精品解析：2025年辽宁省盘锦市辽河油田教育集团中考二模数学试题

2025初中学业水平考试模拟考试二数学试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ） 转账——来自天青色 微信红包——发给高原红 A. 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元 3. 全球芯片制造已经进入纳米到纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一．华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（ ） A. 6 B. 15 C. 18 D. 12 10. 甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（ ） A. 乙车开始行驶时，甲车在乙车前处 B. 乙车的平均速度是 C. 在距离A城处，乙车追上甲车 D. 乙车比甲车早到B城 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 12. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 14. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，，则的长为__________． 15. 如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为_________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算． （1）； （2）． 17. 甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ （2）甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 18. 学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分．学校分别从八、九年级各随机抽取名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 中位数 众数 方差 （1）根据以上信息可以求出：__________，__________，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是__________（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有人、九年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 19. 某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，原计划以每千克元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利元，同时为了尽快减少库存，那么这种干果每千克应降价多少元？ 20. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞩间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，，已知，，，是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数． （2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 21. 如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. （1）发现：如图1，正方形中，点在边上，将沿对折得到，延长交边于点，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，是对角线的交点，过任作一直线分别交边、边于点、，四边形是由四边形沿翻折得到的，连接． ①求证：四边形为菱形； ②若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，，为直线上的一点连接，使．将沿翻折得到，直线交直线于点，直接写出的面积． 23. 已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”，点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”．例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”，点为点关于的“2级点”． （1）如图，点在反比例函数的图像上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； （2）函数是函数的“级函数”，并且经过点． ①求的值； ②若点在函数的图像上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时且，请直接写出点的坐标_________； （3）函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求的值； ②记函数为函数、中的较大值，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025初中学业水平考试模拟考试二数学试题 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如两个宽度相同的长方体组成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：从左边看得到的图形是左视图．据此判断即可． 【详解】解：A．它的左视图的两个长方形的长应该相等，故此选项不符合题意； B．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意； C．该图形是几何体的左视图，故此选项符合题意； D．它的左视图应该是上下两层，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ） 转账——来自天青色 微信红包——发给高原红 A. 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义以及有理数加法运算．根据正负数的意义以及有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：（元）， 答：小颖当天微信收支的最终结果是收入6元． 故选：B． 3. 全球芯片制造已经进入纳米到纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一．华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9． 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 如图，直线，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，再根据平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算法则计算各项，即可得到答案． 【详解】解：A．，计算错误，故A选项不符合题意； B．，计算正确，故B选项符合题意； C．，计算错误，故C选项不符合题意； D．，计算错误，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 6. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下： 小亮 小明 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种， ∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为， 故选：B． 7. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 8. 我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 根据题意得，， 故选：． 9. 如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（ ） A. 6 B. 15 C. 18 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 则四边形的周长是， 故选：D． 10. 甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发，如图是甲、乙行驶路程（km），（km）与时间x（h）变化的图像，下列说法不正确的是（ ） A. 乙车开始行驶时，甲车在乙车前处 B. 乙车的平均速度是 C. 在距离A城处，乙车追上甲车 D. 乙车比甲车早到B城 【答案】D 【解析】 【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式，结合函数图像判断即可． 【详解】设甲的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故甲的解析式为， ∴甲车的速度为， ∵甲先出发， ∴乙车开始行驶时，甲车在乙车前处， 故A正确，不符合题意； 当时，， 故乙车的速度为， 故B正确，不符合题意； 根据图像，得到乙车出发3小时追上甲车， 故在距离A城处，乙车追上甲车正确， 故C正确，不符合题意； 根据图像，乙车到达目的地， 故乙车比甲车早到B城 故D错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了函数图像，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图像信息是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是牢记分母不等于0．根据分母不等于0解答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ 即 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了3个单位，向上平移了2个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，求线段长，根据抛物线与轴交于点，先求得，进而将代入，求得的坐标，即可求解． 【详解】∵抛物线与y轴交于点， 当时， ∴点坐标为． 当时，，解得， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用以及垂直平分线的作图与性质，利用垂直平分线的性质得出, ，并根据勾股定理即可求的值． 【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线，即, ， 在中，根据勾股定理，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，平面直角坐标系中，点为反比例函数的图象一点，点为轴上一点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，若为等腰直角三角形，则点的横坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．过作轴，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点，然后证明，则有，，，即点横坐标为，然后求出反比例函数解析式为，故有，最后通过线段和差即可求解． 【详解】解：如图，过作轴，过作，交延长线于点，过作，交延长线于点，延长交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即点横坐标为， ∵点为反比例函数的图象一点， ∴， ∴反比例函数图象为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及分式的混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键； （1）利用零指数幂、绝对值的意义、特殊角的三角函数值、再计算加减即可得到答案； （2）根据分式的混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路米，甲队筑路米所用时间与乙队筑路米所用时间相等． （1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？ （2）甲、乙两个筑路队合作筑路米，若要求乙队筑路不超过天，甲队至少筑路多少天？ 【答案】（1）甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米 （2）甲队至少筑路天 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系列方程解题即可． （1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，根据“甲筑路队筑路1800米所用时间与乙筑路队筑路1500米所用时间相等”列分式方程求解； （2）设甲甲筑路a天，由乙队筑路不超过天，列不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路米，由题意可得： 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：甲筑路队每天筑路米，则乙筑路队每天筑路米； 【小问2详解】 解：设甲筑路a天， 由题意可得：， 解得：， 答：甲队至少筑路天． 18. 学校为了解学生“学以致用”的情况，组织八、九年级学生开展了一次生活中的物理知识竞赛，成绩分别为，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为分，分，分，分．学校分别从八、九年级各随机抽取名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 八年级 九年级 平均分 中位数 众数 方差 （1）根据以上信息可以求出：__________，__________，并把八年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）在这两个年级中，成绩更稳定的是__________（填“八年级”或“九年级”）； （3）已知该校八年级有人、九年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校八、九年级参加本次知识竞赛成绩为优秀的学生共有多少人？ 【答案】（1）8，9 （2）八年级 （3）两个年级成绩为优秀的学生共有人． 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数的定义第13个数据是中位数，在等级C中，可以确定的值；先求得八年级等级C的人数，根据最多的数据是众数，可以确定的值；再补全条形图即可． （2）根据方差越小，越稳定解答． （3）用分别用八、九年级的人数乘以各自的优秀率，然后相加即可得到答案． 【小问1详解】 解：八、九年级各抽取25名学生的竞赛成绩， 九年级中位数为从小到大排序后的第名同学的成绩， 由扇形统计图可知，从小到大排序后的第名同学的成绩在等级C中， 故九年级中位数， 由题可知：八年级等级C人数为：（人）， 等级B的人数最多， 八年级众数， 补全条形统计图如下： 故答案为：8，9； 【小问2详解】 解：八年级方差小于九年级方差， 八年级成绩更稳定； 故答案为：八年级； 【小问3详解】 解：（人）． ∴两个年级成绩为优秀的学生共有人． 19. 某商贸公司以每千克元的价格购进一种干果，原计划以每千克元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利元，同时为了尽快减少库存，那么这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1） （2）这种干果每千克应降价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用；由题意列出方程组或方程是解题的关键． （1）设一次函数解析式为：由题意得出：当，；当，；得出方程组，解方程组即可； （2）由题意得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为： 当，；当，， ， 解得， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意得，， 整理得， 解得：，， ∵为了尽快减少库存， ∴ 答：这种干果每千克应降价元． 20. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞩间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，，已知，，，是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数． （2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键； （1）过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴ ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 21. 如图，内接于，为的直径，点为上一点，，延长至，使得． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，则：， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，圆周角定理得到，进而得到，证明，推出，进而得到，即可得证； （2）根据，得出，证明是等边三角形得出，，进而求得根据阴影部分面积，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知： ∴ ∴， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，求扇形面积，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 22. （1）发现：如图1，正方形中，点在边上，将沿对折得到，延长交边于点，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，是对角线的交点，过任作一直线分别交边、边于点、，四边形是由四边形沿翻折得到的，连接． ①求证：四边形为菱形； ②若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，，为直线上的一点连接，使．将沿翻折得到，直线交直线于点，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：正方形中，； 由折叠性质得，； ，； ， ， ； ； （2）①证明：如图，连接，过N作于G，则， 在矩形中， ，，； 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， 故四边形是平行四边形， 由折叠知，， ∴四边形是菱形； ②； （3） 或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得，再证明即可； （2）①连接，过N作于G，依题意得四边形是矩形；首先证明四边形是平行四边形，根据折叠可得，即可得证； ②先证明,设，由面积关系得，从而由勾股定理得；依题意得四边形是矩形，则有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得结果； （3）分两种情况考虑：①当在的右侧时，②当在的左侧时，分别解直角三角形求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵，， ， ； 设，由于的面积与的面积比为， 即， ； ，，； 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理求得， ； （3）①当在的右侧时，如图，连接，由于菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴ ∵．沿翻折得到， ∴ ∴ 设交于点 ∴ ∴ ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴， 在中， ∴ 在中，， ∴； ②当在的左侧时，如图，过点作于点，同理则是的中点，， ∵． ∴ ∵沿翻折得到， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 综上所述，的面积为 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质是关键． 23. 已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”，点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”．例如：函数，当时，，则函数是函数的“2级函数”，点为点关于的“2级点”． （1）如图，点在反比例函数的图像上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； （2）函数是函数的“级函数”，并且经过点． ①求的值； ②若点在函数的图像上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时且，请直接写出点的坐标_________； （3）函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”． ①当时，的取值范围是，求的值； ②记函数为函数、中的较大值，若，求的值． 【答案】（1） （2）①；② （3）①的值为或；②的值为或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，反比例函数，一次函数的性质，熟练利用分类讨论，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将，代入，求得点，进而根据“级点”的定义，即可解答； （2）①根据题意可得，根据经过点，待定系数法即可求解． ②表示出点的纵坐标，按照题意列不等式和方程即可解答； （3）①根据点为点C关于的“级点”求得点的坐标，即可求得的解析式，分类讨论，按照题意求解即可； ②根据函数为函数、中的较大值，得出，联立，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：点在反比例函数的图象上， ， ， ∵点为点关于的“级点” ∴点的纵坐标为， ； 【小问2详解】 解：①∵函数是函数的“级函数”， ∴， ∵经过点． ∴ 解得： ②∵点在上，，点为点关于的“级点”， 设，则， ∵当点在点上方时，则 解得： ∵， ∴， 解得或（舍去） ∴ ∴ 故答案为： 【小问3详解】 解：①∵函数为函数的“级函数”， ， ∵点为点C关于的“级点”， 设点的纵坐标为， ， 解得， ， ∵点C在函数的图象上， ， ∴， ， ∴当时，， 当时，， 对称轴为直线， 当时，， 当，即在对称轴左侧时， 则当时，取最小值， 即， 解得（舍去）， ； 当，即在对称轴右侧时， 则当时，取最小值， 即，解得， ， ，即，成立， 综上，的值为或； ②：由①可得， 当时，， 解得： ∴与轴的交点为和 ∵ ∴与轴的交点也为和 ∵函数为函数、中的较大值， ∴ 当时， 解得：或（舍去） 当时， 解得：或 综上所述，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $