第05讲 圆 （知识清单+11大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第05讲 圆 （知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求过圆内一点的最长弦 题型三 圆的周长和面积问题 题型四 判断点与圆的位置关系 题型五 利用点与圆的位置关系求半径 题型六 三角形外接圆的概念辨析 题型七 求三角形外心坐标 题型八 求特殊三角形外接圆的半径 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十 判断确定圆的条件 题型十一 点与圆上一点的最值问题 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型方法 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）下列说法中，正确的是（     ）． A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式： (2)如图甲，连接，若，求点P的坐标； (3)如图乙，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．点P在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长． 【题型二】求过圆内一点的最长弦 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【题型三】圆的周长和面积问题 【例3】（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【举一反三】 1．（九年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是(    )   A． B． C． D． 2．（2023·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【题型四】判断点与圆的位置关系 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（   ） A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在 ．（填“上”、“外”或“内”） 3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【题型五】利用点与圆的位置关系求半径 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当时，点在函数的图像上，且满足，即点为函数的“2倍点”． (1)在点中， 是函数的“1倍点”； (2)若函数存在唯一的“4倍点”，求b的值； (3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 【题型六】三角形外接圆的概念辨析 【例6】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【题型七】求三角形外心坐标 【例7】（九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（        ） A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 2．（九年级上·浙江衢州·期中）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【题型八】求特殊三角形外接圆的半径 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（    ） A．5 B．10 C． D．5或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 ． 3．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 【题型九】判断三角形外接圆的圆心位置 【例9】（2024·浙江台州·二模）下列命题正确的是（   ） A．同位角相等 B．平方根等于它本身的数是0 C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的外心在三角形内部 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（九年级·浙江杭州·专题练习）内接于，且，点到的距离为3，圆的半径为5，则的长是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）的顶点都在正方形网格格点上，如图所示． (1)将绕点顺时针方向旋转得到（点对应点，画出． (2)用无刻度的直尺，确定的外心的位置． 【题型十】判断确定圆的条件 【例10】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中必然发生的事件是（    ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 D．经过任意三点一定可以画一个圆 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 3．（浙江温州·一模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【题型十一】点与圆上一点的最值问题 【例11】（九年级上·浙江宁波·阶段练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，的对角线相交于点O，E是以A为圆心，以4为半径为圆上一动点，连接，点P为的中点，连接，若，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ． 3．（九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）． (1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示） (2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式． (3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值． ②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式． 好题必刷 一、单选题 1．有下列四个命题，其中正确的有( ) ①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．三角形的外心是（   ）． A．各内角的平分线的交点 B．各边中线的交点 C．各边垂线的交点 D．各边垂直平分线的交点 3．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，的半径为，直线到点的距离，点在上，，则点与的位置关系是（　　） A．在内 B．在上 C．在外 D．以上都有可能 5．如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．已知⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(1，2)，点Q的坐标为(0，5)，则点Q(    ) A．在⊙P外 B．在⊙P上 C．在⊙P内 D．不能确定 7．已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（ ） A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A上 C．点O在⊙A外 D．不能确定 8．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 9．投掷飞镖是大众喜爱的一项游戏，如图所示的标靶由一个中心圆和九个等宽的圆环组成，中心圆的半径为1，每个圆环的宽度也为1（标靶的半径为10）．则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 二、填空题 11．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ． 12． 叫做直径. 13．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 14．如图，在中，，以C为圆心，以为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为 ． 15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E= ． 16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ． 三、解答题 17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 18．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 19．已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．    20．求下图中圆的周长 21．如图，半径交于点D，若，，求的半径． 22．如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间． 23．如图，半圆的直径，点在上且，点是半圆上的动点，过点作交（或的延长线）于点．设，．（当点与点或点重合时，的值为0） 小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ________ ________ 3.7 4 3.8 3.3 2.5 0 (2)在给出的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：当与直径所夹的锐角为时，的长度约为________． 24．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． (1)已知抛物线． ①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； (2)已知抛物线，若点A在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆 （知识清单+11大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求过圆内一点的最长弦 题型三 圆的周长和面积问题 题型四 判断点与圆的位置关系 题型五 利用点与圆的位置关系求半径 题型六 三角形外接圆的概念辨析 题型七 求三角形外心坐标 题型八 求特殊三角形外接圆的半径 题型九 判断三角形外接圆的圆心位置 题型十 判断确定圆的条件 题型十一 点与圆上一点的最值问题 知识清单 知识点1．圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 知识点2．点与圆的位置关系 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ①点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 知识点3．确定圆的条件 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 知识点4．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 题型方法 【题型一】圆的基本概念辨析 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）下列说法中，正确的是（     ）． A．同心圆的周长相等 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．面积相等的圆是等圆 D．平分弧的弦一定经过圆心 【答案】C 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．掌握以上几个基本概念是解答本题的关键． A周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆，不是同心圆；B在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，不能缺少“在同圆或等圆中”这个条件；C利用等圆的条件进行分析解答；D根据垂径定理即可得出结论． 【详解】解：A、圆心相同，半径不相等的圆是同心圆，所以周长不相等，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故B选项错误，不符合题意； C、面积相等的圆半径一定相等，所以是等圆，故C选项正确，符合题意； D、平分弧的弦不一定经过圆心，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知是半径为5的圆的一条弦，那么的长不可能是（   ） A．1 B．5 C．3 D．11 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了圆的半径，直径，弦的关系，掌握直径是圆中最长的弦是解题的关键． 根据圆的相关概念，及直径是圆中最长的弦的相关知识进行判定即可求解． 【详解】解：已知半径为5的圆， ∴该圆的中最长的弦即为直径，值为， ∴弦最长不能超过， ∴D选项不符合题意， 故选：D ． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【知识点】圆的基本概念辨析、等边对等角 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．连接，根据圆的半径都相等即可求出答案． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的解析式： (2)如图甲，连接，若，求点P的坐标； (3)如图乙，过A，B，P三点作，过点P作轴，垂足为D，交于点E．点P在运动过程中线段的长是否变化，若有变化，求出的取值范围；若不变，求的长． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、圆的基本概念辨析、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】对于（1），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（2），连接，求出点C的坐标，设点P的坐标，再根据得出关于m的方程，求出解，即可得出答案； 对于（3），先求出抛物线的对称轴为，则设点，点，，再根据，及点M在的垂直平分线上，可得关于n的式子，整理即可． 【详解】（1）∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得， 所以这个二次函数的关系式为； （2）如图所示，连接， 当时，， ∴点， ∴． 设点， 则， 即， 解得（舍）， 则 ∴点； （3）抛物线的对称轴为， ∵， ∴点M在线段的垂直平分线上， 即点M在对称轴上， 则设点，点，， ∵点， ∴，． ∵， ∴， 解得. ∵， ∴点M在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即， ∴. 所以点P运动过程中线段的长不变，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与几何图形，两点之间的距离公式，圆的确定，利用割补法求不规则三角形的面积是解题的关键． 【题型二】求过圆内一点的最长弦 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）已知中最长的弦为，则的半径为（     ）． A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键． 根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即可求得结果． 【详解】解：中最长的弦长为， 的直径的长为， 的半径为． 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的认识，根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：半径为的圆，直径为， 在半径为的圆中测量弦的长度，的取值范围是：， 弦的长度可以是，不可能为、、． 故选：D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．    【答案】2 【知识点】求过圆内一点的最长弦、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为． 【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接， ∵点M，N分别是AB，BC中点， ∴． 点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长． ∵是直径， ∴． ∴的最大值为． 故答案为：2    【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）请用无刻度的直尺在以下图中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，内接于中，画出 中一条最长的弦； (2)如图②，等腰 内接于中，，画出底边的中线； (3)如图③，已知四边形为矩形，点A、D在圆上，与分别交于点E、F ．画出线段的垂直平分线； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】线段垂直平分线的判定、求过圆内一点的最长弦、等腰三角形的性质和判定、矩形性质理解 【分析】（1）连接，并延长交上于一点D，则是直径，符合题意，即可作答． （2）因为等腰 内接于中，，则连接，因为，则直线是的垂直平分线，记直线与的交点为，结合等腰三角形的三线合一，则是底边的中线，即可作答． （3）连接交于点O，连接交于点H，连接，即为线段的垂直平分线，即可作答． 本题考查的是作图，主要涉及等腰三角形的性质、矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用相关的知识解决问题． 【详解】（1）解：是中一条最长的弦，如图所示： （2）解：底边的中线如图所示： （3）解：直线即为所求．如图所示： 【题型三】圆的周长和面积问题 【例3】（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为（    ） A．π B．2π C．3π D．4π 【答案】C 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由所有到已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆环的面积， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠ACB为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧BAC，如图所示．若AB=4，AC=2，图中两个新月形面积分别为S1，S2，两个弓形面积分别为S3，S4，S1-S2=，则S3-S4的值是(    )   A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据AB和AC的长和圆的面积公式可求得S1+S3，S2+S4的值，然后再两值相减即可得出结论． 【详解】解：∵AB=4，AC=2， ∴S1+S3=2，S2+S4=， ∴（S1+S3）﹣（S2+S4）=（S1﹣S2）+（S3﹣S4）= ∵S1-S2=， ∴S3-S4= ﹣= ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的面积，正确表示出S1+S3，S2+S4的值是解答的关键． 2．（2023·浙江·模拟预测）以下是杭州亚运会的会标，其中的水纹我们可以把它抽象为一个圆环的三分之一，已知两圆的半径分别为，，那么亚运会标志的水纹的面积为 ． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了圆环，根据圆环的面积公式计算即可求解，关键是熟练掌握圆环的面积公式． 【详解】解： ． 故亚运会标志的水纹的面积为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积． (1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长； ②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作， ③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，… ④把分成条相等的线段，每个小圆的周长． 分别求出，，； (2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了圆的周长、面积．正确求出小圆的半径是解题的关键． （1）把分成三条相等的线段，则小圆半径为，每个小圆的周长为；同理，把分成四条相等的线段，每个小圆的周长为；把分成条相等的线段，每个小圆的周长为； （2）由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为，则每个小圆的面积． 【详解】（1）解：由题意知，把分成三条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成四条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； 把分成条相等的线段，则小圆半径为， ∴每个小圆的周长为； ∴，，； （2）解：由题意知，把大圆直径平均分成等分时，小圆半径为， ∴每个小圆的面积， ∴． 【题型四】判断点与圆的位置关系 【例4】（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知的半径为5，若在平面上有一点A，且，则点A在（   ） A．外 B．上 C．内 D．不能确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为5，， ∴， ∴点A在内． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点A、点B，点A表示实数6，点B表示实数b，半径为4．若点A在内，则实数b的取值范围是（   ） A．b＜2 B．b＞10 C．b＜2或b＞10 D．2＜b＜10 【答案】D 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴4， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系,解决此题的关键是充分理解点与圆的位置关系． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）半径为，点A到圆心O距离为，则A在 ．（填“上”、“外”或“内”） 【答案】内 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系的判定方法． 设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外，②点P在圆上，③点P在圆内，由此即可判断． 【详解】解：∵的半径，A到圆心O距离， ∴， ∴A在内． 故答案为：内． 3．（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、判断点与圆的位置关系、求三角形外心坐标 【分析】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【详解】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 【题型五】利用点与圆的位置关系求半径 【例5】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）数轴上有点、点，点表示实数6，点表示实数，半径为4，若点在内．则实数的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】D 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．首先确定的取值范围，然后根据点A所表示的实数写出b的取值范围，即可得到正确选项． 【详解】解：∵半径为4．若点A在内， ∴， ∵点A所表示的实数为6， ∴， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）在中，，，，以点C为圆心，r为半径作．若点A在内，且点B在外，则r可能为（   ） A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm 【答案】B 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，正确理解点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，即可求得，由此即可判断答案． 【详解】解：点A在内， ， 点B在外， ， ， 只有符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）同一平面内，内一点到圆上的最大距离为，最小距离为，则的半径为 ． 【答案】4 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆上各点的距离的最大值与最小值的含义． 【详解】解：∵点P在圆内时，的直径长为，半径为； 的半径长为 ． 故答案为：4． 3．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当时，点在函数的图像上，且满足，即点为函数的“2倍点”． (1)在点中， 是函数的“1倍点”； (2)若函数存在唯一的“4倍点”，求b的值； (3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值． 【答案】(1)点和 (2)或8 (3)1或2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、利用点与圆的位置关系求半径、求一次函数自变量或函数值、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）由题意得，再将三个点一一代入检验即可； （2）由题意得，得到，由题意可得一元二次方程，再根据，即可解答； （3）列方程，求得的值，可得函数的“m倍点”为，再利用勾股定理求得该点到点的距离，列不等式，即可解答 【详解】（1）解：当时，点A，B，C都在函数的图象上， ， ∴点是函数的“1倍点”； ， ∴点不是函数的“1倍点”； ， ∴点是函数的“1倍点”； 综上，点和是函数的“1倍点”； 故答案为：点和； （2）解：当时，， ∵函数存在唯一的“4倍点”， ， ， ， 或8； （3）解：由题意可得， 解得， ∴函数的“m倍点”为， 勾股定理求得该点到点的距离为， 由题意可得 整理得， 解得， m为正整数， 或2 【点睛】本题主要考查了“新定义”，反比例函数与一次函数，一次函数与二元一次方程组的应用，二次函数与一元二次方程的判别式，两点间距离公式，不等式解集．准确理解“新定义”是解答关键． 【题型六】三角形外接圆的概念辨析 【例6】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心是三角形三条角平分线的交点 C．等弧就是长度相等的两条弧 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、三个不在一条直线上的点可以确定一个圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心是这个三角形三边垂直平分线的交点，故原说法错误，不符合题意； C、长度相等的两条弧不一定是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、圆中最长的弦是直径，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）下列命题不正确的是（    ） A．过一点有无数个圆 B．过三点能作一个圆 C．三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点 D．直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边 【答案】B 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、判断命题真假 【分析】考查确定圆的条件以及三角形外接圆的知识，根据圆的性质定理逐项排查即可．掌握三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点是解题的关键． 【详解】解：A、过一点有无数个圆，正确，不符合题意； B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，选项错误，符合题意； C、三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，正确，不符合题意； D、直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边，正确，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）以的直角边为直径作圆，点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）． 【答案】圆上 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、判断点与圆的位置关系、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外接圆，以及点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 求出点C到圆心的距离，然后根据点与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：如图， ∵斜边为直径， ∴圆心O是斜边的中点， ∴， ∴点C在圆上． 故答案为：圆上． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，以已知线段为弦作⊙O，使其经过已知点C．利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不必写出作法）． 【答案】见详解 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了三角形的外心，连接，分别作、的垂直平分线，交于，连接，以为圆心，长为半径画圆，即可求解；能根据三角形的外心的性质找出圆心的位置是解题的关键． 【详解】解：如图， 为所求作的图形． 【题型七】求三角形外心坐标 【例7】（九年级上·浙江金华·阶段练习）下列四个命题中，正确的有（        ） A．圆的对称轴是直径 B．半径相等的两个半圆是等弧 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．经过三个点一定可以作圆 【答案】B 【知识点】求三角形外心坐标、判断确定圆的条件 【分析】直接运用对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义逐项判定即可． 【详解】解：A.圆的对称轴是直径所在的直线，所以A错误； B. 半径相等的两个半圆是等弧，所以B正确； C.三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以C错误； D. 经过不共线的三个点一定可以作圆，所以D错误； 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了对称轴的定义、确定圆的条件、三角形外心的性质、等弧的定义等知识点，考查知识点较多，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，直角坐标系中，，，经过A，B，C三点的圆，圆心为M，若线段，则点D与的位置关系为（   ） A．点D在上 B．点D在外 C．点D在内 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、求三角形外心坐标 【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答． 【详解】解：如图： 连接，作和的垂直平分线，交点为， ∴圆心M的坐标为， ∵， ∴， ∵线段， ∴半径， ∴点D在内， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形的性质，点与圆的位置关系，勾股定理的应用，确定圆心的位置是解题的关键． 2．（九年级上·浙江衢州·期中）在直角坐标系中，抛物线y=ax2－4ax＋2(a>0)交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求三角形外心坐标 【分析】想办法求出抛物线顶点坐标，利用待定系数法即可解决问题； 【详解】连接OB交对称轴于点O′． ∵抛物线的对称轴x=2，A（0，2），A，B关于对称轴对称， ∴B（4，2）， ∵△ABC的外接圆经过原点O， ∴外接圆的圆心是线段OB的中点O′， ∴O′（2，1）， ∴OB==2， ∴O′C=， ∴点C坐标为（2，1-）， ∴1-=4a-8a+2， ∴a=， 故答案为． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在下列（每个小正方形的边长为1）的网格中，已知的三个顶点在格点上，请分别按不同要求写出点的坐标． (1)经过三点有一条抛物线，图中存在点，点落在格点上，同时也落在这条拋物线上，则点的坐标为______． (2)经过三点有一个圆，圆心为点，则点的坐标为______． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、已知抛物线上对称的两点求对称轴、求三角形外心坐标 【分析】（1）本题考查抛物线的对称性，根据题意，可知，抛物线的对称轴为的中垂线，即，点关于对称轴对称，即可；利用对称性求出对称轴，是解题的关键 （2）本题考查圆的确定，根据圆心为线段的中垂线的交点，即可得出结果．掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵经过三点有一条抛物线，， ∴抛物线的对称轴为：， ∴当关于对称轴对称时，满足题意， ∴； 故答案为：； （2）∵经过三点有一个圆，圆心为点，则点为线段的中垂线的交点， 如图：的中垂线的解析式为：，的中垂线的解析式为：， ∴当时，， ∴； 故答案为：． 【题型八】求特殊三角形外接圆的半径 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设的两条直角边长分别为6，8，则此直角三角形外接圆半径为（    ） A．5 B．10 C． D．5或 【答案】A 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，根据直角三角形斜边上的中线长等于三角形外接圆的半径求解即可． 【详解】解：∵的两条直角边长分别为6，8， 斜边长， ∴斜边上的中线长为5， 即此直角三角形外接圆半径为5， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，内接于，为的直径，且与的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了三角形的外接圆及外心，等腰直角三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．连接，过点E作于F，过点A作于H，先求出，则，进而再求出，则，进而得，则，进而再求出，则，从而得是等腰直角三角形，则，然后再分别求出，，进而可得的长． 【详解】解：连接，过点E作于F，过点A作于H，如图所示： ∵内接于，为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知直角三角形的斜边长为，则该三角形的外接圆半径为 ． 【答案】 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径 【分析】根据直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的斜边长为， ∴直角三角形的外接圆半径为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的斜边为直角三角形的外接圆的直径成为解答本题的关键． 3．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）在88的方格中，已知的各顶点都在格点上 (1)如图， 请仅用一把无刻度的直尺按要求作图 （请直接用黑色字迹的钢笔或签字笔作图， 不要求写作法）． 找出外接圆的圆心． (2)若， 试求的半径． 【答案】(1)外接圆的圆心见解析图； (2)． 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径、无刻度直尺作图 【分析】（1）利用网格的特点作出线段与线段的垂直平分线交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）连接，根据可知一个网格的长为1，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）如图，点即为外接圆的圆心； （2）连接， ∵， ∴一个网格的长为1， ∴，即的半径为． 【点睛】本题考查的是作图——复杂作图及三角形的外接圆圆心，解题的关键是利用网格的特点作图． 【题型九】判断三角形外接圆的圆心位置 【例9】（2024·浙江台州·二模）下列命题正确的是（   ） A．同位角相等 B．平方根等于它本身的数是0 C．对角线相等的四边形是矩形 D．三角形的外心在三角形内部 【答案】B 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、平方根概念理解、同位角、内错角、同旁内角、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角；矩形的判定；命题与定理；三角形的外接圆与外心；平方根，根据平行线的性质、平方根的定义、矩形的判定和三角形的外心性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题； B、平方根等于它本身的数是0，是真命题； C、对角线平分且相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题； D、三角形的外心可能在三角形内部，也可能在三角形的外部，原命题是假命题； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 2．（九年级·浙江杭州·专题练习）内接于，且，点到的距离为3，圆的半径为5，则的长是 ． 【答案】或 【知识点】三线合一、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】如图（见解析），过点A作于点D，先根据等腰三角形的判定与性质可得AD为BC的垂直平分线，再根据三角形外接圆的性质可知圆心点O在直线AD上，然后分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况，分别利用勾股定理即可得． 【详解】如图，过点A作于点D 为等腰三角形 为BC的垂直平分线（等腰三角形的三线合一） 内接于 圆心点O在直线AD上 由题意得： 根据的形状，分以下两种情况： （1）如图1，为锐角等腰三角形 ， 在中， （2）如图2，为钝角等腰三角形 ， 在中， 综上，AB的长为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆的性质、勾股定理等知识点，利用三角形外接圆的性质得出圆心点O的位置是解题关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）的顶点都在正方形网格格点上，如图所示． (1)将绕点顺时针方向旋转得到（点对应点，画出． (2)用无刻度的直尺，确定的外心的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、画旋转图形 【分析】本题主要考查了旋转作图，确定三角形外接圆圆心位置： （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据三角形的外心的定义，连接，分别作线段，的垂直平分线，交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． 【题型十】判断确定圆的条件 【例10】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数解析式、判断确定圆的条件 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下列事件中必然发生的事件是（    ） A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 C．100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品 D．经过任意三点一定可以画一个圆 【答案】C 【知识点】事件的分类、判断确定圆的条件 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念；关键是理解必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件）可判断正确答案． 【详解】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故本选项不符合题意； C、100件产品中有4件次品，从中任意抽取5件，至少有1件是正品，是必然事件，故本选项符合题意； D、只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，如果三点在同一条直线上，则无法画出一个圆，是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（22-23九年级上·浙江·单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定 个不同的圆． 【答案】5 【知识点】判断确定圆的条件 【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出． 【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 故答案为5． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆． 3．（浙江温州·一模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H． (1)在图1中作出∠AHG＝∠C． (2)在图2中作出∠AGH＝∠C． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断确定圆的条件、图形的平移 【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可； （2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时 【详解】（1）如图，线段EF，∠AHG即为所作， （2）如图，线段EF，即为所作， 【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键． 【题型十一】点与圆上一点的最值问题 【例11】（九年级上·浙江宁波·阶段练习）若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b（），则此圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径． 【详解】解：若所在平面内一点P到上的点的最大距离为a，最小距离为b， 若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为，因而半径为； 当此点在圆外时，圆的直径是，因而半径是； 故选C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，的对角线相交于点O，E是以A为圆心，以4为半径为圆上一动点，连接，点P为的中点，连接，若，则的最大值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、点与圆上一点的最值问题、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查圆的综合问题，连接，由题意得，，由点P为中点得知随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆，据此解答可得．掌握平行四边形的性质、中位线定理及点的运动轨迹问题是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ，， ∵点P为中点， ，且， ∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、2为半径的圆， 则当与交于点P时，最大，为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形边长为4，点G是以为直径的半圆上的一个动点，点F是边上的一个动点，点E是的中点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】点与圆上一点的最值问题、最短路径问题、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称－最短距离问题，圆的有关性质，勾股定理等知识；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作点E关于的对称点H，连接，此时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作点E关于的对称点H，设的中点为O，连接，交于点F，交圆O于点G，如图： 则，此时，最小，最小值为的长； ∵正方形边长为4，点E是的中点， ∴，则， ∵点G是以为直径的半圆上的一个动点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（九年级上·浙江金华·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，过点A作轴，作直线AC平行x轴，点D是二次函数的图象与x轴的一个公共点（点D与点O不重合）． (1)求点D的横坐标（用含b的代数式表示） (2)求的最大值及取得最大值时的二次函数表达式． (3)在（2）的条件下，如图2，P为OC的中点，在直线AC上取一点M，连接PM，作点C关于PM的对称点N，①连接AN，求AN的最小值． ②当点N落在抛物线的对称轴上，求直线MN的函数表达式． 【答案】(1)2b； (2)4；； (3)①．②y=x+或． 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的最值、点与圆上一点的最值问题、求一次函数解析式 【分析】（1）令y=0，解方程即可； （2）设w=，根据OD=2b，BD=4-2b，构造二次函数求解即可； （3）①点N在以P为圆心，以2为半径的圆上运动，当P、N、A同侧且共线时，AN最小，用勾股定理计算即可． ②分点M在对称轴的左侧和右侧，两种情形求解． 【详解】（1）令y=0，得， 解得x=0或x=2b， ∵b＞0， ∴x=0舍去， ∴点D的横坐标为2b． （2）设w=， ∵点D的横坐标为2b，A（4，m）， ∴OD=2b，BD=4-2b， ∴w= =2b(4-2b) =， ∵-4＜0， ∴当b=1时，w有最大值，最大值为4， 此时抛物线的解析式为． （3）①∵点A（4，m）在抛物线上， ∴m==4， ∴OC=4， ∵P为OC的中点， ∴OP=PC=2， ∵点C关于PM的对称点N， ∴OP=PC=PN=2， ∴点N在以P为圆心，以2为半径的圆上运动， 如图所示，当P、N、A同侧且共线时，AN最小， ∵AC=4，PC=2， ∴PA=， ∴AN的最小值为PA-PN=． ②当点N落在抛物线的对称轴上，且M在对称轴的左侧，如图所示， 设对称轴与AC交于点H，交x轴于点Q，过点P作PG⊥HN，垂足为G，则QG=2， ∵PC=PN=2，PG=1， ∴NG=， ∴HN=2-，点N（1，2+）， 设CM=a，则MN=a，MH=1-a， ∴， 解得a=4-2， ∴点M（4-2，4）， 设直线MN的解析式为y=kx+b， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为y=x+； 当点N落在抛物线的对称轴上，且M在对称轴的右侧，如图所示， 设对称轴与AC交于点T，交x轴于点R，过点P作PK⊥TN，垂足为K，则KT=KR=2， ∵PC=PN=2，PK=1， ∴KR=， ∴NR=2-，点N（1，2-），TN=2+ 设CM=b，则MN=b，MT=a-1， ∴， 解得b=4+2， ∴点M（4+2，4）， 设直线MN的解析式为y=mx+q， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为y=x+； 综上所述，直线MN的解析式为y=x+或y=x+． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，圆的基本性质，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，抛物线的性质，灵活运用对称的思想和勾股定理是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．有下列四个命题，其中正确的有( ) ①圆的对称轴是直径； ②经过三个点一定可以作圆； ③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】解：①圆的对称轴是直径所在的直线； 故此选项错误； ②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误； ③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确． 故选：C． 【详解】此题考查了圆中的有关概念：弦、直径、等弧．注意：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的外心是（   ）． A．各内角的平分线的交点 B．各边中线的交点 C．各边垂线的交点 D．各边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点． 故选D． 3．如图，圆环中内圆的半径为米，外圈半径比内圆半径长1米，那么外圆周长比内圆周长长（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式可以得到解答 ． 【详解】解：由题意可得： 外圆周长=，内圆周长=， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握圆周长的计算公式是解题关键． 4．如图，的半径为，直线到点的距离，点在上，，则点与的位置关系是（　　） A．在内 B．在上 C．在外 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】如图，连接，利用勾股定理可得，而，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵直线到点的距离，点在上，， ∴，， ∵的半径为， ∴， ∴A在内， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，点与圆的位置关系，掌握“点与圆心的距离小于半径，则点在圆内”是解本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，AB是⊙M的直径，若，，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点B的坐标为（x，y），利用M点为AB的中点得到1＝，0＝，然后求出x、y得到B点坐标． 【详解】解：设点B的坐标为（x，y）， ∵AB是⊙M的直径， ∴M点为AB的中点， ∵A（a，b），M（1，0），， ∴1＝，0＝， 解得：x＝2−a，y＝−b， ∴B点坐标为（2−a，−b）． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的关键． 6．已知⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(1，2)，点Q的坐标为(0，5)，则点Q(    ) A．在⊙P外 B．在⊙P上 C．在⊙P内 D．不能确定 【答案】C 【详解】试题解析：∵点P的坐标为（1，2），点Q的坐标为（0，5）， ∴PQ=<5， ∴点Q在⊙P内． 故选C． 7．已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（ ） A．点O在⊙A内 B．点O在⊙A上 C．点O在⊙A外 D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系． 解：∵点A的坐标为A（3，4）， ∴OA==5， ∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上． 故选B． 点评：本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系． 8．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得，利用三角形外角的性质得到，，进行求解即可； 【详解】解：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质．熟练掌握圆内半径均相等，得到等腰三角形，是解题的关键． 9．投掷飞镖是大众喜爱的一项游戏，如图所示的标靶由一个中心圆和九个等宽的圆环组成，中心圆的半径为1，每个圆环的宽度也为1（标靶的半径为10）．则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆环面积等于大圆面积减小圆面积即可求解． 【详解】解：S阴= = =． 故选C． 【点睛】本题考查了圆环的面积，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键． 10．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解. 【详解】如图， ∵A（-1，0），B（-3，0）， ∴AB=2， ∵∠APB=30°， ∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧； 易得圆心坐标为， ， . 故选 【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点． 二、填空题 11．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为 ． 【答案】1个或3个或4个 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑． 【详解】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故答案为：1个或3个或4个． 【点睛】本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答． 12． 叫做直径. 【答案】经过圆心的弦 【详解】直径的概念. 答案为: 经过圆心的弦. 13．三角形的外接圆与外心 （1） 的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个 的圆； （3）三角形的外心：三角形 的圆心．它是三角形三边 的交点，到三角形三个 的距离相等． 【答案】 不在同一直线上 顶点 外接圆 垂直平分线 顶点 【分析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆；经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．外心到三角形任意一顶点的距离即为外接圆的半径．据此填空即可． 【详解】解：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆； （2）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆； （3）三角形的外心：三角形外接圆的圆心．它是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 故答案为：不在同一直线上；顶点；外接圆；垂直平分线；顶点． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和内心的确定等，熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点是解题的关键． 14．如图，在中，，以C为圆心，以为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据直角三角形两锐角和是90°，可以求出∠A的度数，在△ACD中由三内角和为180°，可以求出∠ACD的度数，由∠ACB＝90°，求出∠BCD． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝25°， ∴∠A＝65°． 在△ACD中，∵CD＝CA， ∴∠A＝∠CDA＝65° ∴∠ACD＝180°−65°−65°＝50°． ∴∠DCB＝90°−50°＝40°． 故答案是：40°． 【点睛】本题考查的是对圆的认识，由圆中半径都相等和直角三角形两锐角互余，以及三角形三内角和为180°，可以求出圆心角∠DCE的度数． 15．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=74°，则∠E= ． 【答案】 【分析】连接OD,则OD=OB=OC，由DE=OB,得OD=OB=OC= DE，所以，∠E=∠DOE, ∠C=∠CDO，再证∠CDO=2∠E,∠C=2∠E,可得∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°. 【详解】连接OD,则OD=OB=OC 因为，DE=OB, 所以，OD=OB=OC= DE 所以，∠E=∠DOE, ∠C=∠CDO 所以，∠CDO=2∠E, 所以，∠C=2∠E, 所以，∠AOC=∠C+∠E=3∠E=74°， 所以，∠E= 故答案为 【点睛】本题考核知识点：圆半径的性质，等腰三角形性质,三角形外角性质.解题关键点：利用三角形的外角和等腰三角形性质得到角的关系. 16．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ． 【答案】. 【详解】试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是. 考点：勾股定理；点和圆的位置关系. 三、解答题 17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°；以C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，求∠ACD的度数． 【答案】10°． 【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余，从而求得∠ACD的度数． 【详解】解：连接CD，∵∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠B=50°， ∵CD=CB， ∴∠BCD=180°-2×50°=80°， ∴∠ACD=90°-80°=10°． 故答案为10°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质，是基础知识比较简单，求出∠BCD的度数是解题的关键． 18．如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r． （1）当r取什么值时，点A在⊙C外？ （2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外 【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值； （2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围． 【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3 即当r<3时，点A在⊙C外； （2）点A在⊙C内，则AC<r，即r>3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4， 综合起来，当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键． 19．已知：如图，矩形中交于点，求证：、、、个点在以为圆心，为半径的圆上．    【答案】证明见详解 【分析】根据矩形的性质，证明、、、到的距离相等即可． 【详解】证明：四边形是矩形 ∴、且、， ， 、、、个点在以为圆心，为半径的圆上． 【点睛】本题考查了矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分． 20．求下图中圆的周长 【答案】12.56厘米，6.28厘米， 【分析】根据圆的周长公式C＝πd = 2πr计算即可． 【详解】第一个圆的周长C＝πd = 2πr = 2×3．14×2 = 12．56（厘米）， 第二个圆的周长C＝πd = 3．14×2 = 6．28（厘米）． 【点睛】本题考查了圆的周长公式，熟记圆的周长公式，分清是已知半径还是直径是解答的关键． 21．如图，半径交于点D，若，，求的半径． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，连接，根据题意可得，设，则，根据勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 可知． 设，则， ， ． 即的半径为． 22．如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间． 【答案】轮船从点出发小时后最初遇到台风 【分析】根据题意可得轮船正好在以台风中心为圆心、20海里长为半径的圆上即为轮船最初遇到台风的时间，设小时后最初遇到台风，画出图形（见解析），先求出的长，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意可知，轮船正好在以台风中心为圆心、20海里长为半径的圆上即为轮船最初遇到台风的时间， 因为海里， 所以当台风中心到达点时，轮船恰好在台风区的边界， 所以轮船从点出发到最初遇到台风时，台风中心位于点的下方， 画出图形如下：其中点为台风中心，点为轮船，则海里， 设小时后最初遇到台风，则海里，海里， 海里， 海里， 由勾股定理得：，即， 解得或， 当时，，不符题意，舍去， 答：轮船从点出发小时后最初遇到台风． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、一元二次方程的应用、勾股定理的应用，画出图形，正确建立方程是解题关键． 23．如图，半圆的直径，点在上且，点是半圆上的动点，过点作交（或的延长线）于点．设，．（当点与点或点重合时，的值为0） 小石根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ________ ________ 3.7 4 3.8 3.3 2.5 0 (2)在给出的平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，解决问题：当与直径所夹的锐角为时，的长度约为________． 【答案】(1)0，4 (2)见解析 (3)1.1或3.7 【分析】（1）当时，此时与重合，当时，点与重合，据此解答即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）根据含解直角三角形的性质可求出，观察图象写出对应的的值即可． 【详解】（1）当时，此时与重合，， 当时，点与重合，此时． 故填表如下： 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 3.7 4 3.8 3.3 2.5 0 （2）函数图象如图所示： （3）由题意得：， ， ， ， ， 观察图象可知时，对应的的值为1.1或3.7． 故答案为1.1或3.7． 【点睛】本题是圆的综合题，直角三角形30度角的性质，坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题． 24．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点（点在点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”． (1)已知抛物线． ①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______； ②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值； (2)已知抛物线，若点A在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)且 【分析】（1）①根据题意分别求得的长，的长，根据定义即可求解； ②根据题意求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”，根据它的“扁度”为2，建立方程，解方程即可求解； （2）设的横坐标为，则的横坐标为，同（1）的方法求得“抛物圆”的“横径”、“纵径”， 根据它的“扁度”不超过3，得出，根据点A在直线上也在抛物线上得出，代入解不等式即可求解． 【详解】（1）解：①如图， ∵点A横坐标为， ∴， ∴，则关于轴对称的点， ∴， 设与轴交于点，半圆与轴交于点， ∴， ∴，， ∴则得到的“抛物圆”的“横径”长为，“纵径”长为； 故答案为：； ②∵关于轴对称， ∴当点A横坐标为t，则横坐标为，点在点左侧， ∴得到的“抛物圆”的“横径”长为， “纵径”长为， ∵它的“扁度”为2， 即， 解得：或（舍去）， （2）， 对称轴为，顶点为， 设的横坐标为，则的横坐标为， ∴，半径为， ∵在抛物线上，当时，， ∴“纵径”长为，“抛物圆”的“横径”长为， “扁度”为， 即，即， ∵点A在直线上， ∴， 解得：， ∴， 解得：． ∵， ∴， ∴， ∴且． 【点睛】本题考查了新定义，二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$