精品解析：四川省成都市简阳实验学校（成都石室阳安学校）2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

成都市石室阳安学校2024级（高一）5月月考数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 3. 如图，在中，设，则（ ） A B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在直角坐标平面内，已知，，，，以y轴为旋转轴，将四边形ABCD旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知函数和，则这两个函数图象在交点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 B. 正方体中，直线与是异面直线 C. 用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是 D. 在平面外，其三边所在直线分别和交于，，，则，，一定共线 10. 已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数的图象与y轴的交点坐标为 C. 函数的图象关于对称 D. 函数单调递减 11. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（ ） A. B. C. a的最大值为2 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12 若，则______． 13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 14. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，当时，_______________． 四、解答题（共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设向量与不共线． （1）若，，若，，，求实数k的值； （2）若，，，求证：A，B，C三点共线． 16. 如图，在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 17. 在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 在中，设所对的边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求解析式； （2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市石室阳安学校2024级（高一）5月月考数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，可得，即. 故选：B 2. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由图象平移的性质得到即可； 【详解】由题意可得，所以函数的图象向右平移个单位长度可得. 故选：D. 3. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得结果. 【详解】由，可得， . 故选：A. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两角和与差的余弦公式结合二倍角的余弦公式化简可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：A. 【点睛】本题考查利用两角和、差的余弦公式以及二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 5. 在直角坐标平面内，已知，，，，以y轴为旋转轴，将四边形ABCD旋转一周，得一个旋转体，则此旋转体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将所求拆分为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面面积之和即可求解. 【详解】此旋转体的表面积为底面半径为4、高为3的圆锥的侧面积加上底面半径为4、高为5的圆柱的侧面积再加上该圆柱的一个底面面积； 故所求为. 故选：C. 6. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向量，所以， 又在方向上的投影向量为，所以， 所以 故选：D 7. 已知函数和，则这两个函数图象在的交点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得两函数的最小正周期，再作出它们在上的图象，即得两函数的交点个数. 【详解】因函数的最小正周期为，而函数的最小正周期为， 作出两函数在上的图象如图. 由图知，两函数在区间上有6个交点. 故选：D. 8. 已知，，三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离为2，则球的内接正方体的棱长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由球的截面的性质可得球的半径，再由正方体外接球的直径即为体对角线的长即可得解. 【详解】由题意，的外接圆半径为， 设该球的半径为，可得，所以， 设该球内接正方体的棱长为，所以，所以． 故选：D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 B. 正方体中，直线与是异面直线 C. 用斜二测画法画水平放置的边长为1的正三角形，它的直观图的面积是 D. 在平面外，其三边所在直线分别和交于，，，则，，一定共线 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A，由异面直线的定义即可判断B，根据斜二测画法的性质即可求解C，根据平面基本事实判断D. 【详解】对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，故A错误； 对于B：由于在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以是异面直线，故B正确， 对于C：根据斜二测画法的规则可知： 直观图中，高， 所以直观图的面积，故C错误， 对于D， 因为所在平面与平面相交，由平面基本事实知，公共点都在交线上，即，，一定共线，故D正确； 故选：BD 10. 已知函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍，得到曲线，若函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A B. 函数的图象与y轴的交点坐标为 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】利用图象变换的有关知识，可得，利用最小正周期可求得解析式，进而结合每个选项的条件逐项计算判断即可. 【详解】对A，函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得函数的图象， 再将纵坐标伸长为原来2倍，得函数的图象， 所以，由函数的最小正周期为， 所以，解得，故A正确； 对B，所以， 令，可得， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为，故B错误； 对C，由， 故不是函数的图象的对称中心，故C错误； 对D，因为，所以，由在上单调递减， 所以函数在单调递减，故D正确. 故选：AD. 11. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（ ） A. B. C. a的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数量积的定义即可判断A，由三角形的面积公式即可判断B，由余弦定理以及基本不等式即可判断C，由基本不等式的常数代换，即可判断D. 【详解】对于A，由可得，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 即，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式及平方关系运算求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一个封闭的正三棱柱容器的高为2a，内装水若干(如图(1)，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图(2)，—个侧面处于水平状态)，若此时水面与各棱的交点E，F，，分别为所在棱的中点，则图(1)中水面的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出正三棱柱的底面积，再利用等体积法表示出图(1)中水面的高度即可. 【详解】设正三棱柱的底面积为，图(1)中水面的高度为，则水的体积.因为E，F，，分别为所在棱的中点，所以，，所以图(2)中水的体积.又，所以. 故答案为： 14. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，当时，_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，得到点的轨迹，根据，且，得点为的中点，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以点在的角平分线上， 因为，且，所以三点共线， 因为，所以是等腰三角形， 即点为的中点，故. 故答案为：2. 四、解答题（共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设向量与不共线． （1）若，，若，，，求实数k的值； （2）若，，，求证：A，B，C三点共线． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积坐标运算及垂直表示列方程，求解即可； （2）由共线向量的定理判断． 【小问1详解】 由题设，， ∵， ∴，得， 解得． 【小问2详解】 ∵，， ∴，且两向量有公共点A， ∴A、B、C三点共线． 16. 如图，在正方体中，E为的中点． （1）求证：平面； （2）若F为的中点，判断并证明平面和平面的位置关系． 【答案】（1）证明见解析； （2）平面平面，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接，交于，易得，再由线面平行的判定证明结论； （2）先证，利用线面平行的判定得平面，结合（1）及面面平行的判定证明面面平行. 【小问1详解】 连接，交于，连接，由正方体的结构易知为的中点， 又E为的中点，则，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 平面平面，证明如下： 由F为的中点，连接； E为的中点，易知， 所以为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面， 由（1）平面，且，平面， 所以平面平面. 17. 在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理计算可得； （2）利用正弦定理计算可得； （3）首先求出、、，再由两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 由余弦定理， 即，解得或（舍去）. 【小问2详解】 由（1）可得， 因，则，所以， 由正弦定理，即，解得； 【小问3详解】 由（2）可得， ， 显然，则， 所以 . 18. 在中，设所对的边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）等边三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解. （2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断. （3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式及正切函数的性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得， 因，则，则得， 而，所以. 【小问2详解】 在中，由及正弦定理，得， 故得，因，故得， 即为等边三角形. 【小问3详解】 由（1）知，， 因为锐角三角形，得，则， 由正弦定理，得， 所以. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求的解析式； （2）设常数，若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图得，由结合的取值范围求出，再由点求出，即得函数的解析式； （2）由，可得的范围，结合正弦函数单调性得出不等式组，求解即得； （3）令，则，由可得，令，，其中，利用对勾函数的性质求出在上的值域，即得的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，因为，，所以，则， 因为点是函数的图象在轴右侧第一个最高点， 所以，且，解得， 所以. 【小问2详解】 因为，， 当时，， 因为，当时，， 则函数在附近的单调递增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 令， 因为，则，可得， 所以， 且， 故，由可得， 可得， 令，则， 令，其中，则实数的取值范围即为函数在上的值域， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，，所以，函数在上的值域为， 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$