精品解析：云南省曲靖市第一中学2025届高考决胜数学全真模拟卷（二）

曲靖一中2025届高考决胜全真模拟卷（二） 数 学 试 卷 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4． 本试卷共2页，共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合（i是虚数单位），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算及交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：B 2. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题根据题意直接写出命题的否定即可. 【详解】解：因为命题：， 所以的否定：， 故选：B 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题. 3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得. 【详解】由的最小正周期为，的最小正周期为，A、D不符； 由在上单调递增，C不符； 以为最小正周期，且在区间上单调递减，B符合. 故选：B 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点为，再利用抛物线平移即可得到答案. 【详解】，焦点为， 焦点为， 则焦点为， 故选：B． 5. 如图，， 是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先还原几何体，然后根据三棱锥表面积的求法求得正确答案. 【详解】还原正方体如下图所示， ，， ， 所以四面体的表面积为. 故选：B 6. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：利用有重复元素的排列数公式分别计算总排列数和符合条件的排列数，求得概率；方法二：只考虑两个2的位置可能情况和相邻的情况种数，得到概率. 【详解】方法一： 给定的数字是1，2，2，3，3，3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此总排列数为：. 符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）： 将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1，3，3，3和这个“超级元素”，共5个元素. 其中三个3是重复的，因此符合条件的排列数为：，所以符合条件的排列数除以总排列数：. 方法二： 考虑两个2的位置组合，共有种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概率为：， 因此，数字2，2恰好相邻的概率为. 故选：D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件结合两角差的余弦公式求出，进一步可得，再利用二倍角公式化简运算得解. 【详解】由，得， 又，则， ， . 故选：D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交双曲线左支于点 ，连结，依题意设，则根据双曲线的性质得，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得，进而在中，利用勾股定理得，即可求解渐近线. 【详解】 如图，延长交双曲线左支于点 ，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标公式判断A；由向量模的坐标公式计算判断B；根据投影向量的定义判断C；根据，且与不同向判断D即可. 【详解】对于A，由，则，解得，故A正确； 对于B，，， ，解得或，故B错误； 对于C，当时，， 则由投影向量公式得在方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向， ，解得且，故D错误. 故选：AC. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】已知，，则，所以 与不是互斥事件，A错误； 计算，，，所以， 因为，所以 与是相互独立事件，B正确； 已知，，，则，， 所以，C错误； ，则，， ，则，， 所以，D正确. 故选：BD. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用反函数概念可判断；联立方程，求出交点即可判断；找出过与曲线相切且与平行的点即可；由，计算即可判断. 【详解】由， 的反函数为，两者关于对称，故A正确. ， 令， 当时，；当时，； 在上单调递减；上单调递增， 注意到， 在和有一个零点，另一个零点为， ，故B错误. 与曲线对称轴垂直， 如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可， 找出过与曲线相切且与平行的点即可， 令，令， 此时到的距离， 直线被截得弦长最大值为，故正确. ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的三角形面积，通常将三角形分成两个底位于坐标轴上的小三角形，如本题中. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆和圆有一个公共点，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由两圆位置关系构造方程求解即可. 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 13. 已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 【答案】7 【解析】 【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可. 【详解】由，得， 又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以， 在中，由余弦定理，得：， . 故答案为：7. 14. 函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件列出相关等式求出的表达式，然后根据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值. 【详解】由题意，① 则，② 所以两式相加得：， 则， 又，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． （1）求直三棱柱的体积； （2）若是的中点，证明：平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 故，且平面，则平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用柱体的体积公式直接计算即可得出结果； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求得，即可证； （3）由（2）中的坐标系，应用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，若直线与平面所成角为， 所以． 16. 某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 【答案】（1）65 （2）（i） ， （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义确定体重区间，进而可求得中位数的值. （2）（i）首先确定分层抽样的比例，然后确定的可能取值，并计算相应的概率，列出分布列，计算出期望；（ii）根据方差公式求出的值. 【小问1详解】 因为，， 故样本的中位数落在内， 又，故中位数为 【小问2详解】 （i）和的人数比为， 分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， 故这6人中随机抽取3人，的可能取值为，对应的的取值为， 所以的可能取值为， ，，， 故的分布列为 期望为， （ii）由（i）知 ， 所以． 17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）由错位相减法可得结果； （3）分和两种情况求和计算结果. 【小问1详解】 设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； 【小问2详解】 ， 设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得：， 所以； 【小问3详解】 令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，，则， 当时，， 则 ， 综上：. 18. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1）当时，，函数既无极大值也无极小值. 当时，函数的极小值是，无极大值. （2）（i）； （ii）证明：因为函数存在零点，所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， ，所以， 时，要证，只需证， 解法一：即证. 令，则， 令，，故在上为增函数，故. 即在上为增函数， 故，故，即成立. 解法二：令,则， 令，得单调递减， 令，得单调递增， 所以. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再分和讨论即可； （i）转化得有解，再设，求导后再对分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其范围； （ⅱ）分析得表示原点与直线上的动点之间的距离，再等价转化为证明，再设新函数并多次求导即可证明. 【小问1详解】 时，， 当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值. 当时，，，函数单调递减，，，函数单调递增， 函数的极小值是，无极大值. 【小问2详解】 （ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， 若，此时无解，所以，有解，， ①若单调递增，此时不存在零点； ②若，令，，， 由零点存在定理可知存在， 所以在上为减函数，在上为增函数， 故，解得，故. （ⅱ）略 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形的面积的最大值； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由. 【答案】（1）； （2）①；②是，0 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆方程； （2）①求出，设直线的方程为，设点，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由是椭圆C上位于直线PQ两侧，求出的范围，然后表示出四边形的面积，化简可求出其最大值；②表示出直线的斜率和直线的斜率，然后结合前面的式子化简可得答案. 【小问1详解】 设椭圆的方程为. 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当时，，解得， 所以点的坐标为，则， 设直线的方程为，设点， 联立，整理得：，由，可得. 由韦达定理知：， 又是椭圆C上位于直线PQ两侧，则 ，解得 四边形的面积 故当时，； ②由题意知，直线的斜率，直线的斜率， 则 . . 所以的值为常数0. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）问解题的关键是设出直线的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，然后结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中2025届高考决胜全真模拟卷（二） 数 学 试 卷 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上． 2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 4． 本试卷共2页，共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合（i是虚数单位），，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题：，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时， 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件 C. D. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 有对称轴 B. 的弦长的最大值为 C. 直线被截得弦长的最大值为 D. 的面积大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆和圆有一个公共点，则的值为________． 13. 已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 14. 函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． （1）求直三棱柱的体积； （2）若是的中点，证明：平面； （3）求与平面所成角的正弦值． 16. 某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表： 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记． （i）求的分布列及期望； （ii）求． 17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）求数列的前项和． 18. 已知，函数，. （1）当时，求的极值； （2）若存在零点. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 19. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为. ①求四边形的面积的最大值； ②设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $