精品解析：广东省湛江市雷州市四校 2024-2025学年八年级下学期4月期中联考数学试题

24-25学年雷州市八年级四校联考 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解本题的关键．注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. ＝4 C. （）2＝6 D. ＝2 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，二次根式的除法，积的乘方，二次根式的性质，逐项分析即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、原式＝，该选项错误，不符合题意； C、原式＝9×2＝18，不符合题意； D、原式＝2，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项，二次根式的除法，积的乘方，二次根式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 3. 已知平行四边形 中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质可得，，再由已知条件计算出的度数，即可得出 的度数． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别平行，两组对角分别相等． 4. 要使有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，即． 故选：B． 5. 下列线段能组成直角三角形的一组是（　　） A. 1，2，2 B. 3，4，5 C. ，2， D. 5，6，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析即可． 【详解】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形； B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形； C、∵()2+22≠()2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形； D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 6. 在四边形 中 、 相交于点 ，下列说法错误的是（ ） A. ， ，则四边形 是平行四边形 B. ，且 ，则四边形 是菱形 C. ，则四边形 是矩形 D. 且，则四边形 是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关判定定理． 【详解】解：、 ， ，则四边形 有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意； B、∵， ， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四边形 是菱形，此选项正确，不符合题意； C、∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴，即： ， ∴平行四边形 是矩形，此选项正确，不符合题意； D、∵，， ∴， ∴四边形 是矩形， 又∵， ∴矩形 是正方形，此选项正确，不符合题意； 故选：． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的对角线相等 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质与判定，矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，熟知菱形的性质与判定条件，矩形的性质是解题的关键． 8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确． ②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2=∠CAB=30°， ∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确． ③∵∠1=∠B=30°， ∴AD=BD． ∴点D在AB的中垂线上．故③正确． ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD． ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD． ∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD． ∴S△DAC：S△ABC．故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 10. 已知 是矩形 对角线的交点，作， ， 相交于点 ，连接 ．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可得OA＝OD，进而得出四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，然后证明△ABD≌△EDB即可得出④正确． 【详解】解：①∵DE AC，AE BD， ∴四边形DEAO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴四边形DEAO为菱形，故①正确； ②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误； ③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误； ④如图，连接OE， ∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴OE＝OB＝OD， ∵四边形DEAO为菱形， ∴DE＝OD， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠EDO＝60°， ∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°， ∴∠ADB＝∠EBD， 又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB， ∴△ABD≌△EDB（AAS）， ∴AD＝BE，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的加法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法计算，正确计算是解题的关键． 12. 如图， 中， ，， 的外角平分线与边 的垂直平分线交于点D，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设 交于点M，过点A作于点N，根据勾股定理即线段垂直平分线的性质得出，根据平行线的判定与性质得出，，根据相似三角形的性质得出，根据角平分线的定义及等腰三角形的判定推出，则，根据，得出四边形是矩形，根据矩形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设 交于点M，过点A作于点N， ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∵ 是 的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 13. 如图，在数轴上，点O所对应的实数是0，点A所对应的实数是2，过点A作数轴的垂线段，且，连接．以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C对应的实数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算OB==OC，根据点C的位置确定数即可． 【详解】∵ ∴OB==OC， ∵点C在原点的左边， ∴点C对应的实数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，正确运用勾股定理计算OB的长是解题的关键． 14. 如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是__． 【答案】54 【解析】 【分析】根据折叠对称的性质可得AE=EF，勾股定理求得BE，在Rt FCD中求出FC，再根据三角形面积公式即可求得． 【详解】 解：设BC为x则AD=FD=x． ∵矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处， ∴AE=EF=5 ∵在Rt EBF中，BF=3 ∴BE=4 ∴AB=CD=9 在Rt FCD中，FC=x-3，CD=9，FD=x 由勾股定理可得 解得x=15 ∴ 故答案为：54． 【点睛】此题考查了折叠的对称性、勾股定理、矩形的性质，解题的关键是利用勾股定理求得边长． 15. 如图，在正方形 外取一点 ，连接 ， ， ，过点A作 的垂线交 于点 ，若，．下列结论：①；②点 到直线 的距离为；③；④．其中正确的是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得，再结合已知条件利用可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得，结合三角形的外角的性质，易得，即可证；②过B作，交 的延长线于F，利用③中的，利用勾股定理可求 ，结合是等腰直角三角形，可证是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求 、 ；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面积． 【详解】解：①∵，， ∴， 在和中 ， ∴故①正确； ③， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故③正确； ②过B作，交 的延长线于F， ∵，， ∴， 又∵③中，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②不正确； ④∵，， ∴在中，， ∴，故④正确， 故答案为：①③④ 【点睛】本题利用了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算法则及零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 根据二次根式的性质和零指数指数幂、负整数指数幂的定义化简各项，再进行合并即可． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： （1）从A点出发画线段、 ，以及线段 使，，，且使B、C两点也在格点上； （2）请求出图中你所画的 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）找出满足题意得B与C的位置，连接， ， 即可； （2）用割补法求解即可． 【小问1详解】 如图， ，， 【小问2详解】 【点睛】此题考查了勾股定理，网格中求三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知 ， 满足． （1）求的值． （2）若一个菱形的对角线的长分别是x，y，求这个菱形的面积和高． 【答案】（1） （2）这个菱形的面积为 ，高为 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的非负性，二次根式有意义的条件得出的值，将代数式因式分解即可求解； （2）根据菱形的性质求得面积，勾股定理求得边长，根据等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵一个菱形的对角线的长分别是x，y，，， ∴，， ∴这个菱形的面积为， ∴， 则这个菱形的边长为， 设这个菱形的高为 ，则， 解得：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，因式分解的应用，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 交CB延长线于E，交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若，，求OB的长． 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质；矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形便可求证； （2）根据菱形的性质，在Rt△AEB，Rt△AEC，Rt△AOB中分别利用勾股定理即可求出OB的长； 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴AF∥EC， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE⊥BC ∴∠AEC=90°， ∴平行四边形AECF是矩形； 【小问2详解】 解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分， Rt△AEB中，由勾股定理得BE=， Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=， Rt△AOB中，AO=AC=，OB=， 故OB的长为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的判定是解题的关键． 21. 如图，在 中，D是 的中点，交于点E，且． （1）求证： ； （2）若，，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接 ，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【小问1详解】 解：连接 ， ∵D是 的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵D是 的中点，， ∴， ∵ ，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴． 三、解答题（13+14，共27分） 22. 老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值． 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出． 参考小明的思路，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由 ，等式两边都除以x，整理即可得出答案； （2）根据题意，由 ，等式两边都除以x，得，再进行整理即可得出答案． 【详解】（1）， 等式两边都除以x， 得， ， ， ； （2）， 等式两边都除以x， 得， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的综合应用，根据材料得出解题方法是解题关键． 23. 如图，在等腰△ABC中 ，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF． 【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系． 【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ． 【答案】 【猜想】CD= BC- CF，理由如下： ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC， ∴∠BAD=∠FAC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD= CF， ∵CD= BC- BD， ∴CD= BC- CF： 【探究】CF= BC+ CD，理由如下： ∵∠BAC= 90°，AB= AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形 ADEF是正方形， ∴ AD= AF，∠DAF= 90°， ∴∠BAD=∠BAC +∠DAC， ∴∠CAF=∠DAF+∠DAC， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD= CF， ∵BD= BC＋CD， ∴CF= BC+CD； 【应用】 【解析】 【分析】【猜想】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得结论； 【探究】利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，然后根据线段的和差关系可得出结论； 【应用】 利用SAS证明△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，求出∠DCF= 90°，在Rt△DCF中利用勾股定理求出DF，利用直角三角形的斜边中线的性质可得结论． 【详解】解：【猜想】略 解：【探究】略 解：【应用】∵∠BAC= 90°，AB= AC, ∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF是正方形, ∴AD= AF，∠DAF= 90°， ∴∠BAC=∠DAF， ∴， ∴∠BAD=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF (SAS)， ∴BD=CF, ∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，, ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°， ∴△FCD为直角三角形， ∵， ∴ ， ∴CD= BC+ BD， ∴ CD = BC+CF= 2+1=3， ∴ ， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识点，解题的关键是能够综合运用运用有关的知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24-25学年雷州市八年级四校联考 数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. ＝4 C. （）2＝6 D. ＝2 3. 已知平行四边形 中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 要使有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 下列线段能组成直角三角形的一组是（　　） A. 1，2，2 B. 3，4，5 C. ，2， D. 5，6，7 6. 在四边形 中 、 相交于点 ，下列说法错误的是（ ） A. ， ，则四边形 是平行四边形 B. ，且 ，则四边形 是菱形 C. ，则四边形 是矩形 D. 且，则四边形 是正方形 7. 下列说法错误的是（ ） A. 菱形的对角线互相垂直且平分 B. 矩形的对角线相等 C. 有一组邻边相等的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是菱形 8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（ ） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是 ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知 是矩形 对角线的交点，作， ， 相交于点 ，连接 ．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________． 12. 如图， 中， ，， 的外角平分线与边 的垂直平分线交于点D，则_______． 13. 如图，在数轴上，点O所对应的实数是0，点A所对应的实数是2，过点A作数轴的垂线段 ，且，连接 ．以O为圆心， 的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C对应的实数为______． 14. 如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是__． 15. 如图，在正方形 外取一点 ，连接 ， ， ，过点A作 的垂线交 于点 ，若，．下列结论：①；②点 到直线 的距离为；③；④．其中正确的是________． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成： （1）从A点出发画线段 、 ，以及线段 使，，，且使B、C两点也在格点上； （2）请求出图中你所画的 的面积． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 已知 ， 满足． （1）求的值． （2）若一个菱形的对角线的长分别是x，y，求这个菱形的面积和高． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 交CB延长线于E，交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF是矩形； （2）若，，求OB的长． 21. 如图，在 中，D是 的中点，交 于点E，且． （1）求证： ； （2）若，，求 的长． 三、解答题（13+14，共27分） 22. 老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值． 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出． 参考小明的思路，解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 23. 如图，在等腰△ABC中 ，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF． 【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系． 【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $