5.1 认识方程 课件-2025-2026学年青岛版七年级数学上册

我国明代数学著作《九章详注比类算法大全》中有一首诗： 远望嵬嵬塔七层， 红光点点倍加增。 共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯? 大意为：一座雄伟壮观的七层宝塔，层层飞檐上闪烁着红灯，下层红灯数目是相邻上层红灯数目的2倍。全塔共有381盏灯，请问顶层有几盏灯? 如何解决这个问题? 5.1 认识方程 ······ 未知数 方程 方程与不等式 等式 一元一次 方程 2 知识回顾 一元一次方程是最简单的方程。 如何根据实际问题中的等量关系建立一元一次方程？如何找到一元一次方程的解? 新课导入 “远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增。共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”这是章引言中的问题，我们可以用列算式的方法解决。 如果设宝塔顶层有 x 盏红灯，根据数量关系“红光点点倍加增”可得，其余各层自上而下依次有 2x，4x，8x，16x，32x，64x 红灯。 新课讲解 根据问题中的等量关系： 各层红灯盏数的和＝红灯的总盏数， 可以列出等式 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381。 ① 设未知数解决问题时，可以直接用含已知数和未知数的等式表示等量关系。而列算式解决问题时，算式中只含已知数。 (1) 顾客购买某种练习本时有两种方案。方案一：直接按每册 10 元购买。方案二：先交会员费 20 元，之后按照每册 8 元购买。请问购买多少册练习本时两种方案的费用相等? 设购买 x 册练习本，则方案一的费用是 10x 元，方案二的费用是 (8x＋20) 元。根据问题中的等量关系： 方案一的费用＝方案二的费用， 可以列出等式 10x＝8x＋20。 ② (2) 某工厂生产紫砂茶具套装，每套茶具包含 1 把茶壶和 6 只茶杯。已知 1 kg 紫砂泥可制作 2 把茶壶或 8 只茶杯。现要用 15 kg 紫砂泥制作茶具套装，工厂应各分配多少千克的紫砂泥制作茶壶和茶杯? 设制作茶壶的紫砂泥为 x kg、则制作茶杯的紫砂泥为 (15－x) kg。根据问题中的等量关系： 茶杯数量＝茶壶数量的6倍， 可以列出等式 8(15－x)＝6×2x。 ③ (3) 如图5.1-1，将一个正方形花坛的两边分别延长 2 m 扩建成一个长方形花坛，扩建后整个花坛的面积为 35 m2。原正方形花坛的边长为多少? 设原正方形花坛的边长为 x m，则原花坛的面积为 x2 m2，扩建部分的面积为 2x m2。根据等量关系： 原花坛的面积＋扩建部分的面积＝扩建后花坛的面积， 可以列出等式 x2＋2x＝35。 ④ x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381。 ① 10x＝8x＋20。 ② 8(15－x)＝6×2x。 ③ x2＋2x＝35。 ④ 上面的等式①②③④，有什么相同点和不同点？ 等式 ①②③④ 中都只含有一个未知数。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381。 ① 10x＝8x＋20。 ② 8(15－x)＝6×2x。 ③ x2＋2x＝35。 ④ 上面的等式①②③④，有什么相同点和不同点？ 等式①②③中未知数的次数都是1，但等式④则不同。 为了求出问题中的未知数，可以引入字母表示未知数，再根据等量关系建立含有未知数的等式，这样的等式叫作方程(equation)。 方程中只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫作一元一次方程 (linear equation with one unknown)。 当 x＝10 时， 10x＝10×10＝100，8x＋20＝8×10＋20＝100。 方程 10x＝8x＋20 的左右两边相等，x＝10 就是方程 10x＝8x＋20 的解。 10x＝8x＋20。 ② 8(15－x)＝6×2x。 ③ 同样，当 x＝6 时， 8(15－x)＝8×(15－6)＝72，6×2x＝6×2×6＝72。 方程 8(15－x)＝6×2x 的左右两边相等，x＝6 就是方程 8(15－x)＝6×2x 的解。 使方程的等号两边相等的未知数的值叫作方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫作方程的根。 1. 根据题意列出方程： (1) x 的 2 倍与 18 的和等于 54； (2) 27 与 x 的差的一半等于 x 的 4 倍； 2x＋18＝54. ＝4x. 课堂练习 (3) 一个长方形的宽为 x cm. 长比宽多 5 cm，面积为 36 cm2； (4) 书包的单价为 128 元. 文具盒的单价为 x 元，购买 2 个书包和 5 个文具盒共需要 351 元. x(x＋5)＝36. 128×2＋5x＝351. 2. 根据题意，设未知数并列出方程。 (1) 一家商店在销售某种服装时，按这种服装的标价销售 10 件的销售额，与按这种服装的标价降低 30 元销售 11 件的销售额相等。求这种服装每件的标价。 解：设这种服装每件的标价是 x 元， 根据题意，得 10x＝11(x－30). (2) 古埃及“纸草书”中记载：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是 33。这个数是多少? 解：设这个数是 x，根据题意，得， x＋x＋x＋x＝33. x的值 1 2 0 －1 －2 ··· 3x＋5值 11 8 5 2 －1 ··· 3. 完成下表： 你能从表中找到方程 3x＋5＝2 的解吗? 解：方程 3x＋5＝2 的解为 x＝－1. 课堂小结 习题 5.1 ▶ 复习巩固 1. 判断 x＝3 是下列哪个方程的解： (1) 5x＋1＝19－x； (2) 3x－2＝2x－3； (3) ＝x－1； (4) －6x＋13＝13－7x。 解：x＝3 是 (1)(3) 的解. 2. 某中学篮球场的周长为 86 m，其中长比宽的 2 倍少 2 m。设宽为 x m。 (1) 根据题意列方程； 解：2x＋2(2x－2)＝86. (2) 判断 x＝15，x＝20 是否为(1)中所列方程的解。 解：当 x＝15 时，2x＋2(2x－2)＝86，左边＝右边，x＝15 是(1)中所列方程的解. 当 x＝20 时，2x＋2(2x－2)＝116，左边≠右边，x＝20不是 (1) 中所列方程的解. 3. 设未知数并列出方程： (1)某省现有国家级、省级和市(县)级自然保护区共 49 个，其中国家级 10 个，省级比市(县)级多5个。市(县)级自然保护区有多少个? 解：设市(县)级自然保护区有 x 个， 根据题意，得 10＋x＋5＋x＝49. (2) 用铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 30 个，或制盒底 50 个，一个盒身与一个盒底配成一套。现有 33 张铁皮，分别用多少张铁皮制盒身、盒底，才能既恰好用完铁皮，又使盒身和盒底正好配套? 解：设用 x 张铁皮制盒身， 根据题意，得 2×30x＝50(33－x). ▶ 拓展延伸 4. 请按照表格中的步骤，尝试求方程 42＋x＝3(12＋x) 的解。 x的值 左边的值 右边的值 比较左右两边的值 第1次 2 44 42 左边＞右边 第2次 5 47 51 左边＜右边 第3次 3 45 45 左边＝右边 ▶ 探索创新 5. 从生活中选取素材编制一道数学题，并设未知数列出方程。 略. $$