精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州花垣县2025-2026学年八年级下学期期末检测数学试卷

花垣县2026年度春季期末质量检测卷 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 5. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某天小外同学骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续前行，仍按时赶到学校，如图是小外离家的距离s（米）与时间t（分）之间的关系，下列说法错误的是（ ） A. 小外修车前的平均速度是100米/分 B. 小外修车后的平均速度是250米/分 C. 小外从家出发到学校共用了20分钟 D. 小外修车用了5分钟 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴 8. 关于一次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与y轴交于点 B. 该函数图象经过点 C. 该函数图象经过第一、二、三象限 D. 随着自变量x的增大，函数值y逐渐增大 9. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 10. 勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、填空题（共6小题，每个小题3分，共18分．） 11. 已知点，在函数的图像上，则_________． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 13. 甲、乙、丙三人在射击队内测试中，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）都是9，方差（单位：环²）分别是，则三人中成绩最稳定的是_____． 14. 一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是________． 15. 如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 16. 已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 三、解答题（共8小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： ． 18. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 19. 学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） … 0 1 2 3 4 5 … 气温 … 20 14 8 2 … （1）由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度． （2）当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？ （3）某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 20. 已知一次函数图象经过点两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点． （1）求此一次函数解析式． （2）求 的面积． 21. 在刚刚结束的2026年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中，国乒女队七连冠、男队十二连冠，双双卫冕夺冠．中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮，该校为了解学生排球垫球水平，体育老师在全校学生中随机抽取了部分学生，测试了这些学生一分钟垫球数量，用x（单位：个）表示，分为四个组别：A．；B．；C．；D．，对收集到的数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：将所抽取学生一分钟垫球数量的样本数据整理如表： 组别 一分钟垫球数量（x/个） 人数（人） A m B 16 C 16 D 10 信息二：D组学生一分钟垫球数量如下：30，30，30，35，35，35，35，40，40，40． 信息三：根据样本数据绘制了如图所示的扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中_________，D组学生一分钟垫球数量的中位数是_________个、众数是_________个； （2）求D组学生一分钟垫球数量的平均数； （3）若要测试全校1000名学生一分钟垫球数量，请估计其中一分钟垫球数量不低于30个的学生人数． 22. 五一假期，数学兴趣小组的同学来到湛江渔港公园放风筝．他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识解决实际问题．小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米）根据以上信息，解决下列问题： （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 23. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的单价； （2）超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 24. 在中，，，点为直线上的一个动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）【观察猜想】如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系为______________； ②，，之间的数量关系为______________； （2）【数学思考】如图2，当点在射线上时，，，之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）【拓展延伸】如图3，当点在射线上时，延长交于点，连接．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 花垣县2026年度春季期末质量检测卷 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】选项A，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项B，的被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项C，，被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； 选项D，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故符合题意． 2. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 6、8、10 D. 5、12、13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，不能作为直角三角形三边长度，故此选项符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意； C、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，能作为直角三角形三边长度，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4. 当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念．某科技公司对员工进行调查发现，使用“”“”“豆包”“”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（ ） A. 24 B. 26 C. 29 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为24，26，29，30，30，处在第三名的是29， ∴这组数据的中位数是29， 故选：C． 5. 如图，在中，是延长线上的一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形，邻补角．解题的关键是熟练掌握平行四边形性质，邻补角性质． 根据平行四边形对角相等，求出，再根据邻补角的定义求出即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 某天小外同学骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续前行，仍按时赶到学校，如图是小外离家的距离s（米）与时间t（分）之间的关系，下列说法错误的是（ ） A. 小外修车前的平均速度是100米/分 B. 小外修车后的平均速度是250米/分 C. 小外从家出发到学校共用了20分钟 D. 小外修车用了5分钟 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象及选项描述的内容，依次进行判断即可． 【详解】解：A、小外修车前的平均速度，1000÷10=100（米/分），选项说法正确，不符合题意； B、小外修车后的平均速度，（2000-1000）÷（20-15）=200（米/分），选项说法错误，符合题意； C、小外从家出发到学校共用了20分钟，选项说法正确，不符合题意； D、小外修车用了15-10=5分钟，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了与行程问题相关的，函数图象分析，正确理解图象表达的意义是解题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的判定和菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形，故选项B不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是它的对称轴，故选项D不符合题意． 故选：A． 8. 关于一次函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 该函数图象与y轴交于点 B. 该函数图象经过点 C. 该函数图象经过第一、二、三象限 D. 随着自变量x的增大，函数值y逐渐增大 【答案】B 【解析】 【分析】通过代入计算验证点与函数图象的位置关系，根据一次项系数和常数项判断图象所在象限及增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：对选项A，求函数与轴的交点，令，得，因此函数图象与轴交于点，A错误； 对选项B，将代入函数式，得，因此函数图象经过点，B正确； 对选项C，，，函数图象经过第一、二、四象限，C错误； 对选项D，，随着自变量的增大，函数值逐渐减小，D错误． 9. 若直线经过第一、二、四象限，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直线所过象限，判断参数的范围，再根据参数的范围，判断所求直线经过的象限，即可. 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象过第一、二、四象限； 故只有A选项的图象符合题意. 10. 勾股树不仅展现了数学的对称美，更蕴含着深刻的数学原理．如图是勾股树的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，…，则第4个图形中正方形的个数是（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知：第一个图形有1（个）正方形， 第2个图形有（个）正方形， 第3个图形有（个）正方形， ∴第4个图形中共有（个）正方形． 二、填空题（共6小题，每个小题3分，共18分．） 11. 已知点，在函数的图像上，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可计算出的值． 【详解】解：点在函数的图象上 将代入 得． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 13. 甲、乙、丙三人在射击队内测试中，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）都是9，方差（单位：环²）分别是，则三人中成绩最稳定的是_____． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据波动越大，成绩越不稳定，方差越小，表明这组数据波动越小，成绩越稳定. 【详解】解：， ， 三人中成绩最稳定的是甲. 14. 一次函数的图象上有两点 ，，与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】对于一次函数，当时，随的增大而减小，通过比较两点横坐标的大小，结合一次函数的性质即可得到与的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小， ， ． 故答案为． 15. 如图，在中，，，，将三角形沿直线折叠，使点B与点A重合，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠可知，是的垂直平分线，设 ，则 ，在 中，，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】设 ， 将三角形沿直线折叠，点与点 重合， ． ，， ， ， 在中，，即， 解得． 16. 已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】接，过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，利用菱形的性质求出，，利用菱形的面积公式求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，设、交于点， ∵四边形为菱形，为上任意一点，，， ∴垂直平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，此时，点与重合， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值是． 三、解答题（共8小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式乘法计算法则计算，再根据绝对值的性质化简，最后根据零指数幂的计算法则计算，再将结果相加即可． 【详解】解： 18. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形对边平行且相等，结合得与平行且相等，可证四边形为平行四边形，再由得，依据矩形定义即可判定其为矩形； （2）由角平分线和平行线性质得出，可得，结合求出，由平行四边形求出、，用勾股定理算出，最后在中由勾股定理求得即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，． 19. 学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”．如表是海拔高度h（千米）与此高度处气温的关系．根据下表，回答以下问题： 海拔高度h（千米） … 0 1 2 3 4 5 … 气温 … 20 14 8 2 … （1）由表可知，海拔高度每上升1千米，温度降低_____________摄氏度． （2）当海拔高度为h（千米）时，气温t为多少摄氏度？ （3）某飞机飞行高度11000米，请计算在该海拔高度的气温是多少？ 【答案】（1）6 （2）气温t为摄氏度 （3） 【解析】 【分析】根据表格数据探究气温随海拔的变化规律，首先计算得到海拔每升高1千米的温度降低值，再结合初始气温推导气温t与海拔h的关系式，最后统一单位后代入关系式计算得到对应海拔的气温即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴海拔高度每上升1千米，温度降低． 【小问2详解】 解：由题意得，当海拔高度为h（千米）时，气温， ∴气温t为摄氏度． 【小问3详解】 解：由（2）可得，当海拔高度为h（千米）时，气温t为摄氏度， ∵， ∴当千米时， ， ∴该海拔高度的气温是． 20. 已知一次函数图象经过点两点，与x轴、y轴分别交于M、N两点． （1）求此一次函数解析式． （2）求 的面积． 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，直线与坐标轴围成的三角形的面积，求得一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解． （2）根据解析式，分别求得的坐标，继而即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入得，， 解得， ∴ 【小问2详解】 由（1）得，令，得， 令，得， ∴， ∴， ∴． 21. 在刚刚结束的2026年伦敦世界乒乓球团体锦标赛中，国乒女队七连冠、男队十二连冠，双双卫冕夺冠．中国队在赛场上的拼搏精神点燃了校园运动热潮，该校为了解学生排球垫球水平，体育老师在全校学生中随机抽取了部分学生，测试了这些学生一分钟垫球数量，用x（单位：个）表示，分为四个组别：A．；B．；C．；D．，对收集到的数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：将所抽取学生一分钟垫球数量的样本数据整理如表： 组别 一分钟垫球数量（x/个） 人数（人） A m B 16 C 16 D 10 信息二：D组学生一分钟垫球数量如下：30，30，30，35，35，35，35，40，40，40． 信息三：根据样本数据绘制了如图所示的扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：表中_________，D组学生一分钟垫球数量的中位数是_________个、众数是_________个； （2）求D组学生一分钟垫球数量的平均数； （3）若要测试全校1000名学生一分钟垫球数量，请估计其中一分钟垫球数量不低于30个的学生人数． 【答案】（1）8；35；35 （2）35个 （3）200人 【解析】 【分析】（1）根据D组共10人，占总人数的，求出抽取的总人数；用总人数减去其余几组的人数求出m；根据中位数的定义和众数的定义即可求解． （2）根据平均数的定义求解即可． （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为：人， ∴， D组数据从小到大排列为：，共10个数据， 中位数为第5、6个数的平均数：； 35出现次数最多（4次），因此众数为35； 【小问2详解】 解：D组的平均数： ， 答：D组学生一分钟垫球数量的平均数为个． 【小问3详解】 解：样本中一分钟垫球不低于30个的学生（即D组）占比为， 因此估计全校1000名学生中，符合条件的人数为：， 答：估计一分钟垫球数量不低于30个的学生有人． 22. 五一假期，数学兴趣小组的同学来到湛江渔港公园放风筝．他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识解决实际问题．小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米）根据以上信息，解决下列问题： （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）9.5米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， 则米， ∴风筝离地面的垂直高度为9.5米． 【小问2详解】 解：如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， ∴他应该再放出8米线． 23. 今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购买45个肉粽和50个蛋黄粽需要240元，购买50个肉粽和45个蛋黄粽需要235元． （1）求肉粽和蛋黄粽每个的单价； （2）超市将肉粽的售价定为4元，蛋黄粽的售价定为5.5元．根据市场需求，超市计划再用不超过1050元的总费用购进这两种粽子共500个进行销售，怎样进货才能使售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 （2）购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【解析】 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，列二元一次方程组即可解答； （2）设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w，根据题意列不等式求得的取值范围，再用表示，根据一次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，， 解得， 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元； 【小问2详解】 解：设购进肉粽m个，则购进蛋黄粽个，总利润为w， 根据题意得，， 解得， 由题意得， ，w随m的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为， 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 24. 在中，，，点为直线上的一个动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）【观察猜想】如图1，当点在线段上时， ①与的位置关系为______________； ②，，之间的数量关系为______________； （2）【数学思考】如图2，当点在射线上时，，，之间有怎样的数量关系？并写出证明过程； （3）【拓展延伸】如图3，当点在射线上时，延长交于点，连接．若，，求的长． 【答案】（1）①；② （2），证明如下： ∵四边形是正方形， ，． ， ， ， ． 在与中， ， ， ． ，， ． （3） 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得到，证出，由全等三角形的性质和余角的关系进而得到结论； ②由全等三角形的性质得到，进而得出结论； （2）推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论． （3）过点作于点，过点分别作于点，于点，证，推出，，推出，，由是等腰直角三角形，推出，推出，再由勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：①， ∵四边形是正方形， ，． ， ， ， ． 在与中， ， ， ． ， ， 即． ②， ， ． ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于点，过点分别作于点，于点， ，，， ，， ，， ． ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ， ． ，，， ∴四边形是矩形， ，． ， ， ． 在与中， ， ， ，， ，． ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $