第02章 简单事件的概率 章节（5知识点回顾+20题型练习） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02章 简单事件的概率 章节（5知识点回顾+20题型练习） 题型梳理 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 题型四 概率的意义理解 题型五 判断几个事件概率的大小关系 题型六 列举随机实验的所有可能结果 题型七 根据概率公式计算概率 题型八 根据概率作判断 题型九 已知概率求数量 题型十 几何概率 题型十一 列举法求概率 题型十二 列表法或树状图法求概率 题型十三 关于频率与概率关系说法的正误 题型十四 求某事件的频率 题型十五 由频率估计概率 题型十六 用频率估计概率的综合应用 题型十七 概率在转盘抽奖中的应用 题型十八 概率在比赛中的应用 题型十九 概率在比赛中的应用 题型二十 游戏的公平性 知识清单 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点4．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点5．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型练习 题型一 事件的分类 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外都相同．问题： (1)从箱子里摸出一个球，是黑球，这属于哪一类事件，摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪一类事件； (2)从箱子里摸出一个球，有几种可能，它们属于哪一类事件． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 5．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 6．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 题型四 概率的意义理解 7．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 题型五 判断几个事件概率的大小关系 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 10．（2023·浙江金华·三模）在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是 ． 题型六 列举随机实验的所有可能结果 11．（2023·浙江台州·一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 12．（浙江杭州·二模）某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 种不同出入路线的可能． 题型七 根据概率公式计算概率 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是小文和小理共同设计的自由转动的转盘，转盘被等分成4份，上面写有4个自然数．转动转盘，指针指向每一个自然数的可能性都一样，若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止． (1)求指针指向偶数的概率； (2)小文和小理各转两次转盘，若两次指针指向的数的和小于5，则小文胜，两次指针指向的数的和大于5，则小理胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由． 题型八 根据概率作判断 15．（2023·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．（2023·浙江温州·模拟预测）小明每天乘坐小区巴士上下学，小区门口的1号和2号巴士都可以到达学校．为了了解从小区巴士到学校所用时间的规律，他记录了20天内1号巴士到达学校所需的时间，并整理如下（单位：分钟）： 14，14，15，17，18，18，19，19，19，19， 20，20，20，20，21，21，21，22，25，27． 1号巴士到校时间频数表 组别（分钟） 划记 频数 2 4 合计 20 (1)请填写频数表，并估计一个学期（以100天计）内1号巴士从小区门口到学校所花的时间不超过22分钟的天数． (2)小明同时绘制了2号巴士到校所花时间的频数分布直方图，小明某日在到达小区门口，且两种巴士均同时出发，学校规定每日不迟于到校，若考虑准时到校的可能性，请结合图表信息给出搭乘建议，并说明理由． 题型九 已知概率求数量 17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，那么m与n必满足的关系是（    ） A． B． C． D．， 18．（2025·浙江杭州·二模）一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则的值为 ． 题型十 几何概率 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 题型十一 列举法求概率 21．（2024·浙江·模拟预测）编号为1，2，3，4的四位同学随机地坐到编号为1，2，3，4的四个位置上，其中没有一对编号相同的概率为（ ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为 ． 题型十二 列表法或树状图法求概率 23．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的袋子里装有4个球，分别为1个绿球、2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，它们颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中（卡片只有数字不同，其余完全一样），随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为 ． 题型十三 关于频率与概率关系说法的正误 25．（浙江金华·二模）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（    ） 投篮数（次） 50 100 150 200 … 进球数（次） 40 81 118 160 … A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100% 26．（九年级上·浙江宁波·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 题型十四 求某事件的频率 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 28．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)当实验次数为10000次时，估计摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） (2)盒子内有白球数量为 ； (3)通过增加这个不透明盒子内某种球的数量，可以使得摸到白球的概率为0.5，请写出应该增加什么颜色的球，并求出增加的数量． 题型十五 由频率估计概率 29．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 30．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 题型十六 用频率估计概率的综合应用 31．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 32．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 题型十七 概率在转盘抽奖中的应用 33．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元． 34．“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． 如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券． （1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率； （2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由． 题型十八 概率在比赛中的应用 35．（九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 36．（浙江·中考模拟）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜. (1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案； (2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜. 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 题型十九 概率在比赛中的应用 37．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 38．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有 种（用数字作答）． 题型二十 游戏的公平性 39．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 40．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02章 简单事件的概率 章节（5知识点回顾+20题型练习） 题型梳理 题型一 事件的分类 题型二 判断事件发生的可能性的大小 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 题型四 概率的意义理解 题型五 判断几个事件概率的大小关系 题型六 列举随机实验的所有可能结果 题型七 根据概率公式计算概率 题型八 根据概率作判断 题型九 已知概率求数量 题型十 几何概率 题型十一 列举法求概率 题型十二 列表法或树状图法求概率 题型十三 关于频率与概率关系说法的正误 题型十四 求某事件的频率 题型十五 由频率估计概率 题型十六 用频率估计概率的综合应用 题型十七 概率在转盘抽奖中的应用 题型十八 概率在比赛中的应用 题型十九 概率在比赛中的应用 题型二十 游戏的公平性 知识清单 知识点1．可能性的大小 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 知识点2．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 知识点3．概率公式 （1）随机事件A的概率P（A）＝． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 知识点4．游戏公平性 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率＝． 知识点5．利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 题型练习 题型一 事件的分类 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．抛掷一枚硬币，正面向上 B．有一匹马奔跑的速度是70米/秒 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在标准大气压下，气温为时，冰能熔化为水 【答案】D 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，正面向上，属于随机事件，故此选项不符合题意； B、有一匹马奔跑的速度是70米/秒，属于随机事件，故此选项不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中10环，属于随机事件，故此选项不符合题意； D、在标准大气压下，气温为2℃时，冰能熔化为水，属于必然事件，故此选项符合题意． 故选：D ． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外都相同．问题： (1)从箱子里摸出一个球，是黑球，这属于哪一类事件，摸出一个球，是白球或者是红球，这属于哪一类事件； (2)从箱子里摸出一个球，有几种可能，它们属于哪一类事件． 【答案】(1)从箱子里摸出一个球，是黑球是不可能事件；摸出一个球，是白球或者红球，这属于随机事件 (2)从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，它们是随机事件 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，正确的理解题意是解题的关键． （1）由不可能事件与随机事件的定义，即可求得答案． （2）根据摸球的结果有红球和白球，再结合随机事件的概念可得答案； 【详解】（1）解：箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球，是黑球是不可能事件 摸出一个球，是白球或者红球，这属于随机事件； （2）解：从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，它们是随机事件． 题型二 判断事件发生的可能性的大小 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同．给出下列说法：①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类和事件的可能性大小，正确的理解题意是解题的关键．由不可能事件与必然事件的定义即可判断①和②，由事件发生的可能性大小即可判断③． 【详解】解：①箱子中不含黑球，只含红球和白球，故从箱子里摸出一个球是黑球是不可能事件，故①正确； ②从箱子里摸出一个球，有两种可能，有可能是白球，也有可能是红球，则从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，故②正确； ③在一个箱子里放有1个白球和2个红球，红球的个数多于白球的个数，则从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球．故③正确； 综上可知，正确的是①②③， 故选：A 4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解题的关键． 由于从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则盒子里面红球的个数小于黄球的个数，据此即可解答． 【详解】解：∵从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性， ∴盒子里面红球的个数小于黄球的个数， ∴． 故答案为：． 题型三 改变条件使事件发生的可能性相同 5．袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】改变条件使事件发生的可能性相同 【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论． 【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数 由各选项可知，只有D选项符合 故选D． 【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键． 6．盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】改变条件使事件发生的可能性相同 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【详解】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 题型四 概率的意义理解 7．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）连续掷一枚硬币100次，前99次都是正面向上，则第100次出现正面向上的概率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、概率的意义理解 【分析】本题考查了概率的意义，概率公式，根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：掷一枚硬币会出现正面朝上和反面朝上两种等可能的情况， 第100次出现正面向上的概率为． 故选：B． 8．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）据天气预报，某天A地的降雨概率为，B地的降雨概率为，小明根据A地降雨的概率设计了一个转盘模型来模拟试验（如图）．请解答下列问题： (1)请你再设计一个模型来模拟试验B地下雨的概率． (2)请利用设计的模型求出某天A地，B地都下雨的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】概率的意义理解、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查了概率的公式，用列表法或画树状图法求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）根据概率为设计即可求解； （2）画出树状图列出所有情况，进而根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）画树状图如下： 共有10种等可能的结果，其中某天A地，B地都下雨的情况有1种， ∴某天A地，B地都下雨的概率为． 题型五 判断几个事件概率的大小关系 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【知识点】判断几个事件概率的大小关系 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 10．（2023·浙江金华·三模）在一个不透明的袋中，只有白、红颜色的球，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中随机摸出一个红球的概率为，则随机摸出一个白球的概率是 ． 【答案】 【知识点】概率的意义理解、判断几个事件概率的大小关系 【分析】因为所有事件的概率之和为，所以随机摸白球的概率为减去摸红球的概率即可． 【详解】∵随机摸红球的概率为； ∴随机摸出一个白球的概率为：； 故答案为：． 【点睛】此题考查概率知识，解此题关键是知道所有事件概率之和等于1． 题型六 列举随机实验的所有可能结果 11．（2023·浙江台州·一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】列举随机实验的所有可能结果、观察与实验 【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为： 甲，，，乙，，丙，，丁 ①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确； ②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误， ③由②可知③错误， ④依题意，分组为：甲，)， (，乙， ，丙)，(，丁，……， 或甲，，，(乙， ，丙， )，(丁，……， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 12．（浙江杭州·二模）某一公园有4个入口和3个出口，小明从进入公园到走出公园，一共有 种不同出入路线的可能． 【答案】12 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】利用树状图表示方法列举出所有的可能即可． 【详解】解：用A、B、C、D表示入口，A1、B1、C1表示出口，如图所示： 小明从进入公园到走出公园，一共有3×4=12种不同出入路线的可能． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了树状图法应用，列举出所有可能是解题关键． 题型七 根据概率公式计算概率 13．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了概率公式，有理数的大小比较，理解概率公式是解题关键．先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知，从中随机抽取1个球是红球的概率， ， 故选：B． 14．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是小文和小理共同设计的自由转动的转盘，转盘被等分成4份，上面写有4个自然数．转动转盘，指针指向每一个自然数的可能性都一样，若指针指向两个扇形的交线时，则重转一次，直到指针指向某个扇形区域为止． (1)求指针指向偶数的概率； (2)小文和小理各转两次转盘，若两次指针指向的数的和小于5，则小文胜，两次指针指向的数的和大于5，则小理胜，这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)这个游戏对双方公平，理由见解析． 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，利用树状图或列表求概率，解题的关键是计算出游戏双方赢的概率进行比较； （1）根据概率公式求解即可； （2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平． 【详解】（1）解：指针指向偶数的概率； （2）解：这个游戏对双方不公平． 理由如下：树状图如图所示， ， 可见，共有16种等可能的情况，其中和小于5的有6种，和大于5的有6种； 小文获胜的概率为， 小理获胜的概率为， ， 这个游戏对双方公平． 题型八 根据概率作判断 15．（2023·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】根据概率作判断 【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可． 【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键． 16．（2023·浙江温州·模拟预测）小明每天乘坐小区巴士上下学，小区门口的1号和2号巴士都可以到达学校．为了了解从小区巴士到学校所用时间的规律，他记录了20天内1号巴士到达学校所需的时间，并整理如下（单位：分钟）： 14，14，15，17，18，18，19，19，19，19， 20，20，20，20，21，21，21，22，25，27． 1号巴士到校时间频数表 组别（分钟） 划记 频数 2 4 合计 20 (1)请填写频数表，并估计一个学期（以100天计）内1号巴士从小区门口到学校所花的时间不超过22分钟的天数． (2)小明同时绘制了2号巴士到校所花时间的频数分布直方图，小明某日在到达小区门口，且两种巴士均同时出发，学校规定每日不迟于到校，若考虑准时到校的可能性，请结合图表信息给出搭乘建议，并说明理由． 【答案】(1)补全频数表见解析，90天 (2)选择乘坐1号巴士，理由见解析 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、频数分布表、频数分布直方图、根据概率作判断 【分析】本题考查频数分布表、频数直方图、用样本估计总体、简单的概率计算，看懂图表，获取有用信息是解答的关键． （1）根据所给数据即可补全频数分布表；先求得20天中不超过22分钟的天数的概率，进而可求得一学期不超过22分钟的天数； （2）分别求得两种巴士不超过26分钟的概率，进行比较即可得出乘坐方案． 【详解】（1）1号巴士到校时间频数表 组别（分钟） 划记 频数 2 4 正正 12 一 1 一 1 合计 20 由表可知，在20天中不超过22分钟的天数有（天）， ∴在20天中不超过22分钟的天数的概率为， ∴一个学期不超过22分钟的天数为（天）； （2）解：巴士出发，需在之前到达学校，则巴士用时不能超过26分钟， 根据1号巴士的频数表知，1号巴士不超过26分钟的概率为， 根据2号巴士的频数分布直方图知，2号巴士不超过26分钟的概率为， ∵， ∴1号巴士不超过26分钟的概率更大， 故应选择乘坐1号巴士． 题型九 已知概率求数量 17．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同，那么m与n必满足的关系是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【知识点】已知概率求数量 【分析】本题考查概率公式，由于每个球都有被摸到的可能，故可利用概率公式求出取得白球的概率与取得的不是白球的概率列等式，求出、的关系即可． 【详解】解：∵取得白球的概率与取得的不是白球的概率相同， ∴， 故选：B． 18．（2025·浙江杭州·二模）一个不透明的袋子中有4个白球，2个红球和个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中随机摸一个球，摸到黑球的概率为，则的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知概率求数量、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查概率的计算，解分式方程，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 由概率公式，根据摸到黑球的概率为，得，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 故答案为：4． 题型十 几何概率 19．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）小镇和小海玩掷飞镖的游戏，他们设计了如图所示的矩形靶子，点E，F分别是边，上的点，，小镇投掷的1次飞镖落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、几何概率 【分析】此题考查矩形的判定和性质，概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 将图形分为矩形和矩形两部分，可得三角形是矩形面积的一半，三角形是矩形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：∵分别是矩形的两边上的点，， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：C． 20．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是，指针绕着圆心自由转动2次．    (1)直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率　　　； (2)求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、几何概率 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可； （2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由题意第一次转动时指针落在蓝色区域的概率为， （2）解：把黄色区域看作两份，画树状图为：   ， 共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4， 所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率为．4 题型十一 列举法求概率 21．（2024·浙江·模拟预测）编号为1，2，3，4的四位同学随机地坐到编号为1，2，3，4的四个位置上，其中没有一对编号相同的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查的是用列举法求概率．找出总情况数及所有所求情况数即可求解．理解并掌握概率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键． 【详解】以表示编号为a，b，c，d的同学依次坐在第1，2，3，4这四个位置上．共 有以下24种坐法． 没有一对编号相同的情况有9种： ，， ， ，，，， ，．所以所求概率为, 故选： D． 22．（2024·浙江宁波·模拟预测）在学校举行的“读书节”活动中，提供了四类适合学生阅读的书籍： A． 文学类，B． 科幻类，C． 漫画类，D． 数理类． 小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，则选中A类书籍的概率为 ． 【答案】 【知识点】列举法求概率 【分析】本题考查了求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键． 找到等可能情况总数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意小文同学从A，B，C，D四类书籍中随机选择一类，共4种选择， 则选中A类书籍的概率为． 故答案为：． 题型十二 列表法或树状图法求概率 23．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）一个不透明的袋子里装有4个球，分别为1个绿球、2个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出2个球，它们颜色不同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，用分别表示1个绿球，2个黑球，1个红球，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：用分别表示1个绿球，2个黑球，1个红球，列出表格如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 共12种等可能的结果，其中颜色不同的情况有10种， ∴； 故选：B． 24．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在分别写有数字2，3，5的三张小卡片中（卡片只有数字不同，其余完全一样），随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为 ． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 2 3 5 2 3 5 共有6种等可能出现的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有，，共2种 ， ∴卡片上数字和为偶数的概率为， 故答案为：． 题型十三 关于频率与概率关系说法的正误 25．（浙江金华·二模）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（    ） 投篮数（次） 50 100 150 200 … 进球数（次） 40 81 118 160 … A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100% 【答案】D 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】根据概率的知识点判断即可； 【详解】小亮每投10个球，不一定有8个球进，故错误； 小亮投球前8个进，第9、10个不一定不进，故错误； 小亮比赛中的投球命中率可能为80%，故错误； 小亮比赛中投球命中率可能为100%，故正确； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了概率的相关知识点，准确判断是解题的关键． 26．（九年级上·浙江宁波·期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 小杰根据表格中的数据提出了下列两个判断：①若摸次，则频率一定为；②可以估计摸一次得白球的概率约为．则这两个判断正确的是 （若有正确的，则填编号；若没有正确的，则填“无”）． 【答案】② 【知识点】关于频率与概率关系说法的正误 【分析】根据利用频率估计概率，由于摸到白球的频率稳定在0.6左右，由此可估计摸到白球的概率为0.6． 【详解】解：①若摸次，则频率在上下波动，故①错误； ②根据摸到白球的频率稳定在0.6左右，所以摸一次，摸到白球的概率为0.6，故②正确 故答案为：② 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 题型十四 求某事件的频率 27．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有9个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】求某事件的频率 【分析】根据题意可得＝0.4，解方程即可求解． 【详解】根据题意得： ＝0.4， 解得：n＝6， 经检验：n＝6是分式方程的解且符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了频率估计概率，利用频率估计概率的计算方法列式是解题的关键． 28．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)当实验次数为10000次时，估计摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） (2)盒子内有白球数量为 ； (3)通过增加这个不透明盒子内某种球的数量，可以使得摸到白球的概率为0.5，请写出应该增加什么颜色的球，并求出增加的数量． 【答案】(1) (2) (3)增加个黑球 【知识点】由频率估计概率、求某事件的频率、已知概率求数量 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，已知概率求数量； （1）计算出其平均值即可； （2）概率接近于（1）得到的频率； （3）首先确定40个球的颜色，然后使得黑球和白球的数量相等即可确定答案． 【详解】（1）解：∵摸到白球的频率为， ∴当实验次数为10000次时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：∵摸到白球的频率为， ∴假如你摸一次，你摸到白球的概率为， ∵盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个， ∴白球个数为， 故答案为：． （3）解：由（2）得盒子内白球数24，则黑球数， ∴使得摸到白球的概率为0.5，即两种球的个数一样多，需要增加个黑球． 题型十五 由频率估计概率 29．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率．当他把一枚硬币抛掷24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（　　） A．11011 B．12012 C．13013 D．14014 【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 【详解】解：当重复实验够多时，正面朝上的概率为， ， 12012与12000最接近，该实验结果比较符合， 故选：B． 30．（24-25九年级上·浙江金华·期末）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ．（结果精确到0.01） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.41 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.41，所以该市初中生近视的概率为0.41； 故答案为0.41． 题型十六 用频率估计概率的综合应用 31．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）在一个不透明的口袋中装有5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】设黑球可能有x个，根据摸到白球的频率稳定在附近得到口袋中摸到白球的概率为，根据概率公式即可求出黑球的个数． 【详解】设黑球可能有x个， 摸到白球的频率稳定在附近， 所以摸到白球的概率为， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点；由频率估计概率是解答本题的关键． 32．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）实践任务：测量不规则草地的面积（如图阴影部分）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点的情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如表： 数据分析： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地上的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地上的概率大约是 ． (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】(1) (2) 【知识点】由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查了频率估计概率及其综合应用，理解频率和概率的定义是解题关键． （1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率； （2）根据概率公式估算出草地面积即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是． 故答案为：． （2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 题型十七 概率在转盘抽奖中的应用 33．小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是 元． 【答案】6 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【详解】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【点睛】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 34．“五·一”期间，某书城为了吸引读者，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），并规定：读者每购买100元的书，就可获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么读者就可以分别获得45元、30元、25元的购书券，凭购书券可以在书城继续购书． 如果读者不愿意转转盘，那么可以直接获得10元的购书券． （1）写出转动一次转盘获得45元购书券的概率； （2）转转盘和直接获得购书券，你认为哪种方式对读者更合算？请说明理由． 【答案】（1）；（2）转转盘，理由见详解. 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用 【分析】（1）共有12份，红色区域占1份，那么1除以12即为转动一次转盘获得45元购书券的概率； （2）看转转盘能得到的平均钱数和10元相比较即可． 【详解】解：（1）P（获得45元购书券）=；        （2）同理可得得30元的概率是，得25元的概率是， 所以可得转转盘能得的平均钱数为：45×+30×+25×=15（元）， ∵15元>10元， ∴转转盘对读者更合算． 题型十八 概率在比赛中的应用 35．（九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 36．（浙江·中考模拟）甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a.得分为正数或0；b.若8次都未投进，该局得分为0；c.投球次数越多，得分越低；d.6局比赛的总得分高者获胜. (1)设某局比赛第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案； (2)若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人谁在这次比赛中获胜. 第一局 第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 × 4 8 1 3 乙 8 2 4 2 6 × 【答案】（1）见解析，（2）甲在这次比赛中获胜．见解析． 【知识点】概率在比赛中的应用 【分析】（1）因为总共有8次投球的机会，且投球次数越多，得分越低，可以设计计分为1次投中得8分，两次投中得7分，依次下降1分即可； （2）根据（1）的计分方案，可以分别计算甲、乙的得分，进行比较． 【详解】(1)计分方案如下表： n(次) 1 2 3 4 5 6 7 8 M(分) 8 7 6 5 4 3 2 1 (2) 根据以上方案计算得6局比赛，甲共得4+0+5+1+8+6=24分， 乙共得1+7+5+7+3+0=23分， 所以甲在这次比赛中获胜． 【点睛】此题要能够根据规则合理设计得分，根据实际设计的方案进行正确计算． 题型十九 概率在比赛中的应用 37．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）某条笔直的路上有12盏路灯，为了节约用电，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭，则不同的关灯方案种数为 ． 【答案】126 【知识点】概率的其他应用 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键． 根据题意转化为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间，得到共有9个位置，进而求解即可． 【详解】解：∵路上有12盏路灯，打算关掉其中4盏路灯，要求相邻的两盏路灯不能同时关闭， ∴可以理解为有盏路灯，将4盏路灯放到8盏路灯之间 ∴共有9个位置 ∴（盏）． ∴不同的关灯方案种数为126盏． 故答案为：126． 38．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）某寝室有四个同学，每个同学写一张贺卡放在一起，每人抽取一张，要求不能抽取自己写的贺卡，则不同的抽取方案共有 种（用数字作答）． 【答案】9 【知识点】概率的其他应用、组合排列问题 【分析】本题要根据计数原理求出所抽取的都不是自己所写的贺卡的结果数，第一个人有3种结果，被拿走贺卡的人是第二个人有3种结果，则剩下的两个人只有一种结果，即可求解． 【详解】解：因为甲先去拿一张贺卡，有3种方法， 假设甲拿的是乙写的贺卡， 接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法， 则剩下的两个人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去， 这样两人只有一种拿法， 所以总的拿法为种； 故答案为：9． 【点睛】本题考查了排列组合的计数问题，解题的关键是看出前两个人都抽取贺卡后，第三个人和第四个人只有一种结果． 题型二十 游戏的公平性 39．（2024·浙江·模拟预测）在一次摸球游戏中，规定：连续摸到2个相同颜色的小球即为胜利，且每人只有一次挑战机会．小金和小华一起参加游戏，两人轮流从不透明的箱子里摸出一个小球，小金先摸．现已知箱子里有4个红球和2个白球，则下列推断正确的是（   ） A．一定是小金获胜 B．一定是小华获胜 C．若第一轮两人都摸到了白球，则一定是小金获胜 D．若第一轮两人都摸到了红球，则一定是小金获胜 【答案】C 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查了随机事件，列举法等知识，利用排除法求解即可． 【详解】解：假设两人第一次都摸到红球，若第二次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第二次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故A、B都不正确； 若第一轮两人都摸到了白球，剩下只能是红球，因为小金先摸球，则小金先摸到2个红球，所以一定是小金获胜， 故C正确； 若第一轮两人都摸到了红球，剩下4球为两个红球，两个白球，假设两人第三次都摸到红球，若第四次小金摸到红球，小华摸到白球，则小金获胜；若第四次小金摸到白球，小华摸到红球，则小华获胜； 故D不正确． 故选：C． 40．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）有4张形状、大小相同的纸牌，它们分别标有数字1、2、3、4，把它们背面朝上，记下数字，然后放回 (1)用列表或画树状图的方法计算两次摸出的纸牌上数字之和为6的概率； (2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)公平，见解析． 【知识点】游戏的公平性、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）列表表示两次摸到纸牌上数字之和为6的所有情况，再根据概率公式计算即可得到答案； （2）分别计算纸牌上数字之和为奇数和偶数的概率，进行比较即可得到游戏是否公平，即可作答． 此题考查列表法或列树状图的方法求事件的概率，正确理解题中的事件是放回或是不放回事件是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，列表如下 和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 共有16种等可能的情况，其中两次摸到纸牌上数字之和为6的等可能的情况有三种， ∴（和为6）； （2）解：游戏公平，理由如下： 由（1）得两次摸到纸牌上数字之和为奇数的等可能的情况有8种，两次摸到纸牌上数字之和为偶数的等可能的情况有8种， ∴（和为奇数），（和为偶数）， ∴游戏公平． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$