精品解析：河南省平顶山市宝丰县2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年第二学期期中评估试卷 七年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 守株待兔 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C. 掷一个正六面体骰子，朝上点数是3的倍数 D. 一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C. 过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 7. 若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（ ） A 被9整除 B. 被6整除 C. 被3整除 D. 被2整除 8. 将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若把边长为a米（）的正方形花园一边增加米，一边减少米．则改造后花园的面积______．（填变大、变小或不变） 12. 已知，则______． 13. 如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 14. 如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则______． 15. 亮亮将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，三角尺不动，三角尺绕点C转动，当且点E在直线的上方时，他发现当最小为______，最大为______时，三角尺有一条边与斜边平行． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. （1）． （2） （3）（用整式乘法公式计算） 17. 下面是李明同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式．．．第一步 …第二步 ．…第三步 任务一：李明第______步开始出现错误，这一步出现错误的原因是______． 任务二：请写出正确的解题过程，并计算当时原式的值． 18. 尺规作图起源于古希腊，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．尺规作图的背后都与数学原理密切相关．请完成以下任务： （1）尺规作图：已知点A在直线l外，用尺规作过点A的直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据所学知识解释此作法的合理性． 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球．其中红球3个，黄球5个，白球若干个，若从中任意摸出一个黄球的概率是． （1）任意摸出一个球，会出现______种等可能的结果． （2）求任意摸出一个球是白球的概率； （3）通过改变盒子中某一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，请写出一种调整方案：______． 20. 如图，，，． （1）与平行吗？说明理由． （2）请完成的证明过程． ______（已证）， （______）， （已知）， ______（等量代换）， ______（______）， ． 21. 很多代数原理都能用几何模型来解释，如果用来表示边长为a的正方形，其面积为．用来表示长和宽分别为a和b的长方形，其面积为．用来表示边长为b的正方形，其面积为．（a大于b） （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．阴影部分面积解释了学过的公式：______； （2）请用几何模型解释：______（在空白图中将几何模型画出来）； （3）图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．可解释等式：______； （4）若，，则______． 22. 【问题提出】当某一个多项式的平方用多项式表示时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 ，此时，，，发现： ，此时，，时，发现：； ，此时，，时，发现：______； 【问题解决】 当时，猜想a，b，c之间的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】 若某个多项式平方等于多项式加上一个含字母y的单项式，直接写出所有满足条件的单项式． 23. 如图1，线段，交于点A，C为射线上一点（不与点A，D重合）．过点C在的右侧作射线，过点D作直线，交于点G（G与D不重合）． （1）如图2，若点C在线段上，且为钝角（提示：过点C作）． ①直接写出直线与位置关系______； ②猜想与的数量关系，并说明理由． （2）当点C在射线上运动时，直接写出与数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期期中评估试卷 七年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（ ） A. 旭日东升 B. 大海捞针 C. 返老还童 D. 守株待兔 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：旭日东升是一定会发生的， 大海捞针可能发生，也有可能不发生，但是发生的可能性极小， 返老还童是不可能发生的， 守株待兔是可能发生，也有可能不发生， ∴事件发生的可能性最大的是如日东升， 故选：A． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：D． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解： 故选：C． 4. 如图，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、不能判定，该选项不合题意； 、不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，不能判定，该选项不合题意； 、∵， ∴，该选项符合题意； 故选：． 5. 如图，某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘制的频率分布折线图，则符合这一结果的实验是（ ） A. 从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》 B. 抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上 C. 掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数 D. 一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估算概率，理解图示，掌握概率的计算是关键． 根据图示信息，根据频率估算概率，概率的计算进行判定即可． 【详解】解：根据题意，大量试验中，频数稳定在之间， A、从装有一套四大名著的盒子里任取一本书，取到的是《西游记》的概率为，不符合题意； B、抛两枚硬币，一枚正面朝上，一枚反面朝上的概率是，不符合题意； C、掷一个正六面体的骰子，朝上点数是3的倍数的概率是，符合题意； D、一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是红球，不符合题意； 故选：C ． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两个角的和为，那个这两个角互为邻补角 C. 过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】有公共端点，且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；有公共端点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角，据此可判断B；过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，据此可判断C；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角的和为，那个这两个角不一定互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、过直线外一点作已知直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 7. 若n为整数，关于代数式的值，下列说法属于随机事件的是（ ） A. 被9整除 B. 被6整除 C. 被3整除 D. 被2整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，因式分解，把原式先提取公因式6，再利用平方差公式分解因式得到，则一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除，再一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此可得答案， 【详解】解： ， ∵n为整数， ∴是整数， ∴一定能被2或3或6整除，可能被9整除，也能可能不被9整除， ∴被9整除是随机事件，被3或被6或被2整除都是必然事件， 故选：A． 8. 将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键． 根据题意，得到，根据平行线的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 9. 已知，若a，b都是整数，则的值不可能是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的乘法法则，得到，，再根据和为整数，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 则，， ∵和均为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上：或， 故选：D． 10. 如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（ ） A 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识的判定，掌握以上知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形判定即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵与的数量无法确定，即与不一定相等， ∴不能判定平分，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确有①③④，共3个， 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若把边长为a米（）的正方形花园一边增加米，一边减少米．则改造后花园的面积______．（填变大、变小或不变） 【答案】变小 【解析】 【分析】本题考查了用平方差公式计算实际问题，解题关键是掌握用平方差公式． 分别求出改造前后花园的面积，比较后作出判断即可． 【详解】解：边长为a米（）的正方形的面积为（米2）， 把边长为a米（）的正方形花园一边增加10米，一边减少10米．则改造后花园的面积为， 所以改造后花园的面积变小． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 13. 如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】分别求出总面积和阴影部分的面积，根据几何概率的求法可知，小球最终停在阴影区域的概率等于阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：总面积为个小正方形的面积， 如图所示，阴影部分的面积为个由两个小正方形组成的长方形的一半， 阴影部分的面积为个小正方形的面积， 小球停留在阴影区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正确计算概率等于阴影区域的面积与总面积之比是解题关键． 14. 如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心O，其折射光线为，折射光线与交于P点，点F为焦点，若，，则______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论．过点作，得，根据平行公理的推论得，得出，最后根据对顶角相等得出． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 15. 亮亮将一副三角尺，按如图所示的方式叠放在一起，三角尺不动，三角尺绕点C转动，当且点E在直线的上方时，他发现当最小为______，最大为______时，三角尺有一条边与斜边平行． 【答案】 ①. ##15度 ②. ##150度 【解析】 【分析】本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，分三种情形画出图形分别建立好几何模型求解，即可解决问题． 【详解】解：有三种情形：①如图1中，当时，延长交于点， ∵， ∴ ∴； ②如图2中，当时，延长交于点 ∵ ∴ ∴ ； ③如图3中，当时， ∵， ∴， 综上所述，满足条件的的度数为或或， ∴的最小值为，最大值为。 故答案为：；． 三、解答题（本题8小题，共75分） 16. （1）． （2） （3）（用整式乘法公式计算） 【答案】（1）0（2）2（3）9800 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，整式的混合运算，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据单项式乘单项式，积的乘方进行运算，再合并同类项，即可作答． （2）先根据平方差公式，完全平方公式，进行展开，合并同类项，再运算除法，即可作答． （3）运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】解：（1） ． （2） ； （3） ． 17. 下面是李明同学进行整式运算的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 计算： 解：原式．．．第一步 …第二步 ．…第三步 任务一：李明第______步开始出现错误，这一步出现错误的原因是______． 任务二：请写出正确的解题过程，并计算当时原式的值． 【答案】任务一：一，完全平方公式使用错误；任务二：见解析，4 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求解，零指数幂，掌握整式的混合运算法则是解题的关键 （1）直接根据完全平方公式作答即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式正确化简，再去括号合并同类项，最后利用得出零指数幂并代入化简后的整式计算即可． 【详解】解：任务一：李明第一步开始出现错误，这一步出现错误的原因是完全平方公式使用错误． 任务二： 当时，原式 18. 尺规作图起源于古希腊，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．尺规作图的背后都与数学原理密切相关．请完成以下任务： （1）尺规作图：已知点A在直线l外，用尺规作过点A的直线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （2）请根据所学知识解释此作法的合理性． 【答案】（1）见解析 （2）同位角相等，两直线平行．（言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定等知识； （1）在直线l上任取点B，作直线，以A为顶点，作一个角等于即可，则； （2）由（1）知，同位角相等，两直线平行． 【小问1详解】 解：直线就是所求作的直线． 【小问2详解】 解：同位角相等，两直线平行．（言之有理即可） 19. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球．其中红球3个，黄球5个，白球若干个，若从中任意摸出一个黄球的概率是． （1）任意摸出一个球，会出现______种等可能的结果． （2）求任意摸出一个球是白球的概率； （3）通过改变盒子中某一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，请写出一种调整方案：______． 【答案】（1） （2） （3）去掉5个白球（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查了利用概率公式求解，已知概率求数量，解题关键是正确利用概率公式求出概率． （1）设白球有个，列发分式方程求解； （2）直接利用概率公式求解； （3）设去掉个白球，列出分式方程求解． 【小问1详解】 解：设白球有个， 则，解得：， 经检查，是分式方程的根， 所以共有个球， 所以任意摸出一个球，会出现摸出球是红球、黄球、白球，种等可能的结果． 故答案为：； 【小问2详解】 任意摸出一个球是白球的概率为； 【小问3详解】 答案不唯一，如设去掉个白球， 因为任意摸出一个球是红球概率为， 所以，解得：， 经检验是分式方程的根， 所以可以去掉5个白球． 故答案为：5． 20. 如图，，，． （1）与平行吗？说明理由． （2）请完成的证明过程． ______（已证）， （______）， （已知）， ______（等量代换）， ______（______）， ． 【答案】（1），理由见解析 （2）；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，据此可证明； （2）根据（1）所证，结合平行线的性质与判定定理以及所给推理过程求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ，， ， ； 【小问2详解】 解：（已证）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， ． 21. 很多代数原理都能用几何模型来解释，如果用来表示边长为a的正方形，其面积为．用来表示长和宽分别为a和b的长方形，其面积为．用来表示边长为b的正方形，其面积为．（a大于b） （1）如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．阴影部分面积解释了学过的公式：______； （2）请用几何模型解释：______（在空白图中将几何模型画出来）； （3）图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．可解释等式：______； （4）若，，则______． 【答案】（1） （2）见详解 （3） （4）37 【解析】 【分析】本题主要考查数形结合，涉及完全平方公式、平方差公式及其与几何图形的结合应用， （1）求得图1中，大正方形的面积和小正方面积，再根据图2中长和宽求得其面积，结合面积相等即可得到； （2）根据代数式中的字母和数字画出图即可，结合面积相等即可得到展开式； （3）由面积公式得图3的面积为，图4的面积为，结合面积相等得； （4）由（3）得，代入即可求得． 【小问1详解】 解：图1中，大正方形的面积为，小正方面积为， 图2中长为，宽为，则面积为， 那么，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示 ； 【小问3详解】 解：图3面积为 图4的面积为， 则； 【小问4详解】 解：由（3）得； ∵，， ∴，解得． 22. 【问题提出】当某一个多项式的平方用多项式表示时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？ 【问题探究】 ，此时，，，发现： ，此时，，时，发现：； ，此时，，时，发现：______； 【问题解决】 当时，猜想a，b，c之间的数量关系，并说明理由； 【拓展运用】 若某个多项式的平方等于多项式加上一个含字母y的单项式，直接写出所有满足条件的单项式． 【答案】问题探究：；问题解决：猜想，见解析；拓展运用：单项式为或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，完全平方式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据题意即可得到； （2）根据完全平方公式可得，则，，，据此可得结论； （3）分和为两平方项和为一次项，为平方项，两种情况根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：问题探究：由题意得：； 问题解决：猜想，理由如下： ∵， ∴， ，，， ； 拓展运用：当和为两平方项时，则一次项为； 当为一次项，为平方项时，则另一个平方项为； 综上所述，符合题意的单项式为或． 23. 如图1，线段，交于点A，C为射线上一点（不与点A，D重合）．过点C在的右侧作射线，过点D作直线，交于点G（G与D不重合）． （1）如图2，若点C在线段上，且为钝角（提示：过点C作）． ①直接写出直线与的位置关系______； ②猜想与的数量关系，并说明理由． （2）当点C在射线上运动时，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①②，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）①根据平行于同一条直线的两条直线平行即可判定； ②根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质，即可得出，进而得出． （2）过点C作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：①∵， ∴； ②，利用如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：． 理由：如图，过点C作， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$