精品解析：河南省三门峡市灵宝市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

灵宝市2024-2025学年下期期中学情调研八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念一一判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，不是同类二次根式，无法合并，计算错误. 故选：B. 3. 下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式和最简二次根式的化简，把各项都化成最简二次根式，根据被开方数相同的可以合并即可解答． 【详解】，，，，所以与可以合并， 故选：A． 4. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：∵正方形小方格边长为1， ∴BC＝＝5，AC＝＝，AB＝＝， 在△ABC中，∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2＋b2＝c2，则三角形ABC是直角三角形． 5. 若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，利用菱形的性质得到AB＝4，利用正弦的定义得到∠B＝30°，则∠C＝150°，从而得到∠C：∠B的比值． 【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2， ∵菱形的周长为16， ∴AB＝4， 在Rt△ABH中，sinB＝＝， ∴∠B＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝150°， ∴∠C：∠B＝5：1． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了正弦的定义及应用． 6. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，由题意知：竹子折断前直立于地面，竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 依题意，得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺． 故选：C． 7. 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，根据勾股定理可求的值即可求解． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为和，斜边为，那么．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 8. 海伦–秦九韶公式告诉我们，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦–秦九韶公式计算的面积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解∶由题意得， 故选∶C． 9. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 10. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断，即可求解 【详解】解：A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故A正确； B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故B正确； C．当E，F，G，H不是各边中点时，EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH为平行四边形，故C正确； D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可能为菱形，故D错误； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在二次根式中，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得：2x＋4≥0，再解不等式即可． 【详解】由题意得：2x＋4≥0， 解得： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或##或4 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 13. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 【答案】2.6米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解并掌握勾股定理是解决问题的关键．过点作于点，可得，，，再根据勾股定理求解即可 【详解】解：如图，过点作于点， 则米，米， 米， （米． 所以此时牵狗绳的长为2.6米． 故答案为：2.6米． 14. 如图，在中，，分别是的中点，，是线段上一点，连接，，．若，则的长度是___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴． 故答案为：8． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴； 如图2，当时， ∵将沿翻折，得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，E，F三点共线，即点F在上，此时点M与点F重合， ∵， ∴， ∴． 综上，的长为2或6． 三、解答下列各题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）运用乘法分配律，以及二次根式的乘法法则计算即可； （2）运用二次根式的除法法则，平方差公式的计算，依次计算即可． 【小问1详解】 解：原式= = = =1 【小问2详解】 解：原式= = = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键． 17. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 【答案】（1）12 （2）4 【解析】 【分析】（1）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案； （2）先因式分解，再把，代入计算，即可得到答案 . 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解： . 【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算． 18. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ，． 四边形是平行四边形． ， ． 四边形是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质以及，容易得到EF=AD，，从而得到四边形是平行四边形，然后再根据一个角是直角即可得到四边形是矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 19. 如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的大矩形，其中小矩形的长为2，宽为1，请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，画出一个面积为5的正方形； （2）在图2中，画出一个面积为4的非特殊的平行四边形． 【答案】 （1）正方形ABCD即为所求： （2）平行四边形EFGH即为所求： ． 【解析】 【分析】（1）直接利用正方形的判定方法得出答案； （2）直接利用平行四边形的判定方法得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查应用设计与作图，正确掌握平行四边形以及正方形的判定方法是解题关键． 20. 已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】 解：猜想，， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴且， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质． 由四边形是平行四边形，即可得，然后利用平行线的性质，求得，又由，即可证得，继而可得、即，可得，可得四边形是平行四边形，从而可得结论． 【详解】略 21. 现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长，如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从高处救人，然后前进到B处从高处救人．（精确到，参考数据：，，） （1）求消防车在A处到楼房的距离（的长度）； （2）求消防车两次救援移动的距离（的长度）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意是解答的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理求得，进而可求解． 【小问1详解】 解：由题意，，，，，， ∴在中，， 则， 答：消防车在A处到楼房的距离为； 【小问2详解】 解：由题意，在中，，， ∴， ∴， 答：消防车两次救援移动的距离约为． 22. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE ∵AFBC， ∴∠AFE=∠DCE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵D是BC的中点， ∴CD=BD， ∴AF=BD， ∴四边形ADBF是平行四边形， ∵∠BAC=90°， ∵D是BC的中点， ∴AD=BD=BC， ∴四边形ADBF是菱形； （2）10 【解析】 【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论； （2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接DF交AB于O，如图 由（1）知：四边形ADBF是菱形， ∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40， ∴=40， ∴DF=10， ∴OD=5， ∵四边形ADBF是菱形， ∴O是AB的中点, ∵D是BC的中点， ∴OD是△BAC的中位线， ∴AC=2OD=2×5=10． 答：AC的长为10． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 23. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 【答案】 （1）证明： 即 （2）；（3）6 【解析】 【分析】（1）根据正方形的面积公式证明解答即可； （2）根据勾股定理和三角形面积公式解答即可； （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为，根据题意得出方程解答即可． 【详解】（1）略 （2） 设，则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： （3）设正方形的面积为，设其他八个全等的三角形每个的面积为 ，， 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是根据面积公式和勾股定理解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灵宝市2024-2025学年下期期中学情调研八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（） A. B. C. D. 4. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 5. 若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度为（　　） A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 7. 如图，，与按如图方式拼接在一起，，，，则的值为( ) A. B. C. D. 8. 海伦–秦九韶公式告诉我们，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦–秦九韶公式计算的面积为（） A. B. C. D. 9. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 10. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（ ） A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形 B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在二次根式中，的取值范围是__________． 12. 已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 13. 如图，一天傍晚，小方和家人去小区遛狗，小方观察发现，她站直身体时，牵绳的手离地面高度为米，小狗的高米，小狗与小方的距离米．（绳子一直是直的）牵狗绳的长 __________． 14. 如图，在中，，分别是的中点，，是线段上一点，连接，，．若，则的长度是___________． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 三、解答下列各题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 已知：a＝﹣2，b＝+2，分别求下列代数式的值： （1）a2+2ab+b2 （2）a2b﹣ab2． 18. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接．求证：四边形是矩形． 19. 如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的大矩形，其中小矩形的长为2，宽为1，请用无刻度的直尺在矩形中完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，画出一个面积为5的正方形； （2）在图2中，画出一个面积为4的非特殊的平行四边形． 20. 已知：如图，在中，、是对角线上的两点，且．请判断与的关系，并说明理由． 21. 现有一楼房发生火灾，消防员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长，如图所示，消防员先在A处架云梯，完成从高处救人，然后前进到B处从高处救人．（精确到，参考数据：，，） （1）求消防车在A处到楼房的距离（的长度）； （2）求消防车两次救援移动的距离（的长度）． 22. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长． 23. 用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形．它是美丽的弦图．其中四个直角三角形的直角边长分别为a，b（a＜b），斜边长为c． （1）结合图①，说明：a2+b2＝c2； （2）如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形ABCDEFGH．若该图形的周长为24，OH＝3，求该图形的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接成正方形PQMN，记正方形PQMN、正方形ABCD、正方形EFGH的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝18，则S2＝　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $