精品解析：2025年广西初中学业水平模拟卷（二）数学试卷

2025年广西初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 （全卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可． 【详解】解：2025的倒数是， 故选：B． 2. 下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，则此项符合题意； B、不是轴对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，则此项不符合题意； D、不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 3. 一个正方体的表面展开图如右图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与面“试”相对，面“祝”与面“顺”相对，“考”与面“利”相对． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题是解题的关键． 4. 金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的性质：两点之间，线段最短，由线段的性质即可得到答案． 【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故选：B． 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 6. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图可得，成活概率在上下波动，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率稳定在，故这种树苗移植成活的概率约为， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，采用数形结合的方法是解此题的关键． 7. 计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键． 利用同分母分式的减法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 8. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 9. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的计算公式，平均数，中位数，样本容量，权数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据可得出样本容量，平均数，中位数，权数的信息，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A. 样本容量是，正确，故该选项不符合题意； B. 平均数是，正确，故该选项不符合题意； C. 数据从小到大排列，第五和第六个数是，， 中位数是， 故该选项错误，符合题意； D. 的权数是，正确，故该选项不符合题意； 故选：C ． 10. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 11. 小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间（分）之间的函数关系对应的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据洗涤衣服时经历的三个阶段洗衣机内的水量的变化情况，分析得到水量与时间的函数图象． 【详解】解：注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多；清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间；排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0；如图所示： 故选：C． 12. 《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，解得x，y的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意可得等量关系：①大马数+小马数；②大马拉瓦数+小马拉瓦数，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得： ； 解得； 故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上） 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．直接提公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为： 14. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】（1，-3） 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，-3）， 故答案为：（1，-3）． 【点睛】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律． 15. 如图所示，将三个数，，表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴表示解集，无理数的估值．由数轴先确定解集，再确定每个无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，解集为， ∵，，， ∴被图中表示的解集包含的数是． 故答案为： 16. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴C在⊙B上，且半径为1， 取OD＝OA＝2，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OMCD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴BD＝2， ∴CD＝21， ∴OMCD， 即OM的最大值为； 故答案为． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的关键，也是难点． 三、解答题（本大题共7题，共72分，请将解答过程写在答题卡上） 17. 对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得， 第一步 ， 第二步 ． 第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解． 第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： （1）小叶的解法从第_______步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； 【小问2详解】 略 18. 如图所示，中，． （1）尺规作图：作 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形 是矩形． 【答案】（1） 如图所示，线段为所求； （2） 证明：∵点是 的中点， ， ， ∴四边形 是平行四边形， ， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（）作 的垂直平分线，垂足为点，连接，则线段即为所求； （）由对角线互相平分的四边形可得四边形 是平行四边形，进而由即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的作法，平行四边形的判定，矩形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校组织“诗词大会”比赛，其中一个环节的题目涵盖“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”四大类（分别写在4张卡片上），一位比赛选手随机抽取一张卡片，记下题目类别后，放回洗匀后由下一位选手抽取． （1）求甲选手抽到“婉约”的概率； （2）用画树状图或列表的方法求乙、丙两位选手抽到同类别题目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，用列表法或或树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）用概率公式计算即可； （2）画树状图，得到共有种等可能的结果，其中乙、丙两位选手抽到同类别题目的结果有种，用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：题目涵盖“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”四大类， 甲选手抽到“婉约”的概率为； 【小问2详解】 解：设“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”分别为A、B、C、D， 画树状图如下， 根据树状图得得到共有种等可能的结果，其中乙、丙两位选手抽到同类别题目的结果有种， 乙、丙两位选手抽到同类别题目的概率为． 20. 综合与实践 【问题背景】小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． 【初步探究】 （1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且，．求该介质的折射率； 【解决问题】 （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2所示，已知，，求截面的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了新定义——光介质的折射率，熟练掌握新定义，正弦定义，正切定义，勾股定理，是解题的关键． （1）根据，，折射率定义可解答． （2）由题意可得，折射率为，得，可得，得，，即得截面 的面积为：． 【详解】解：（1）， ， 折射率为：． （2）由题意可得，折射率为， ， ， 四边形 是矩形，点是 中点， ， 又， ， 在中， 设， 则， 由勾股定理得，， ， ， ， 截面 的面积为：． 21. 如图所示，在 中，，平分，交 于点O．以O为圆心，为半径作，分别交， 于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）延长交于点D，连接，，若，，求的值． 【答案】（1）证明：作于点，如图， ∴， 平分， ， 是 的半径， 点在 上， 是 的半径，且于点， 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，根据角平分线和垂直即可得，结合是 的半径，点在 上，且即可证明切线； （2）根据直径所对的圆周角为直角得，即可证明，则有，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是 的直径， ， ， ， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， 则的值为． 【点睛】本题主要考查圆和三角形的综合，涉及角平分线的性质、证明切线、直径所对的圆周角为直角、相似三角形的判定和性质和解直角三角形，解题的关键是熟悉圆的性质和相似三角形的性质． 22. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为 时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底 的中点F为原点O，以为x轴， 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 【答案】问题1：；问题2：；问题3： 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题． 问题1：本题建立以碗底 的中点F为原点O，以为x轴， 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出 、、的坐标，再利用待定系数法求解即可． 问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解． 问题3：本题仍建立以 为轴， 的垂直平分线为轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点的坐标，再利用待定系数法给出直线解析式，通过直线和抛物线求得交点的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题． 【详解】问题1： 解：以碗底 的中点F为原点O，以为x轴， 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， ，， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 将点代入解析式，有，解得， 抛物线解析式为． 问题2： 解：碗中液面高度（离桌面距离）为，， 这时液面的纵坐标为， 当时，有，解得，， 则液面宽度为．　 问题3： 解：以 为轴， 的垂直平分线为轴建立直角坐标系，倾斜后如图所示，记轴交于点，交 于点， 由题知，，， 轴， 又， ∴， ， ∴ ， 设直线的解析式为， 则，解得， ， 联立方程组， 解得或（舍）， ， ． 23. 探究与证明 【问题背景】在四边形 中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交 延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接 ． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形 是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在 中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形 是菱形，连接，当且时，求的值． 【答案】（1）证明：如图， ∵四边形 是正方形， ∴， ∵ ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）4； （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，得到，即，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则，得到根据相似三角形的性质得到，根据平行线分线段成比例定理得到，同理得得到求得 计算即可； （3）连接 交 于G，根据等腰三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，设，结合三角函数的定义和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）如图，过点A作轴于E，作轴于F，过点 D作轴于G，作轴于H，则， ∵ ， ∴ ∴ ∴， 即， ， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴ 同理 ∵， ∴； （3）如图，连接 交 于G， ∵， ， ∵四边形 是菱形， ∴ ∵ ， ∴， ∴ 设， 在中， ∴ ∴ ， ∴ 由(1)知， ∴ ∵， ， 故答案为：1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广西初中学业水平考试模拟卷（二） 数学 （全卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的表面展开图如右图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 4. 金秋十月，小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 5. 若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 6. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果等于（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（ ） A. B. C. D. 9. 随机抽取一组数据，根据方差公式得：，则关于抽取的这组数据，下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是 B. 平均数是 C. 中位数是 D. 的权数是 10. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 11. 小花用洗衣机在洗涤衣服时经历三个连续过程：注水、清洗、排水．若洗衣服前洗衣机内无水，清洗时停止注水，则在这三个过程中洗衣机内水量（升）与时间 （分）之间的函数关系对应的图象大致为（ ） A. B. C. D. 12. 《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，解得x，y的值分别是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分，请将答案填在答题卡上） 13. 因式分解：________． 14. 平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 15. 如图所示，将三个数，，表示在数轴上，则被图中表示的解集包含的数是_______． 16. 如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为__． 三、解答题（本大题共7题，共72分，请将解答过程写在答题卡上） 17. 对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得， 第一步 ， 第二步 ． 第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解． 第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： （1）小叶的解法从第_______步开始出现错误； （2）请写出正确的解答过程． 18. 如图所示，中，． （1）尺规作图：作 边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（ ）所作的图中，延长至点，使，连接，求证：四边形是矩形． 19. 为弘扬中华优秀传统文化，某校组织“诗词大会”比赛，其中一个环节的题目涵盖“豪放”“婉约”“咏物”“咏怀”四大类（分别写在4张卡片上），一位比赛选手随机抽取一张卡片，记下题目类别后，放回洗匀后由下一位选手抽取． （1）求甲选手抽到“婉约”的概率； （2）用画树状图或列表的方法求乙、丙两位选手抽到同类别题目的概率． 20. 综合与实践 【问题背景】小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征． 【初步探究】 （1）若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且，．求该介质的折射率； 【解决问题】 （2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图1所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出，如图2所示，已知，，求截面的面积． 21. 如图所示，在 中，，平分，交于点O．以O为圆心，为半径作，分别交，于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）延长交于点D，连接，，若，，求的值． 22. 中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习： 【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题解决 问题1 如右图，以碗底的中点F为原点O，以为x轴，的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为 ，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度______． 23. 探究与证明 【问题背景】在四边形中，（E，F分别为边上的动点），的延长线交延长线于点M，的延长线交延长线于点N，连接 ． 【构建联系】 （1）如图1，若四边形是正方形，求证：； （2）如图2所示平面直角坐标系，在 中，，点A坐标为，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数图象经过BC上的点D，且，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形是菱形，连接，当且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $