第14讲 成比例线段（5大考点）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第14讲 成比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.了解线段的比例和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法 2.掌握比例的性质，能用比例变式解决一些实际问题 3.了解黄金分割的概念，并能做出线段的黄金分割点 一、比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 二、黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 教材习题01 对如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高线. 找出一组比例线段，并说明理由. 解题方法 根据 ad＝bc ⇔ ＝ ，问题可转化为找出四条线段，使其中两条线段的乘积等于另两条线段的乘积 【答案】 解：记 RtΔABC 的面积为 S，则 AC·BC＝2S，CD·AB＝2S， ∴ AC·BC＝CD·AB， ∴ ＝ ， ∴ AC，CD，AB，BC 是一组比例线段援 考点一： 线段的比 例1．一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 变式1-1．在比例尺为的南京市地图上，太平北路的长度约为，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 考点二：成比例线段 例2．下列各组线段的长度成比例的是（　　） A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm 变式2-1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 变式2-2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 考点三：比例中项 例3．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ） A． B． C． D． 变式3-1．已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 变式3-2．已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，则 ． 考点四：比例的性质 例4．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式4-1．已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．若，则的值是（    ） A．－1 B． C． D．1 考点五：黄金分割 例5．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式5-1．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 变式5-2．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 1．如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 3．如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 4．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A．6 B．4 C．8 D．10 5．下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 6．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 7．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 8．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和线段的比例中项，则 厘米． 9．已知线段c是线段a，b的比例中项，如果，，那么 ． 10．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 11．已知，，那么 ． 12．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 13．点是线段上的一点，如果，，那么 ． 14．已知线段a，b，且． (1)求的值． (2)如果线段a，b满足，求的值． 15．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 16．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 17．已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 18．如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 成比例线段 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1.了解线段的比例和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法 2.掌握比例的性质，能用比例变式解决一些实际问题 3.了解黄金分割的概念，并能做出线段的黄金分割点 一、比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 二、黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 图4－7 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 教材习题01 对如图，在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高线. 找出一组比例线段，并说明理由. 解题方法 根据 ad＝bc ⇔ ＝ ，问题可转化为找出四条线段，使其中两条线段的乘积等于另两条线段的乘积 【答案】 解：记 RtΔABC 的面积为 S，则 AC·BC＝2S，CD·AB＝2S， ∴ AC·BC＝CD·AB， ∴ ＝ ， ∴ AC，CD，AB，BC 是一组比例线段援 考点一： 线段的比 例1．一种精密零件长毫米，把它画在图纸上，图上零件长厘米，这张图纸的比例尺是（   ） A． B．500:1 C．1:50 D．50:1 【答案】D 【分析】本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．比例尺图上距离与实际距离的比，由此即可计算． 【详解】解：厘米毫米， ：：， 这张图纸的比例尺是：． 故选：D． 变式1-1．在比例尺为的南京市地图上，太平北路的长度约为，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例尺的性质．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的性质列方程，注意统一单位．首先设这两地的实际距离是，然后根据比例尺的性质，即可得方程：，解此方程即可求得答案． 【详解】解：设它的实际长度为， 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴它的实际长度约为． 故选：A． 变式1-2．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 考点二：成比例线段 例2．下列各组线段的长度成比例的是（　　） A．0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B．30cm，20cm，90cm，60cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，4cm，5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形，根据四条线段成比例的定义逐项判断即可． 【详解】A、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意； B、，各组线段的长度成比例，该选项符合题意； C、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意； D、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意． 故选：B 变式2-1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了成比例线段，若，则a，b，c，d成比例，据此进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 变式2-2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】 本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念是解题关键．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等，即可得出答案． 【详解】 解：、，四条线段不成比例； B、，四条线段不成比例； C、，四条线段不成比例； D、，四条线段成比例； 故选：D． 考点三：比例中项 例3．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键． 由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由，即可求得答案． 【详解】解：∵b是a、c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 变式3-1．已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 变式3-2．已知线段，线段，线段c是线段a、b的比例中项，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查比例中项，根据比例中项的定义得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：线段c是线段a、b的比例中项， ， ，， ， 或（舍）， 故答案为：6． 考点四：比例的性质 例4．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例性质，根据比例式和等积式的互化即可求解． 【详解】解：A、由得，故此选项比例式成立，符合题意； B、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意； C、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由得，故此选项比例式不成立，不符合题意， 故选：A． 变式4-1．已知实数满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据合比性质即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 变式4-2．若，则的值是（    ） A．－1 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是把比例式进行合理的变形；由得，再代入化简即可求解． 【详解】， ， ； 故选：C． 考点五：黄金分割 例5．黄金矩形的宽、长之比为黄金分割率，换言之，矩形的短边长与长边长的比为，黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它，希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子．若一个黄金矩形的长边的长为，则短边长的值最接近的是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割，根据短边长与长边长的比为，长边的长为，估算短边长的值，选择最接近的选项即可，熟记“黄金分割率”、正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴选项中最接近的数是5， 故选：B． 变式5-1．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 变式5-2．如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 1．如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 2．如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得，由此可解． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ，即， ， 故选A． 3．如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解： ， ， ． ， ， 故选：B． 4．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似，根据成比例线段的定义可得，据此即可求得答案． 【详解】∵线段，，，是成比例线段，其中，，， ∴． ∴． 故选：B 5．下列各组线段中是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C ． 6．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．设，根据题意易得，，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，整理可得， 解得，（舍去）， ∴． 故选：C． 7．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 8．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和线段的比例中项，则 厘米． 【答案】4 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义得到，据此可得答案． 【详解】解；∵线段是线段和线段的比例中项，线段厘米，厘米， ∴， ∴厘米， 故答案为：4． 9．已知线段c是线段a，b的比例中项，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段．根据比例中项的定义得到，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：线段是和的比例中项， ， 解得或（舍去）， 即． 故答案为：． 10．为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键． 根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一． 【详解】解：实际路程为， 当比例尺为时，图示距离为， 当比例尺为时，图上距离为， ∴， 故答案为： ． 11．已知，，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了比例的性质，正确将已知代入是解题关键．根据题意得到，将其代入中，求出值，进而得到，将，代入中求解，即可解题． 【详解】解： ，， ，则， 解得：， 故， 那么． 故答案为：2． 12．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 13．点是线段上的一点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．已知线段a，b，且． (1)求的值． (2)如果线段a，b满足，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】 此题主要考查了比例的性质． （1）根据比例的性质即可求解； （2）设，，根据可求得k的值，进而得到a和b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 15．已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）根据比例的性质进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，以及设k法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵； ∴设， ∴． 16．如图，线段、、、的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，这四条线段是成比例线段吗？为什么？ 【答案】成比例，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，运用勾股定理求出各边的长，判断即可解答． 【详解】解：成比例．理由如下： ， ， ， ， ∴， ∴， ∴线段、、、成比例． 17．已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出， ， ，进而得出a、b、c的值是解题关键． 根据题意可设，然后用k的代数式分别表示出a、b、c，再代入可求得k，即可求得答案． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 解得， ∴ 18．如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上． (1)求线段、的长； (2)求证：； (3)请指出图中的黄金分割点． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念． （1）要求的长，只需求得的长，又，，则； （2）根据（1）所求分别求出的值即可证明结论； （3）根据（1）中的数据得：，根据黄金分割点的概念，则点M是的黄金分割点． 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理知： ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴； （3）解：∵， ∴点M是的黄金分割点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$