精品解析：安徽省蚌埠市第二中学2024-2025学年高三下学期5月最后一考数学试题

蚌埠二中2024-2025学年度高三第二学期5月最后一考 数学试题 命题人： 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的基本运算即可求解. 【详解】因为集合， 所以，. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法求出，然后求出模长. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 3. 若向量与的夹角为，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积求出后可得. 【详解】由题意得，, 故， 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式对进行化简，结合已知条件求解. 【详解】因为 ，所以， 因为 ，所以， 所以 ==. 故选：D. 5. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】通过对数函数的运算性质，求得，即可得出答案． 【详解】解：， ∴ 即 故选A. 【点睛】本题考查对数函数的运算性质，属于基础题． 6. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象平移规则得出的解析式，再由对称性及面积求得交点坐标，可得结果. 【详解】如图， 不妨取纵轴右侧的连续三个交点，周期也为，可得， 由面积为及对称性知，，进而， 代入结合，得. 故选：B 7. 设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且， 因为， 所以由余弦定理得， 即； 由，所以，； 设为准线与轴的交点，， 则，则. 故选：C. 8. 已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶函数的定义结合导数可得出，由已知可得出，可求出的表达式，利用导数分析函数的单调性，可知函数在上为减函数，再由可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则在上恒成立， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 即，解得或. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质可得的性质，故可得正确的选项. 【详解】因为，故，故A错误； 而，故不是偶函数，故B错误； 而， 故，故的图象关于点中心对称，故C正确； 设，则即， 故是上的增函数，故D正确； 故选：CD. 10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 数列是递减数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式及已知得，结合等差数列的前n项和公式、等差数列的定义和性质判断各项的正误. 【详解】设的公差为，又，则， 所以，即，A、B对； ，C错； 由，则， 所以数列是递减的等差数列，D对. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为1，点P是四边形内（含边界）任意一点，Q是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 当点P与点B不重合时， B. 当点P是的中点时，二面角的余弦值为 C. AQ与BC所成的角的正切值为 D. 当时，点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由平面即可判断；对于B，根据定义法即可求出；对于C，利用平移法即可求解；对于D，证明平面，则即为点的运动轨迹，即可求解． 【详解】如图所示， 对于A，根据正方体的几何性质，易得平面，又因为平面， 故，故A对； 对于B，当点为中点时，，且， 所以二面角的平面角为，连接，又， 故所求二面角的余弦值为 ，故B错； 对于C，因为，所以与所成角即为与所成角，即为（或其补角）， 连接，在等腰三角形中，为底边中点，所以 ， 所以与所成角的正切值为，故C对； 对于D，点为 中点，所以，又因为 所以平面， 即点在线段上运动时，，所以点的轨迹长为，故D对． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，得到，再结合分段函数讨论求解即可. 【详解】设，，， 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，； 当时，，，无解，不符合题意； 当时，，． 故答案为： 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，根据点在渐近线上可得，求出后可得标准方程. 【详解】设半焦距为， 因为，故， 故，而渐近线方程为，故， 而，故，故双曲线的标准方程为：. 故答案为： 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数. 【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种； 第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况： 男男男：种； 女男男：种； 男女男：种； 女女男：种； 所以，第三次取出为男生的方法数： ， 综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率， 所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率， 则，即，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）由正弦定理求出，再由余弦定理及求出、，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为 由正弦定理得． 所以， 因为，所以． 所以． 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为外接圆半径为， 由正弦定理得，由（1）知，即，所以， 由余弦定理得，所以， 因为，代入上式得． 因为，所以，则，所以． 16. 如图所示，在四棱锥中，，平面PAB，，E为线段PB的中点 （1）证明：平面PDC； （2）求直线DE与平面PDC所成角的正弦值. 【答案】16. 证明如下： 如图所示，取PC的中点F，连接DF，EF，因为E为线段PB的中点， ∴，且， ∵，∴且， ∴四边形EFDA为平行四边形 ∴，又平面PDC，平面PDC， ∴平面PDC 17. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行。 （2）建立适当的空间直角坐标系，利用法向量求解。 【详解】证明：（1）略 （2）（方法一）∵，平面PAB，平面PAB， 由题意知为等边三角形， 以A为坐标原点，如图建系 ，，，，，， ，，， 设平面PDC的法向量为，则, 令，则 设直线DE与平面PDC所成角为，, 即直线DE与平面PDC所成角的正弦值为 （方法二）∵为等边三角形，E为线段PB的中点，∴ ∵平面PAB，∴，，平面PBC， ∵，平面PBC， 平面PDC，平面平面PBC 过E点作于H，连接DH，则平面PDC， ∴即为直线DE与平面PDC所成角，易得，， 在中， ∴直线DE与平面PDC所成角的正弦值为 【点睛】本题考查线面平行的证明，以及求线面角的正弦值，属于中档题。 17. 已知函数． （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减． （2）1． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）求出，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由条件， 则， 由，所以， 令，则，得或， 令，则，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 又，所以， ， 所以在上单调递增，， 由题意，，解得， 所以a的最小值为1． 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】（1） （2） 易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到，将代入椭圆方程，待定系数法求出椭圆方程； （2）设直线AB的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据点B，P，D共线，得到方程，求出，得到，，而，所以，可得，而，故，又，所以，得到答案. 【小问1详解】 由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知集合，对于给定的正整数a，将集合M中的所有元素按从小到大的顺序构成一个数列． （1）若，写出所有的集合M； （2）当时，若构成等比数列，求证：数列是等比数列； （3）当时，记，求证：． 【答案】（1）当时，；当时，； 当时，． （2）由题意，， 则， 化简得，， 由，所以，即是完全平方数， 设，则，而，所以，即， 所以构成首项为，公比为的等比数列， 则， 所以， 即， 所以，经检验，当时也成立， 故，则，数列是等比数列． （3）由题意，， 则， 而， 所以 ， 而，所以． 【解析】 【分析】（1）按照集合的定义即可得解； （2）结合集合的性质以及等比数列的定义即可得证； （3）由题意，通过放缩裂项求和即可得证. 【小问1详解】 当时，；当时，； 当时，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠二中2024-2025学年度高三第二学期5月最后一考 数学试题 命题人： 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项：回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则（ ） A. B. 5 C. D. 3. 若向量与的夹角为，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到线性回归方程，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是增函数 10. 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 数列是递减数列 11. 已知正方体的棱长为1，点P是四边形内（含边界）任意一点，Q是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 当点P与点B不重合时， B. 当点P是的中点时，二面角的余弦值为 C. AQ与BC所成的角的正切值为 D. 当时，点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则_____． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线C的渐近线上，且，则双曲线C的标准方程为_________． 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若外接圆的半径为，且，求的面积． 16. 如图所示，在四棱锥中，，平面PAB，，E为线段PB的中点 （1）证明：平面PDC； （2）求直线DE与平面PDC所成角的正弦值. 17. 已知函数． （1）若，讨论函数在的单调性； （2）若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 19. 已知集合，对于给定的正整数a，将集合M中的所有元素按从小到大的顺序构成一个数列． （1）若，写出所有的集合M； （2）当时，若构成等比数列，求证：数列是等比数列； （3）当时，记，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $