（新知预习）第三讲 数轴（新课学习+8个高频考点讲练+优选真题培优练 共44题）小升初暑假衔接讲练-2025-2026学年人教版数学七年级上册

第三讲 数轴 （新课学习+8个高频考点讲练+优选真题培优练 共44题） 讲义使用介绍 1 课程目标 1 新课学习 2 导图总结 5 高频题型讲练 6 考点讲练01：数轴的三要素及其画法 6 考点讲练02：用数轴上的点表示有理数 8 考点讲练03：利用数轴比较有理数的大小 10 考点讲练04：数轴上两点之间的距离 12 考点讲练05：数轴上点的平移（动点问题) 17 考点讲练06：数轴上找原点 19 考点讲练07：数轴上整点覆盖问题 21 考点讲练08：数轴上的规律探究 22 真题汇编 能力强化 24 同学你好！该份讲义用于暑假学习。预习人教版七年级上册内容，讲义从基础知识学习入手，包含新课学习（彩图版）；知识汇总梳理；高频考点分类讲练；优选真题拔高练20题等四大部分。讲义排版精美，难度由浅入深，从生活实际内容学起，提升学习兴趣。考点划分详尽，题目优选近两年各地名校模拟题，真题等常考、易错类题型，解析版思路清晰，解题过程完整，技巧性强。讲义适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，过得愉快！ （1）了解数轴的概念，会画数轴. （2）能用数轴上的点表示有理数，并能说出数轴上的已知点所表示的数. （3）借助数轴体会数形结合思想. 目标解析： 对于目标（1），在课堂教学中，学生积极参与教师组织的各种探究活动，能够从实际情境（如温度计、东西向马路上的位置表示等）中抽象出数轴的模型，理解数轴的形成过程. 学生需明确数轴 “原点、正方向、单位长度” 三要素的内涵，掌握 “画直线→定原点→标方向→分单位” 的四步操作流程.达成标志是能区分数轴与普通直线的差异，避免遗漏三要素（如无箭头或单位不统一），规范呈现数轴的几何形态. ​ 对于目标（2），学生需建立有理数与数轴点的双向对应关系，实现 “数→形” 与 “形→数” 的转化. 达成标志是准确标注整数、分数、小数对应的点（如 1.5 是 1与2 的中点），逆向识别点对应的数值，突破负数与分数的表征难点. 对于目标（3），学生需通过数轴直观载体，理解抽象数集与具象点集的关联，渗透 “以形助数、以数释形” 的思维方法. 【知识引入】 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题. 我们也可以在此基础上直观表示有理数. 问题：在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧 3 m 和 7.5 m 处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧 3 m 和 4.8 m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境. 【知识讲解】 如图，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长. 于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和交通标志杆的位置；在点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置. 思考：怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？ 在一条直线上任取一点 O 为基准点，规定 1 个单位长度（线段 OA 的长）代表 1 m 长. 再用 0 表示点 O，用负数表示点 O 左边的点，用正数表示点 O 右边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点. 思考：图中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，它和刚刚画出的直线有什么共同点？ 都有表示基准的点；都有方向；都有刻度. 【归纳】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件： （1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，…；从原点向左，用类似方法表示－1，－2，－3，… 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 你会表示出在数轴的正半轴上，距离原点 6.5 个单位长度的点吗？ 在数轴的负半轴上，距离原点个单位长度的点呢？ 【小结】所有的有理数都能用数轴上的点来表示.思考：数轴上的点都表示有理数吗？ 不是，例如能在数轴上找到表示π的点. 【归纳】一般地，设a是一个正数，则： 数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度； 表示数－a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度. 数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点. 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题.数形结合百般好， 数缺形时少直觉， 形缺数时难入微。 ——华罗庚 数形结合思想 知识点1 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 考点讲练01：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（24-25七年级上·山西运城·期中）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来． ，，0， 【答案】见详解； 【思路引导】本题主要考查画数轴，用数轴上的数表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，先把数轴补充完整，把有理数表示在数轴上，再利用数轴表示出有理数的大小即可． 【规范解答】解：数轴上表示各数如下： 根据数轴可知：． 【演练1】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）请把下面不完整的数轴补充完整，并将，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】见详解， 【思路引导】本题主要考查了数轴、用数轴上点表示有理数、利用数轴比较有理数大小等知识，熟练掌握数轴的三要素并将各数表示在数轴上是解题关键．首先根据数轴的三要素补画数轴，再将各数表示在数轴上，然后比较大小即可． 【规范解答】解：补画数轴，并将，，，在数轴上表示出来，如下图所示， 将各数用“”连接起来为． 【演练2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）为切实做好杭州亚运会安全保卫工作，一天下午杭州市某街道张警官开车从警务所出发对所辖街道重点单位的门卫值勤岗进行一次巡查。根据约定计划先后依次巡查的5个单位分别是朝阳超市（A），利群农贸市场（B），和记食府（C），现代汽车城（D），万达广场（E）．警务处和这5家单位恰好位于东西走向的街道上，如果规定警务处为原点，向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）可记录如下：，，，， (1)以警务所为原点，厘米为单位长度表示1千米画数轴，在数轴上标出题中5家单位的位置（用对应字母标注） (2)出发时张警官发现汽车油表显示余油27升，他到达现代汽车城时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，如果张警官想按计划完成巡查并回到警所，接下来的途中是否需要考虑加油？（全程不考虑其它损耗） 【答案】(1)见解析 (2)接下来的途中需要考虑加油 【思路引导】本题考查数轴、正负数的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解正负数的意义，正确列出算式是解答的关键． （1）先画出数轴，再根据题意在数轴上标注5家单位的位置即可； （2）根据题意，先求得汽车的耗油量，再根据从现代汽车城回到警所需油量即可求解． 【规范解答】（1）解：数轴上标出题中5家单位的位置如图所示： （2）解：根据题意，该汽车的耗油量为（升/千米）， 从现代汽车城回到警所的路程和为（千米）， 故所需油量为（升） ∵， ∴接下来的途中需要考虑加油． 考点讲练02：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 【答案】数轴表示见解析， 【思路引导】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、有理数的大小比较，首先把各数在数轴上表示出来，再根据数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【规范解答】解：，， 把各数表示在数轴上，如下图所示， 按从小到大的顺序用“”连接起来可得：． 【演练1】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，观察数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：______； (2)列式求点A与点B的距离. 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查数轴及有理数，熟知数轴上的点所表示的特征是解题的关键． （1）根数轴上的点所表示的数的特征即可得到答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴所知：有理数表示，表示； 故答案为：，； （2）解：． 【演练2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【思路引导】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【规范解答】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 考点讲练03：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·山西太原·期中）已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数的点是________，点A表示的有理数是________；，两点之间的距离为________个单位长度； (2)用数轴上的点，分别表示有理数和； (3)将,0，，这四个数用“”连接的结果是：________． 【答案】(1)B，，6.5 (2)见详解 (3) 【思路引导】（1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可； （2）根据数轴上表示有理数的方法求解即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得表示有理数的点是B，点A表示的有理数是；B，C两点之间的距离为个单位长度． 故答案为：B，，6.5； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． 【演练1】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如下图，在每个刻度为1个单位长度的数轴上，点A表示的数是 ，，， (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是________； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【答案】(1)在数轴上标出原点见解析, 5 (2)3或7 (3)在数轴上表示见解析， 【思路引导】本题考查了利用数轴有理数比较大小，关键是在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据题意可知点A往右数两个单位长度即为原点0的位置，点B距离原点5个单位长度，且在原点右侧，所以点B表示的数是5； （2）点C与点B距离2个单位长度，分两种情况：①点C在点B左侧距离2个单位长度，②点C在点B右侧距离2个单位长度，即可求解； （3）在数轴上确定表示各数点的位置，再根据在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大，并用小于号将各数连接起来即可． 【规范解答】（1）解：如图，点为原点，点表示的数是5， 故答案为：5； （2）如图，点C表示的数为或， 故答案为：3或7； （3）如图，在数轴上表示各数， ∴． 【演练2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）已知有理数． (1)把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来． (2)①在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______； ②在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______． 【答案】(1)数轴表示见解析，＜＜＜＜ (2)①5；②1.5． 【思路引导】本题考查的是数轴上的点，有理数的大小比较以及两点间距离，解答此题的关键是熟知数轴上右边的数总大于左边的数． （1）先在数轴上表示出各数，再按照数轴的特点从左到右用“＜”把各数连接起来即可． （2）①先化简有理数，再根据两点间距离公式求解即可． 【规范解答】（1）解：， 再把在数轴上表示如下： ∴； （2）解：①∴ ∴有理数与对应的两点之间的距离为； 故答案为：5 ②，， ∴与对应的两点之间的距离为 故答案为：1.5 考点讲练04：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： ①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______； ③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______； (2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值． ②式子的最小值是______． 【答案】(1)①4  ②2  ③3  ④4； (2)； (3)①或；②式子的最小值是8． 【思路引导】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用． （1）观察数轴运用有理数减法即可求解； （2）根据（1）中所观察规律即可得结论； （3）①根据（2）中得到的结论列出等式，求解即可； ②分，，，，五种情况讨论，可得答案． 【规范解答】（1）解：观察数轴，可得 ①点D与点A的距离为， 故答案为：4； ②点D与点G的距离为； 故答案为：2； ③点C与点A的距离为， 故答案为：3； ④点C与点F的距离为； 故答案为：4； （2）解：如果点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P与点Q之间的距离可表示为． 故答案为：； （3）解：①根据（2），得：， ， 即或， 解得：或． ②分五种情况： 当时，， 此时，当时，最小值是12； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，， 此时，当时，最小值是12； 综上，当式子取最小值时，相应的x的取值范围是， 即 =8， ∴最小值是8． 故答案为：8． 【演练1】（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式． （1）根据数轴上两点间的距离公式可求有几个单位长度，在图2中，，则数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的，由图2 知 ，，可求出，在数轴上的距离为个单位长度，最后根据两点间的距离公式求出； （2）根据，，可得，结合点所表示的数为，利用两点间的距离公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 【演练2】（18-19七年级上·全国·课后作业）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）；（2）；；（3）岁 【思路引导】本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离， （1）此题关键是正确识图，由数轴观察知三根木棒长是，则可得出此木棒的长； （2）根据两点间的距离公式即可求解； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，则可知爷爷比小红大，由此可求出爷爷的年龄； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【规范解答】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：， ∵ ∴木棒的长为； （2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：；； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，      爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， ∴爷爷比小红大：， ∴爷爷的年龄为（岁）， 答：爷爷现在的年龄是岁． 考点讲练05：数轴上点的平移（动点问题) 【典例精讲】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【演练1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【答案】(1) (2)当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【思路引导】本题主要考查用数轴表示有理数、数轴上的动点问题等知识点，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”列式计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，写出一种移动方法即可． 【规范解答】（1）解：∵点A表示的数是4， ∴将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是． 故答案为：． （2）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是0，点C表示的数是， ∴当点B，C移动到点A的位置时，点B向右移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，C移动到点B的位置时，点A向左移动个单位长度，点C向右移动个单位长度； 当点A，B移动到点C的位置时，点A向左移动个单位长度，点B向左移动个单位长度． 【演练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【思路引导】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答． （2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等． 【规范解答】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数， ∴点B表示的数是0，点C表示的数是 ∵点A表示的数是， 则三点在数轴上表示如图所示． 根据数轴上左边的数小于右边的数可知，． （2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是 ∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等． 考点讲练06：数轴上找原点 【典例精讲】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)把这些数用数轴上的点表示出来：．请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【答案】(1)见解析；4 (2)数轴见解析； 【思路引导】（1）利用点A向右平移3个单位确定数轴原点，再确定点B表示的数即可； （2）数轴上标上数字，先化简，，，然后在数轴上描出表示各数的点，标上原数，根据数轴的性质用“”号把这些数按从小到大连接起来即可． 【规范解答】（1）解：点A表示的数是，点A向右移动3个单位为数轴原点O， ∴点B在原点右边4个单位位置，表示4， （2）解：，，， 在数轴上表示各数， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了数轴上表示数，利用数轴比较大小，掌握点的平移，数轴上表示数，利用数轴比较大小是解题关键． 【演练1】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【思路引导】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 【演练2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到，据此建立关于b的方程，解方程求出b，进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【规范解答】解：∵有理数的绝对值是的绝对值的3倍，且两个数之间的距离为， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 考点讲练07：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【思路引导】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【规范解答】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 【演练1】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【答案】C 【思路引导】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案． 【规范解答】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个， 线段盖住的整数点至少有个 故选：C． 【考点剖析】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键． 【演练2】（20-21七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【思路引导】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小. 【规范解答】解：被遮住的左边是整数-2，右边是0，因此被遮挡的整数是-1. 故选B. 【考点剖析】本题主要考查数轴表示数的意义，互为相反数的求法，理解数轴表示数的意义. 考点讲练08：数轴上的规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【规范解答】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【演练1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了数轴上的规律探索； 根据圆的滚动可得四个字母一循环，被整除后余3，从点与数字0对应开始计算，然后即可求解； 【规范解答】解：圆的周长为4个单位长度， 个数字为一个循环， ∵点与数字0对应，， 对应的字母是． 故选：A． 【演练2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键．由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【规范解答】解：当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1， 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故选：B． 1．（24-25七年级上·云南文山·期中）已知三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据数轴可知，，据此逐项判断即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【规范解答】解：根据数轴可知，， 则、，原选项结论错误，不符合题意； 、，原选项结论错误，不符合题意； 、，原选项结论错误，不符合题意； 、，原选项结论正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习），在数轴上的位置如图所示，则，，， 的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了数轴和有理数的大小比较，从数轴上a、b的位置得出，，推出，，，，根据以上结论即可得出答案． 【规范解答】解：从数轴上可以看出，， ∴，，，， 即， 故选：B． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）一条数轴上有两点与，原点为，已知，点在点的右侧且，若点是的中点，则点所表示的数可能是（   ） A．或 B．或4 C．1或 D．1或4 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．先根据点A的与原点的距离确定点可能对应的数，再根据两个点之间的距离得点B，再结合中点即可出答案． 【规范解答】解：由题意可得：点A对应的数可能是或， ∵点B在点A的右侧且， ∴点B所表示的数为或， 当B所表示的数为时， ∵点是的中点，即， ∴点C所表示的数为4， 当B所表示的数为时， ∵点是的中点，即， ∴点C所表示的数为1， 综上所述：点所表示的数可能是4或1. 故选：D． 4．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）点P在数轴上表示的数是，将点P移动7个单位长度后所得的点表示的数是（   ） A．4或 B．10或 C． D．4 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键要注意分类讨论． 分将点向右移和向左移两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：当点向左移动7个单位长度时，点表示的数为； 当点向右移动7个单位长度时，点表示的数为； 综上所述，点表示的数为4或， 故选：A． 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了用数轴上的点表示有理数，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围即可求解． 【规范解答】解∶由图可知：刻度尺上在数轴上表示一个单位长度， ∵数轴上x的值在刻度尺的和之间， ∴数轴上x的值的取值范围是，即， ∴仅有D选项符合题意． 故选：D． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 【答案】C 【思路引导】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，正方形滚动一周的长度为4，从到2024共滚动2026个单位长度，由，即可作出判断． 【规范解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的周长为4， ∴正方形滚动一周的长度为4， ∵正方形的起点在处， ∴， ∵， ∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合， 故选：C． 7．（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了有理数与数轴、有理数的四则运算法则等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据数轴上点的位置可得，，再根据有理数四则运算法则逐项判断即可． 【规范解答】解：由题意得，， A.∴，即此选项不符合题意； B.，即此选项不符合题意； C.，即此选项不符合题意； D.，即此选项符合题意． 故选∶D． 8．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【思路引导】通过前面几次的分析、归纳，发现每4次一个循环，点C所对应的数有规律地变化；翻转为正整数）次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；翻转次后，点C所对应的数为；于是令即可得解． 【规范解答】解：翻转1次后，点C所对应的数为0； 翻转2次后，点C所对应的数为0； 翻转3次后，点C所对应的数为1； 翻转4次后，点C所对应的数为3； 翻转5次后，点C所对应的数为4； 翻转6次后，点C所对应的数为4； 翻转7次后，点C所对应的数为5； 翻转8次后，点C所对应的数为7； 翻转9次后，点C所对应的数为8； …… 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 翻转次后，点C所对应的数为； 余2， 令， ， 翻转2022次后，点C所对应的数为2020； 故选：A． 【考点剖析】此题考查了数轴、图形上点在数轴上所对应的数的变化规律，正确理解题意，准确找出翻转的次数与点对应的数字的规律是解答此题的关键． 9．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【规范解答】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 10．（24-25七年级上·山西晋中·期末）点在数轴上距原点2个单位长度，一个点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点，点表示的数为 ． 【答案】0或4 【思路引导】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，利用数轴上的点左移减，右移加是解题关键． 先确定点A表示的数，再分别求出两次移动后表示的有理数即可得出答案． 【规范解答】解：点在数轴上距原点2个单位长度， 点表示的数为2或， 当点表示2时：向右移动3个单位得，再向左移动1个单位，， 当点表示时：向右移动3个单位得，再向左移动1个单位，， 综上，点表示的数为0或4． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）如图，我们学过的数可以在数轴上表示出来．若点m表示，那么点n表示 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了数轴的认识，正负数等知识点，结合正负数以及分数的意义和表示方法解答即可，熟练掌握其概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【规范解答】解：根据图示，点m在原点的右侧，是正数；根据分数的意义可知，就是把单位“1”平均分成4份，取其中的3份， 观察图形可知，m在距离0点6个小格，根据分数的基本性质可知，，即把单位“1”平均分成8份，取其中的6份，化简是， 由此可知，一小格表示，n在原点的左侧，是负数，距离原点有3格，那么点n表示， ∴若点m表示，那么点n表示， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【规范解答】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那么被盖住的点表示整数的有 个． 【答案】9 【思路引导】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，写出被覆盖住的点表示的整数，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【规范解答】解：由数轴可得，被覆盖住的点表示的整数有、、、、、、、、，共9个， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】点B 【思路引导】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【规范解答】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 数轴上数所对应的点是点 故答案为：点． 15．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了数轴动点问题，求出AB的距离是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离的定义及数轴的定义得出距离，然后算出点P运动的时间，再根据点Q运动的速度求出运动的时间，根据数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离从而可得答案； 【规范解答】解：∵点A所表示的数为，点B表示的数为7， ∴， ∵点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动， ∴点P运动到点A需要（秒）， ∵点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动， ∴点Q运动的距离为：， ∴点Q表示的数为：， 故答案为：1． 16．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【规范解答】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 17．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【思路引导】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 18．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)点C表示的有理数是：___________； (2)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (3)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (4)将这5个数用“<”连接的结果是__________________． 【答案】(1) (2)；或1 (3)见详解 (4) 【思路引导】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察数轴，直接作答即可； （2）先得出点A表示的有理数是：4，再结合点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，得出点D表示的数是，则点D距离2个单位长度的数是或1； （3）结合点M、N分别表示有理数和，直接在数轴上描点，即可作答． （4）由（3）中的数轴，越在数轴的右边的数越大，得，即可作答． 【规范解答】（1）解：由数轴得点C表示的有理数是：， 故答案为：． （2）解：由数轴得点A表示的有理数是：4， ∵将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示， ∴ 则点D表示的数是； 或， 即到点D距离2个单位长度的数是或1； 故答案为：；或1； （3）解：依题意，用数轴上的点M、N分别表示有理数和．如下图所示： （4）解：由（3）中的数轴，得， 故答案为：． 19．（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 【答案】(1)，B (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、比较有理数的大小等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接观察数轴即可解答； （2）在数轴上用点分别表示有理数和6即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大比较大小即可解答． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，A点表示的有理数是，表示有理数的点是B． 故答案为：，B． （2）解：用数轴上的点分别表示有理数和6如下： （3）解：根据（2）的数轴可知：将，6，，0，用“”连接的结果是：． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【思路引导】本题主要考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，数轴上的点表示有理数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． （1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）由题意可得、的长度，从而由点A、C对应的数即可求出点M、N对应的数； （3）根据题意可得点Q对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断； 【规范解答】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 数轴 （新课学习+8个高频考点讲练+优选真题培优练 共44题） 讲义使用介绍 1 课程目标 1 新课学习 1 导图总结 5 高频题型讲练 6 考点讲练01：数轴的三要素及其画法 6 考点讲练02：用数轴上的点表示有理数 7 考点讲练03：利用数轴比较有理数的大小 8 考点讲练04：数轴上两点之间的距离 9 考点讲练05：数轴上点的平移（动点问题) 11 考点讲练06：数轴上找原点 12 考点讲练07：数轴上整点覆盖问题 13 考点讲练08：数轴上的规律探究 13 真题汇编 能力强化 14 同学你好！该份讲义用于暑假学习。预习人教版七年级上册内容，讲义从基础知识学习入手，包含新课学习（彩图版）；知识汇总梳理；高频考点分类讲练；优选真题拔高练20题等四大部分。讲义排版精美，难度由浅入深，从生活实际内容学起，提升学习兴趣。考点划分详尽，题目优选近两年各地名校模拟题，真题等常考、易错类题型，解析版思路清晰，解题过程完整，技巧性强。讲义适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，过得愉快！ （1）了解数轴的概念，会画数轴. （2）能用数轴上的点表示有理数，并能说出数轴上的已知点所表示的数. （3）借助数轴体会数形结合思想. 目标解析： 对于目标（1），在课堂教学中，学生积极参与教师组织的各种探究活动，能够从实际情境（如温度计、东西向马路上的位置表示等）中抽象出数轴的模型，理解数轴的形成过程. 学生需明确数轴 “原点、正方向、单位长度” 三要素的内涵，掌握 “画直线→定原点→标方向→分单位” 的四步操作流程.达成标志是能区分数轴与普通直线的差异，避免遗漏三要素（如无箭头或单位不统一），规范呈现数轴的几何形态. ​ 对于目标（2），学生需建立有理数与数轴点的双向对应关系，实现 “数→形” 与 “形→数” 的转化. 达成标志是准确标注整数、分数、小数对应的点（如 1.5 是 1与2 的中点），逆向识别点对应的数值，突破负数与分数的表征难点. 对于目标（3），学生需通过数轴直观载体，理解抽象数集与具象点集的关联，渗透 “以形助数、以数释形” 的思维方法. 【知识引入】 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题. 我们也可以在此基础上直观表示有理数. 问题：在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧 3 m 和 7.5 m 处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧 3 m 和 4.8 m 处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境. 【知识讲解】 如图，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长. 于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和交通标志杆的位置；在点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置. 思考：怎样用数简明地表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系（方向、距离）？ 在一条直线上任取一点 O 为基准点，规定 1 个单位长度（线段 OA 的长）代表 1 m 长. 再用 0 表示点 O，用负数表示点 O 左边的点，用正数表示点 O 右边的点.这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点. 思考：图中的温度计可以看作表示正数、0和负数的直线，它和刚刚画出的直线有什么共同点？ 都有表示基准的点；都有方向；都有刻度. 【归纳】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件： （1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，…；从原点向左，用类似方法表示－1，－2，－3，… 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 你会表示出在数轴的正半轴上，距离原点 6.5 个单位长度的点吗？ 在数轴的负半轴上，距离原点个单位长度的点呢？ 【小结】所有的有理数都能用数轴上的点来表示.思考：数轴上的点都表示有理数吗？ 不是，例如能在数轴上找到表示π的点. 【归纳】一般地，设a是一个正数，则： 数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度； 表示数－a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度. 数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点. 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示很多与数相关的问题.数形结合百般好， 数缺形时少直觉， 形缺数时难入微。 ——华罗庚 数形结合思想 知识点1 数轴 定义：规定了 、 和 的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数 ，这个点叫作 ； （2）通常规定直线上从原点 为正方向，从原点 为负方向； （3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个 取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 ． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 上，与原点的距离是 个单位长度；表示数的点在数轴的 上，与原点的距离是 个单位长度． 考点讲练01：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（24-25七年级上·山西运城·期中）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来． ，，0， 【演练1】（24-25七年级上·吉林松原·阶段练习）请把下面不完整的数轴补充完整，并将，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【演练2】（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）为切实做好杭州亚运会安全保卫工作，一天下午杭州市某街道张警官开车从警务所出发对所辖街道重点单位的门卫值勤岗进行一次巡查。根据约定计划先后依次巡查的5个单位分别是朝阳超市（A），利群农贸市场（B），和记食府（C），现代汽车城（D），万达广场（E）．警务处和这5家单位恰好位于东西走向的街道上，如果规定警务处为原点，向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）可记录如下：，，，， (1)以警务所为原点，厘米为单位长度表示1千米画数轴，在数轴上标出题中5家单位的位置（用对应字母标注） (2)出发时张警官发现汽车油表显示余油27升，他到达现代汽车城时发现油表显示余油7.8升，请通过计算说明，如果张警官想按计划完成巡查并回到警所，接下来的途中是否需要考虑加油？（全程不考虑其它损耗） 考点讲练02：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．，，，，，， 【演练1】（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，观察数轴，解答下面的问题： (1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数A：______，B：______； (2)列式求点A与点B的距离. 【演练2】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 考点讲练03：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·山西太原·期中）已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题： (1)表示有理数的点是________，点A表示的有理数是________；，两点之间的距离为________个单位长度； (2)用数轴上的点，分别表示有理数和； (3)将,0，，这四个数用“”连接的结果是：________． 【演练1】（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如下图，在每个刻度为1个单位长度的数轴上，点A表示的数是 ，，， (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是________； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． 【演练2】（24-25七年级上·山西临汾·期中）已知有理数． (1)把下列各数在数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序排列，用“<”号连接起来． (2)①在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______； ②在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为_______． 考点讲练04：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·四川绵阳·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： ①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______； ③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______； (2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值． ②式子的最小值是______． 【演练1】（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【演练2】（18-19七年级上·全国·课后作业）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合．    【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 考点讲练05：数轴上点的平移（动点问题) 【典例精讲】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【演练1】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)将点A向左平移5个单位长度，这时的点表示的数是______； (2)怎样移动A，B，C中的两个点，才能使三个点表示相同的数？ 【演练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数． (1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接） (2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等． 考点讲练06：数轴上找原点 【典例精讲】（24-25七年级上·山东菏泽·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ； (2)把这些数用数轴上的点表示出来：．请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）． 【演练1】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【演练2】（24-25七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 考点讲练07：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【演练1】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有(    ) A．9个 B．10个 C．100个 D．101个 【演练2】（20-21七年级上·安徽·阶段练习）如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 考点讲练08：数轴上的规律探究 【典例精讲】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【演练1】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，，，，先将圆周上的字母对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母（   ）所对应的点重合． A． B． C． D． 【演练2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与2024对应的点是（   ）． A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·云南文山·期中）已知三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习），在数轴上的位置如图所示，则，，， 的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）一条数轴上有两点与，原点为，已知，点在点的右侧且，若点是的中点，则点所表示的数可能是（   ） A．或 B．或4 C．1或 D．1或4 4．（24-25七年级上·广东汕尾·期中）点P在数轴上表示的数是，将点P移动7个单位长度后所得的点表示的数是（   ） A．4或 B．10或 C． D．4 5．（24-25七年级上·河北保定·期末）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“2”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母，，，，先让正方形上的顶点与数轴上的数所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2024将与正方形上的哪个字母重合（   ） A．字母 B．字母 C．字母 D．字母 7．（24-25七年级上·山西晋中·期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为0；则翻转2022次后，点C所对应的数是（      ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 9．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 10．（24-25七年级上·山西晋中·期末）点在数轴上距原点2个单位长度，一个点从点出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点，点表示的数为 ． 11．（24-25七年级上·浙江宁波·开学考试）如图，我们学过的数可以在数轴上表示出来．若点m表示，那么点n表示 ． 12．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图的数轴上表示整数的点部分被墨迹盖住，那么被盖住的点表示整数的有 个． 14．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 15．（24-25七年级上·河南南阳·期中）已知，如图所示，是数轴上的两个点，点A所表示的数为，点B表示的数为7，动点P以每秒4个单位长度的速度从点B向左运动，同时，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点A向右运动，则当点P运动到点A时，动点Q所表示的数为 ． 16．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 17．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 18．（24-25七年级上·山西晋中·期中）如图，在数轴上有A，B，C三个点，请回答下列问题： (1)点C表示的有理数是：___________； (2)将点A向左平移5个单位长度后的点用D表示，则点D表示的数是_________；到点D距离2个单位长度的数是_________． (3)用数轴上的点M、N分别表示有理数和． (4)将这5个数用“<”连接的结果是__________________． 19．（24-25七年级上·北京·期中）如图，观察数轴，解答下列问题： (1)A点表示的有理数是______，表示有理数的点是______； (2)用数轴上的点分别表示有理数和6； (3)将这五个数，6，，0，用“”连接的结果是：______． 20．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$