精品解析：山东省德州市齐河县2024-2025年学年下学期期中考试七年级数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试七年级数学试题 （120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法中正确的是（　　） A. 过一点有且只有一条直线平行于已知直线 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 C. 平移不改变图形的大小和形状 D. 不相交的两条直线叫做平行线 3. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（ ） A. B. C. D. 5. 数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 6. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 7. 如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（ ） A. 2 B. 或6 C. D. 2或 9. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线在水中的折射光线也是平行的．已知水面和杯底互相平行，若，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（ ） A. 9595 B. 9995 C. 9955 D. 5995 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 的平方根是_______． 14. 若与分别是某个正数的两个平方根，则这个正数是______． 15. 点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 16. 如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，B的位置分别表示为，，船C的位置应表示为______． 17. 如图，在三角形中，．将三角形沿射线方向平移，得对应三角形，若要使成立，则平移的距离是________． 18. 如图，直角和直角中，，，，点D在边上，将绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，边恰好与边平行． 三、解答题：解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 实数计算： （1）； （2）； 20. 解下列方程： （1） （2）； 21. 在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点分别是A(﹣3，﹣4)，B(2，﹣1)，C(﹣1，1)． （1）在所给的网格图中，画出这个平面直角坐标系； （2）点A经过平移后对应点为A1(﹣5，﹣1)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1． ①画出平移后的三角形A1B1C1； ②若BC边上一点P(x，y)经过上述平移后的对应点为P1，用含x，y的式子表示点P1的坐标；（直接写出结果即可） ③求三角形A1B1C1的面积． 22. 如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． （1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________． （2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． （3）若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． （1）_______，_____． （2）当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． （3）点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 24. 如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________； （2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试七年级数学试题 （120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 数(相邻两个1之间的0的个数逐渐加1)，中，无理数的个数为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，立方根．熟练掌握无理数，算术平方根，立方根是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，，， ∴，，，（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），，是无理数， 故选：A． 2. 下列说法中正确的是（　　） A. 过一点有且只有一条直线平行于已知直线 B. 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 C. 平移不改变图形的大小和形状 D. 不相交的两条直线叫做平行线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线公理，点到直线的距离，平移的性质，平行线的定义，熟记这些定理和定义是解决问题的关键． 根据应为过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；两条平行的直线被第三直线所截，同位角相等；同一平面内不重合的两条直线的位置关系；平行线的判定方法进行分析即可． 【详解】解：、过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线，原说法错误，故此选项不符合题意； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； C、平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，说法正确，故此选项符合题意； D、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 4. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的的值为时，输出的的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立方根，解答此类题目的关键是弄清题目中所给的运算程序．把﹣512按给出的程序逐步计算即可． 【详解】解：由题中所给的程序可知：把取立方根，结果为， 是有理数， 再取立方根为， 是有理数， 再取立方根为， 是无理数， 输出． 故选：D． 5. 数学活动中老师要求同学们利用三角板作已知直线的平行线，如图是甲同学和乙同学作图的过程，下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图， ， （内错角相等，两直线平行）； ， （同位角相等，两直线平行）； 故甲、乙都正确， 故选：A． 6. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在6和7之间． 故选：C． 7. 如果点在第一、三象限的角平分线上，那么点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等并列出方程是解题的关键． 根据第一、三象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等列方程求出m的值，再求出点N的坐标，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得， 所以，， ， 所以，点N的坐标为， 所以，点N在第四象限． 故选：D． 8. 点P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值（ ） A. 2 B. 或6 C. D. 2或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的特征，解题关键是明确到两坐标轴的距离相等的点的横纵坐标相等或互为相反数，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：P的坐标为，若点P到两坐标轴的距离相等， 则或， 解得，或， 故选：D． 9. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线在水中的折射光线也是平行的．已知水面和杯底互相平行，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数，牢记“两直线平行，同旁内角互补”和“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 【详解】解：水面和杯底互相平行， ， ． 水中的两条折射光线平行， ． 故选：B． 10. 已知实数，，在数轴上的对应点如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴上实数大小的比较等知识，掌握二次根式的性质是解题的关键；由数轴知，从而可确定的符号，由二次根式的性质及绝对值可化简． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ ； 故选：A． 11. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 12. 下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算：，，，，，，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出运算的结果为（ ） A. 9595 B. 9995 C. 9955 D. 5995 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根计算中的规律探究．根据已知计算，推出相应的计算规律，根据规律进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 13. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 14. 若与分别是某个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出a的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与分别是某个正数的两个平方根， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15. 点的坐标为，点的坐标为，若将线段平移至的位置，点的坐标为，点的坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，熟练掌握知识的应用是解题的关键． 由点的坐标为，的坐标为，点的坐标为， ，故有线段向上平移个单位，向右平移个单位至，则有，，求出的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为，点的坐标为， ， ∴线段向上平移个单位，向右平移个单位至， ∴，， 解得：， ， ∴， 故答案为：． 16. 如图，雷达探测器探测到三艘船A，B，C，按照目标表示方法的规定，B的位置分别表示为，，船C的位置应表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对种第一个数表示从内到外的圈数，第二个数表示对应线上的角度，据此可得答案 【详解】解：由题意得，船C的位置应表示为， 故答案为： 17. 如图，在三角形中，．将三角形沿射线方向平移，得对应三角形，若要使成立，则平移的距离是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．首先根据平移的性质可得，结合，求得，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，将三角形沿射线方向平移，得对应三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平移的距离是4． 故答案为：4． 18. 如图，直角和直角中，，，，点D在边上，将绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，边恰好与边平行． 【答案】20或56 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 作出图形，分①两三角形在点O的同侧时，设与相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角，再根据每秒旋转列式计算即可得解；②两三角形在点O的异侧时，延长与相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出，然后求出旋转角度数，再根据每秒旋转列式计算即可得解． 【详解】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设与相交于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转角， ∵每秒旋转， ∴时间为秒； ②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长与相交于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转角为， ∵每秒旋转， ∴时间为秒； 综上所述，在第20或56秒时，边恰好与边平行． 故答案为：20或56． 三、解答题：解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 实数计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可； （2）先计算乘法，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列方程： （1） （2）； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程，熟知求平方根的方法和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以，接着把方程两边同时开平方，进而解两个一元一次方程即可得到答案； （2）先把方程两边同时乘以2，再把方程两边同时开立方，进而解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或； 【小问2详解】 解；∵， ∴， ∴， ∴． 21. 在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC的三个顶点分别是A(﹣3，﹣4)，B(2，﹣1)，C(﹣1，1)． （1）在所给的网格图中，画出这个平面直角坐标系； （2）点A经过平移后对应点为A1(﹣5，﹣1)，将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1． ①画出平移后的三角形A1B1C1； ②若BC边上一点P(x，y)经过上述平移后的对应点为P1，用含x，y的式子表示点P1的坐标；（直接写出结果即可） ③求三角形A1B1C1的面积． 【答案】 （1）平面直角坐标系如图所示： （2）①如图，△A1B1C1为所作； ②(x﹣2，y＋3)；③9.5 【解析】 【分析】（1）利用点A、B的坐标确定x、y的位置，从而得到直角坐标系； （2）①利用点A、A1的坐标特征确定平移的方向和距离，再根据此平移的规律确定B1、C1的坐标，然后描点即可； ②利用①中的平移规律写出点P1的坐标； ③用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积． 【详解】（1）略 （2）①略 ②点P1的坐标为(x﹣2，y＋3)； ③三角形A1B1C1的面积＝5×5﹣×5×3﹣×2×3﹣×2×5＝9.5． 【点睛】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 22. 如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为． （1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为________，________． （2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形.请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，并说明理由． （3）若3是的一个平方根，的立方根是2，c为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示无理数、平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根以及图形面积公式，是解答本题的关键． （1）结合题干可知图中半圆的半径长为，结合数轴即可作答； （2）先求出大正方形的面积，再减去二个长方形的面积即可的中心小正方形的面积，问题随之得解； （3）先利用平方根和立方根的定义及无理数的估算求得a，b，c，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵小正方形边长为1， ∴由前面的拼图知，小正方形的对角线为． ∴． ∴A表示的数为，B表示的数为． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：∵大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， ∴小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． 【小问3详解】 解：∵，， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，点C在y轴上，且轴，a、b满足．一动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动（点P首次回到点O时停止运动），运动时间为t秒（）． （1）_______，_____． （2）当点P运动1秒时，点P的坐标为______；当点P运动3秒时，点P的坐标为______． （3）点P在运动过程中，是否存在点P，使的面积为6?如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出求解过程． 【答案】（1）3，5 （2）， （3） 分以下三种情况： 当点P在上时，设，则的底边，高为n， 的面积为，即， ； 当点P在上时，则的底边，高为5， 的面积为 这样的点P不存在； 当点P在上时，设，则的底边，高为m， 的面积为，即， ； 综上，存在点P，使的面积为6，点P的坐标为或． 【解析】 【分析】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、动点路程问题， （1）利用绝对值和完全平方式的非负性即可求得； （2）当点P运动1秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上，可写出的坐标；当运动3秒时，点运动了6个单位长度，根据，即可得点在线段上且，写出的坐标即可； （3）由得点可能运动到或或上．再分类讨论列出一元一次方程即可． 【小问1详解】 解：，且，， ∴，， ， 故答案为：3，5； 【小问2详解】 解：， ， ， 轴， C点、B点的纵坐标相等， ， ，， 当P运动1秒时，点P运动了个单位长度， ， 点P在线段上， ； 当点P运动3秒时，点P运动了个单位长度，点P在线段上， ， ， 点P的坐标是； 故答案为：，； 【小问3详解】 略 24. 如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段上，与交于点H，，． （1）试判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，得到，再证明，得到，则； （2）由三角形内角和定理得到，则，由平行线的性质得到，则，再由平角的定义可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；， ∴， ， ， ， ， ， ． 25. 在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________； （2）【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）35 （2） ， 理由如下：如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：过点作，如图1所示： 直线， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：35． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $