2026届高中数学思想方法大合集-导数的四则运算 讲义

公式定理84  导数的四则运算法则 【地位作用】导数的四则运算法则在微积分领域中占据着举足轻重的地位，为我们在面对复杂函数求导时提供了一套清晰而实用的操作指南． 【内容展示】导数的四则运算法则：一般地，对于两个函数和的和、差、积、商的导数，有如下法则． 法则1：； 法则2：； 法则3：（）． 【证明过程】 对于法则1，只证明加法法则： ． 对于法则2： ． 对于法则3： 【内涵外延】 （1）法则1中的减法运算法则通过类比加法运算法则的证明方法即可证明． （2）因为，因此法则3的证明可以类比法则2的证明，由同学们自行完成． （3）在法则2中取（常数），可得． 灵活应用一 导数的四则运算法则的正用 典例1 函数的导数是______． 【详细解析】由导数四则运算法则有 ． 【题后反思】求解函数的导数时，应根据法则逐步进行，不跳步，以确保计算的准确性和完整性． 【举一反三】 1．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】求导可得，令运算即可. 【详解】因为，则， 令，可得，解得. 故选：B. 灵活应用二 导数的四则运算法则的逆用 典例2  已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，且，则的解析式为______． 【详细解析】由得， 逆向使用导数乘法运算法则有． 令（为常数），即． 又由解得，故． 【题后反思】在解决此类问题时，一个常见且有效的方法是构造辅助函数，然后对这个辅助函数进行研究． 【举一反三】 2．函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，构造，易得，结合已知进一步得到，根据其导数求其最小值. 【详解】由题设，可得， 令，则，故， 所以，其中为常数，又，则， 所以，故，则， 而，定义域为， 当时，，故在上递减， 当时，，故在上递增， 所以的极小值，也是最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据已知得到，结合形式构造为关键. 灵活应用三 导数的四则运算法则的灵活用 典例3  已知，，是函数的三个零点（，），是否存在实数，使得成立？说明理由． 【详细解析】因为函数有3个零点，所以设， 则， 所以，，． 若有，则，则． 公式定理导引 设，，（）， 则． 由得，即，这与矛盾，所以不成立． 【题后反思】利用函数的零点，设出函数解析式后求导，起到简化运算的作用，感兴趣的同学可思考次多项式的情形． 【举一反三】 3．已知数列中，，若函数的导数为，则 . 【答案】64 【分析】降次作商得到，并验证时的情况，设，则，两边同时求导，最后代入数据即可. 【详解】因为， 所以，当时，， 所以. 因为也满足，所以. 令， 则，， 所以. 故答案为：64. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数，将问题转化为，从而得解. 灵活应用四 导数的四则运算法则的综合用 典例4  已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ） A．0    B．1    C．    D．2 【详细解析】因为，两边同时求导可得：， 又，即，可得关于对称， 对两边同时求导可得，则关于对称； 又为奇函数，则，求导可得， 所以关于对称，同时，则关于对称， 由关于对称得，， 由关于对称得，， 故，可得， 所以，故的周期为6； 同理的周期也为6， 因此， 由可知，令可得； 由关于对称，可得； 所以 故选：D． 【题后反思】在求解抽象函数的函数值时，若自变量较大可考虑是周期函数．再根据函数满足的表达式经常利用函数的对称性、奇偶性、周期性的综合变换实现问题求解． 【举一反三】 4．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用的图象关于点对称，可知函数为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项去逐一分析. 【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，即函数为奇函数，则，又， 所以，所以， 所以，所以， 所以，即，所以3是的一个周期. 因为，故C正确； 取符合题意的函数，则 所以，又，故2不是的一个周期，所以，故B不正确； 因为不是函数的最值，所以函数的图象不关于直线对称， 所以，故A不正确； 因为，故D不正确； 故选：C. （公式正用） 5．已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】化简，令，判断该函数的奇偶性，结合奇偶性以及，求得，根据复合函数求导法则得，进而得，即，即可得解. 【详解】因为， 令，则， 又因为，所以函数为奇函数， 所以，所以； 因为，所以，即， 又，所以，所以， 所以． 故选：D （公式逆用） 6．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案. 【详解】令 ①,则 ， ∵， ∴ ， 即 ， ∴（c为常数）②， 由①②知， ， ∴ ，又， ∴ ，即 ， ， 不等式 即， ∴ 或， 即不等式的解集为， 故选：A. （公式灵活用） 7．定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（   ） A．8 B．28 C．56 D．70 【答案】C 【分析】先写出的表达式，归纳分析可知，求，展开式有项，且每项的系数是组合数，由此可得出答案. 【详解】由，可得， 所以， 所以， 由此可归纳出求，求8阶导，展开式有9项，且每项的系数是组合数， 所以的展开式中的系数是. 故选：C. （公式正用） 8．已知函数，，则的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出，，得到不等式，结合函数定义域，解出. 【详解】因为，定义域为，，定义域为， 所以，， 则，即，解得. 故选：A. （公式灵活用） 9．已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（   ） A． B． C． D．28 【答案】C 【分析】由题可得，赋值计算可得为等差数列，可求得，由题可得 ，化简可得，根据，采用赋值计算可得，最后计算求解即可. 【详解】由，求导得， 又，所以， 令得， 又，所以， 又，所以， 又，所以. 综上，是以为首项，为公差的等差数列， 所以； 由，易得， 又，所以，即， 因为，， 所以，，，， ，，， 即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：由，求导得，根据得，采用赋值计算可判断是等差数列，由，可知其原函数为，根据得，根据，，采用赋值计算即可求解. （公式综合用） 10．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件应用赋值法计算判断A，求已知等式的导数结合对称性定义判断B，应用函数的对称性赋值化简得出函数的周期再应用周期性求出函数值判断C，D. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以，取可得，A正确． 对于B，因为，所以， 所以．又， 故，所以函数的图象关于点对称，B错误． 对于D，因为，所以， 所以为常数． 因为，所以， 所以，取可得，所以． 又，所以，所以， 所以，故函数为周期为4的函数． 因为，所以， 所以， 所以，D正确． 对于C，因为，所以，所以， 故函数为周期为4的函数，， 所以函数为周期为4的函数，又， 所以， 所以，C正确． 故选：B. （公式综合用） 11．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合四则运算的求导法则，构造单调函数，再利用所给的奇函数得到，最后由不等式得到的两个函数值的大小，最后结合单调性解函数不等式即可. 【详解】因为对任意都有，即， 令，则， 即在上单调递增， 又因为为奇函数， 所以，则， 而不等式等价于， 即，又因为在上单调递增，所以. 故选： （公式综合用） 12．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中不一定正确的是（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．函数是周期函数 D． 【答案】A 【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由，故为奇函数， 若为偶函数，则，与条件不符，故A错误； 对B：由，则， 又，即， 即，又定义在上， 故为奇函数，故B正确； 对C：由，，， 所以，则， 所以，， 所以，所以， 则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确； 对D：由是周期函数的周期函数， 由，令，则，即， 令，则，即， 由，， 则，则关于对称，则关于对称， 又为奇函数，即关于中心对称， 故关于对称，则， 则，故D正确. 故选：A. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. （公式灵活用） 13．设是常数，对于，都有，则（    ） A．2019 B．2020 C．2019! D．2020! 【答案】A 【分析】先令，求得的值，再将给定的恒等式两边求关于的导数，然后令，从而可得所求的值. 【详解】因为，令可得， 对两边关于求导得， ， 令，则， 所以， 所以， 故， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解. （公式灵活用） 14．设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将变形为，从而可构造函数，判断其单调性以及奇偶性，由此代入数值，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】当时，有，即， 令，则， 即在上单调递增， 又为偶函数，则，即为偶函数， 故，即， 即，故A错误，C正确； 由，即，即，B错误； 而，故，则不一定成立，D错误， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据已知不等式的结构特征，进行变形，从而构造出函数，进而判断其单调性，即可解决问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理84  导数的四则运算法则 【地位作用】导数的四则运算法则在微积分领域中占据着举足轻重的地位，为我们在面对复杂函数求导时提供了一套清晰而实用的操作指南． 【内容展示】导数的四则运算法则：一般地，对于两个函数和的和、差、积、商的导数，有如下法则． 法则1：； 法则2：； 法则3：（）． 【证明过程】 对于法则1，只证明加法法则： ． 对于法则2： ． 对于法则3： 【内涵外延】 （1）法则1中的减法运算法则通过类比加法运算法则的证明方法即可证明． （2）因为，因此法则3的证明可以类比法则2的证明，由同学们自行完成． （3）在法则2中取（常数），可得． 灵活应用一 导数的四则运算法则的正用 典例1 函数的导数是______． 【详细解析】由导数四则运算法则有 ． 【题后反思】求解函数的导数时，应根据法则逐步进行，不跳步，以确保计算的准确性和完整性． 【举一反三】 1．已知函数的导函数为，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 灵活应用二 导数的四则运算法则的逆用 典例2  已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，且，则的解析式为______． 【详细解析】由得， 逆向使用导数乘法运算法则有． 令（为常数），即． 又由解得，故． 【题后反思】在解决此类问题时，一个常见且有效的方法是构造辅助函数，然后对这个辅助函数进行研究． 【举一反三】 2．函数的定义域为，为的导函数，满足，，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 灵活应用三 导数的四则运算法则的灵活用 典例3  已知，，是函数的三个零点（，），是否存在实数，使得成立？说明理由． 【详细解析】因为函数有3个零点，所以设， 则， 所以，，． 若有，则，则． 公式定理导引 设，，（）， 则． 由得，即，这与矛盾，所以不成立． 【题后反思】利用函数的零点，设出函数解析式后求导，起到简化运算的作用，感兴趣的同学可思考次多项式的情形． 【举一反三】 3．已知数列中，，若函数的导数为，则 . 灵活应用四 导数的四则运算法则的综合用 典例4  已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ） A．0    B．1    C．    D．2 【详细解析】因为，两边同时求导可得：， 又，即，可得关于对称， 对两边同时求导可得，则关于对称； 又为奇函数，则，求导可得， 所以关于对称，同时，则关于对称， 由关于对称得，， 由关于对称得，， 故，可得， 所以，故的周期为6； 同理的周期也为6， 因此， 由可知，令可得； 由关于对称，可得； 所以 故选：D． 【题后反思】在求解抽象函数的函数值时，若自变量较大可考虑是周期函数．再根据函数满足的表达式经常利用函数的对称性、奇偶性、周期性的综合变换实现问题求解． 【举一反三】 4．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若的图象关于点对称，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． （公式正用） 5．已知函数，其导函数记为，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 （公式逆用） 6．已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． （公式灵活用） 7．定义：为函数的n阶导数，即对函数连续求n阶导数．例如，则，，，，…，若，则的展开式中的系数是（   ） A．8 B．28 C．56 D．70 （公式正用） 8．已知函数，，则的解集为 （    ） A． B． C． D． （公式灵活用） 9．已知函数的导函数为，和的定义域均为，若，，，，则（   ） A． B． C． D．28 （公式综合用） 10．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中不正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C． D． （公式综合用） 11．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （公式综合用） 12．定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中不一定正确的是（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．函数是周期函数 D． （公式灵活用） 13．设是常数，对于，都有，则（    ） A．2019 B．2020 C．2019! D．2020! （公式灵活用） 14．设偶函数在上的导函数为，当时，有，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$