答即可； （2）根据负有理数的意义进行解答即可； （3）根据整数的意义进行解答即可； （4）根据分数的意义进行解答即可. 【详解】（1）解：正有理数集合：{5，，，π，，…} （2）解：负有理数集合：{，，，，…} （3）解：整数集合：{5，，，0，…} （4）解：分数集合：{，，，，，…} 【题型三】 对0的认识 【典题1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，0是重要的数，掌握有理数的相关概念和分类是解题的关键．依据0的含义以及有理数分类逐一判断即可． 【详解】解：A、表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界，故此选项正确，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，故此选项正确，不符合题意； C、0是整数，也是最小的自然数，故此选项正确，不符合题意； D、0能写成分数的形式，是有理数，故此选项错误，符合题意；． 故选：D． 变式练习 1（23-24七年级上·河南许昌·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0是整数 D．0是分数 【答案】C 【分析】本题主要考查了“0”的意义，熟知“0”的意义是解题的关键． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意； C、0是整数，符合题意； D、0不是分数，不符合题意； 故选：C． 2（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 3（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了0的意义，正负数的定义，在非正数面前加上“”号，那么这个数非负数，据此可判断A；表示有温度，据此可判断B；在正数面前加上“”号，那么这个数就是负数，据此可判断C；0既不是正数也不是负数，据此可判断D． 【详解】解：A、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，例如前面加上“”号仍然为，原说法错误，不符合题意； B、表示有温度，原说法错误，不符合题意； C、若是正数，则一定是负数，原说法错误，不符合题意； D、0既不是正数也不是负数，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【题型四】 数轴的定义 相关知识点讲解 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 【例】 画一条数轴. 解析 解释 (1)在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点； (2)通常规定直线上向右(或上)为正方向，从原点向左(或向下)为反方向； (3)同一数轴上的单位长度要一致，单位长度的具体长度选择根据实际出发； (4)数轴是一条直线，原点、正方向、单位长度缺一不可； 【典题1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，分析各选项图形是否是直线、是否有方向、单位长度是否统一，即可解答题目． 【详解】解：A．没有规定正方向，故此选项错误，不符合题意； B．没有原点，故此选项错误，不符合题意； C．规定了原点、单位长度、正方向，故此选项正确，符合题意； D．各单位长度之间的距离不统一，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【典题2】（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    变式练习 1（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是规定了（　　） A．原点和正方向的一条直线 B．单位长度的一条直线 C．原点和单位长度的一条直线 D．原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键． 根据数轴的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选D． 2（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 3 （21-22七年级上·全国·课后作业）（1）在数轴上表示下列各数： （2）如图所乐，指出点A、B、C、E、F所表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）依次是0，，，，3 【分析】（1）画数轴，然后把表示出来即可； （2）根据数轴上的点可得出数轴上点A、B、C、E、F所对应的点． 【详解】解：（1）如下图数轴所示： （2）点A表示0，点B表示，点C表示，点E表示-1，点F表示3． 【点睛】本题主要考查的是数轴，熟知数轴上各点以及数轴的画法与点的表示是解题关键． 【题型五】 数轴的应用 相关知识点讲解 1 数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用脑原点右边的点表示，负有理数可用脑原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 2 利用数轴表示两数的大小 (1)在数轴上，越往右的数越大； (2)正数都大于，负数都小于，正数大于负数. 【典题1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，数轴上点表示的有理数可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴上表示有理数，解题的关键是掌握数轴的性质，根据有理数在数轴的位置，确定有理数的大小，即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【典题2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴上点与表示的点的距离是，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式解答即可． 【详解】解：数轴上点与表示的点的距离是的点有两个， 或， 点表示的数是或， 故选：D． 变式练习 1（2025·山西·一模）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数可能是下列四个数中的（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的特点，掌握数轴上点的特点是关键． 根据题意，在原地左边，离原点越远，值越小，在原点右边，离原点越远，值越大，由此即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置得到，点表示的数可能是， 故选：A ． 2（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴．根据，求出，继而可以求出点表示的数． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴， ∵点在O点左侧， ∴点表示的数为：， 故选：D． 3（2025·山东淄博·一模）如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，再根据向右平移3个单位从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 向右平移3个单位后表示的数是2， 故选：D． 4（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 5（2025·河南三门峡·一模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案．掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键． 【详解】解：根据数轴得：， ∵， ∴a可以是． 故选：A． 6（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点所表示的数，解题的关键是根据数轴上点的位置关系和单位长度来确定点所表示的数值． 确定点到点的单位长度个数，根据点表示的数以及单位长度个数计算点表示的数． 【详解】从数轴上观察可知，点到点间隔了4个单位长度，已知点表示的数是，因为是向右移动（数轴向右为正方向），所以点表示的数比点表示的数大．根据数轴上数的变化规律＂右加左减＂，可得点表示的数为． 故选：B． 7（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的知识点，解题的关键是掌握数轴上两点间距离的计算方法． 利用数轴上两点间距离公式计算表示\[-1\]的点与表示8的点之间的距离，再与选项对比． 【详解】在数轴上，两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值． 的点与表示8的点之间的距离， 故选：B． 8（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 【A组---基础题】 1（24-25六年级上·山东东营·期末）在，，，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查有理数的识别，根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，有理数有，，共2个； 故选B． 2（24-25七年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏． 此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整数、分数）即可解答． 【详解】①正有理数是正整数和正分数的统称，正确； ②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确； ③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确； ④0是偶数，也是自然数，故不正确； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选A． 3（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 4（24-25七年级上·甘肃武威·期中）下列数，，，，0.6，4中，正有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了有理数，掌握整数和分数统称有理数是关键．根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：数，，，，0．6，4中，正有理数有，0．6，4，共3个． 故选：B． 5（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素，根据数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度逐一判断即可，正确理解数轴的“三要素”是解题的关键． 【详解】解：、正方向反了，不符合题意； 、单位长度不统一，不符合题意； 、没有正方向，不符合题意； 、满足数轴的“三要素”，原点，正方向，单位长度，符合题意； 故选：． 6（2025·湖北襄阳·一模）一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了对数轴的认识，根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置，据此可得答案． 【详解】解：根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置， 则点A所表示的数是， 故选：B． 7（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定该数的取值范围为即可求解． 【详解】解：设手掌遮挡住的点表示的数为， 由数轴可知， ∵ 故选：B 8（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 9（24-25七年级上·河北邯郸·期中）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的知识，解决本题的关键是根据图形翻折次数找出规律，利用规律解决问题． 作出草图，观察发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2018除以3余2，可得翻转2018次后点B在数轴上，由此求得点B所对应的数即可． 【详解】如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵， ∴翻转2018次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是． 故选：A． 10（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                   …} 负分数集合：{                   …} 非负有理数集合：{                   …} 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键．根据整数、分数、正数、负数以及非负有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0，，，，6，，3.14，． 整数集合：{ ，0，}； 负分数集合：{ ，，}； 非负有理数集合：{ ，0，，6，}． 11（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）有一列数：0.5，3，，，； (1)补全下面的数轴，并把上述各数在数轴上表示出来； (2)把这一列数按从小到大的顺序排列起来，并用“<”连接． 【答案】(1)数轴见解析 (2) 【分析】（1）根据数轴的三要素：单位长度，正方向，原点，将数轴补充完整，然后将上述各数表示在数轴上即可； （2）根据数轴上的数，负方向的数总是小于正方向的数进行解答即可． 【详解】（1）解：补全数轴以及数轴表述数如下： （2）解：． 【点睛】本题考查了数轴的三要素，在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，熟练掌握有理数在数轴的表示方法是解本题的关键． 【B组---提高题】 1（20-21七年级上·北京海淀·期末）已知有理数满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），， 下列结论 ①； ②当点与点重合时，； ③当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据平方式和绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法和中点的表示方法去证明命题的正确性． 【详解】解：∵，，且， ∴，，解得，，故①正确； 当点与点重合时， ∵，， ∴，故②错误； 设点P表示的数是， 当点与点重合时，点B表示的数是2， ，，， ∴，故③正确； 设点B表示的数是，则点C表示的数是， ∵M是OB的中点， ∴点M表示的数是， ∵N是AC的中点， ∴点N表示的数是， 则，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的性质，解题的关键是掌握数轴上两点之间距离的求解，中点的表示方法． 2证明是有理数，即证明能写成(为整数且)形式。 证明 设，则， 所以，所以，所以，即， 所以是有理数。 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 有理数的概念 【题型二】 有理数的分类 【题型三】 对0的认识 【题型四】 数轴的定义 【题型五】 数轴的应用 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1 理解有理数的概念； 2 掌握有理数的分类； 3 理解数轴的概念，会画数轴，理解数轴与有理数之间的关系。 1.有理数的概念 能写成分数形式的数称为有理数. 2.有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (2)按正数负数来分 3.数轴的概念 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 4 数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用脑原点右边的点表示，负有理数可用脑原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 【题型一】 有理数的概念 相关知识点讲解 1 旧知识回顾引入 我们目前学过了什么数？有些乱，我们要试图整理下； 2 能写成分数形式的数称为有理数. 解释 凡能写成(为整数且)形式的数，都是有理数. （1）整数也能化为分数，也是有理数，比如，； （2）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，都是有理数，比如，； （3）无限不循环小数不能写出分数形式，不是有理数，比如. 【典题1】（24-25七年级上·云南保山·期末）下列各数：，0.121121112…，，，，，0，其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典题2】证明是有理数，即证明能写成(为整数且)形式。 变式练习 1 （24-25七年级上·安徽芜湖·期末）在，，，中，有理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2（24-25七年级上·湖南长沙·期中）下列各数：0，，，，，，，其中有理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 5（24-25七年级上·四川眉山·期末）观察下面六个数，，，，，，（两个1之间的2的个数依次逐渐增加），这些数中，有理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型二】 有理数的分类 相关知识点讲解 1 旧知识回顾引入 不管在生活中还是数学中，分类都很重要；比如人，按照性别分为男人和女人，按照人品分为好人和坏人； 我们学过的小数，分成多少种？ 2 有理数的分类 (1)按有理数的意义分类 (和正整数统称为自然数) (2)按正数负数来分 【典题1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【典题2】（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：； 变式练习 1（2025·河南漯河·一模）下列四个数中，是负整数的是（　　） A． B． C． D． 2（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 3（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 4（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 5（24-25七年级上·广东深圳·期中）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，，π，，，，0， (1)正有理数集合：{                                           …} (2)负有理数集合：{                                           …} (3)整数集合：{                                          …} (4)分数集合：{                                           …} 【题型三】 对0的认识 【典题1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列关于“0”的叙述中，不正确的是（   ） A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是最小的自然数 D．不能写成分数的形式，不是有理数 变式练习 1（23-24七年级上·河南许昌·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0是整数 D．0是分数 2（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 3（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数前面加上“”号，这个数就是负数 B．表示没有温度 C．若是正数，则不一定是负数 D．0既不是正数也不是负数 【题型四】 数轴的定义 相关知识点讲解 规定了原点、正方形、单位长度的直线叫做数轴. 【例】 画一条数轴. 解析 解释 (1)在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点； (2)通常规定直线上向右(或上)为正方向，从原点向左(或向下)为反方向； (3)同一数轴上的单位长度要一致，单位长度的具体长度选择根据实际出发； (4)数轴是一条直线，原点、正方向、单位长度缺一不可； 【典题1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列所画数轴完全正确的是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（22-23七年级上·山东聊城·开学考试）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 变式练习 1（2024七年级上·全国·专题练习）数轴是规定了（　　） A．原点和正方向的一条直线 B．单位长度的一条直线 C．原点和单位长度的一条直线 D．原点、正方向和单位长度的一条直线 2（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 3 （21-22七年级上·全国·课后作业）（1）在数轴上表示下列各数： （2）如图所乐，指出点A、B、C、E、F所表示的数． 【题型五】 数轴的应用 相关知识点讲解 1 数轴上的点与有理数的关系 (1)所有有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可用脑原点右边的点表示，负有理数可用脑原点左边的点表示，用原点表示； (2)数轴上的点不都表示有理数，比如数轴上的点不是有理数. 2 利用数轴表示两数的大小 (1)在数轴上，越往右的数越大； (2)正数都大于，负数都小于，正数大于负数. 【典题1】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，数轴上点表示的有理数可能是（   ）    A． B． C． D． 【典题2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）数轴上点与表示的点的距离是，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 变式练习 1（2025·山西·一模）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数可能是下列四个数中的（    ） A． B． C．2 D．3 2（2025·辽宁本溪·一模）如图，点和点在数轴上，分别位于原点两侧，且，当点表示的数是2025时，点表示的数是（   ） A．2025 B． C． D． 3（2025·山东淄博·一模）如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（   ） A． B．0 C．1 D．2 4（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 5（2025·河南三门峡·一模）如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（   ） A． B． C．0 D．1 6（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，在数轴上每隔一个单位长度取一个点，若点A表示的数是，则点B表示的数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7（24-25七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，表示的点与表示8的点之间的距离是（    ） A．7个单位长度 B．9个单位长度 C．8个单位长度 D．10个单位长度 8（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【A组---基础题】 1（24-25六年级上·山东东营·期末）在，，，中，有理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25七年级上·安徽淮南·期中）下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 4（24-25七年级上·甘肃武威·期中）下列数，，，，0.6，4中，正有理数的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5（24-25七年级上·福建莆田·期中）以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 6（2025·湖北襄阳·一模）一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 7（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（   ）． A． B． C． D． 8（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 9（24-25七年级上·河北邯郸·期中）等边在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为0和，若绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1；则翻转2018次后，点B所对应的数是（    ） A．2017 B．2016 C．2015 D．2014 10（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                   …} 负分数集合：{                   …} 非负有理数集合：{                   …} 11（22-23七年级上·山东滨州·阶段练习）有一列数：0.5，3，，，； (1)补全下面的数轴，并把上述各数在数轴上表示出来； (2)把这一列数按从小到大的顺序排列起来，并用“<”连接． 【B组---提高题】 1（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 2证明是有理数，即证明能写成(为整数且)形式。 10 学科网（北京）股份有限公司 $$