2026届高中数学思想方法大合集-泰勒公式 讲义

公式定理89  泰勒公式 【地位作用】泰勒公式的本质是用多项式函数在某点处逼近原函数．这种化繁为简的功能，使得泰勒公式成为分析和研究许多数学问题的有力工具． 【内容展示】 若函数在处任意阶可导，则． 【证明过程】 常规步骤证明 1.假设函数性质：假设函数在某一点处具有阶可导性质. 2.构建幂级数形式：使用泰勒展开的思想，将函数在点处展开成一个无穷级数的形式，设幂级数为①. 3.确定系数：令，代入①式可得. 4.对幂级数求一阶导数并确定对①式求导得②， 令，代入②式可得. 5.对一阶导数求导并确定：对②式两边求导，再令，可得. 6.以此类推确定：继续上述求导代入过程，可得. 7.得出泰勒公式：所以在处的泰勒公式为 数学归纳法证明 基础步骤 当时，，这是一个显然成立的等式. 归纳步骤 假设当时命题成立，即函数可以按照泰勒公式展开.当1时，根据泰勒定理的推论，有的展开式包含这一项，因此当时，命题也成立.由于在基础步骤和归纳步骤中，命题都成立，所以可以得出结论：命题对于所有的正整数都成立. 【内涵外延】 （1），． （2）上述公式成立的范围会随着函数的变化而变化，但是其成立范围的研究比较复杂，这里不加以展开，只需知道常用函数的展开式的成立范围即可． （3）当时，泰勒公式也称为麦克劳林公式． 常用函数的麦克劳林展开式如下． ①，． ②，． ③，． ④，． ⑤，． 上述公式右侧是无穷项的和式，实际应用时会用前几项来近似替代． 泰勒公式的衍生不等式如下． ①（），（）． ②，（）． ③（），（）． ④，． ⑤当时，（）． ⑥（伯努利不等式）当或时，； 当时，． 灵活应用一 泰勒公式的正用 典例1 已知，，，则（   ） A．        B．            C．            D． 【详细解析】（方法一  泰勒公式）， ， ，计算得，故选A． （方法二不等式放缩）因为， 因为当时，，所以，即，所以． 因为当时，，所以， 故，所以．故选A． 【题后反思】利用泰勒公式进行估值，只要牢记几个常见函数的展开式，估值时对于后续明显可以忽略的项进行舍弃，利用前几项进行估计，操作思路统一，对小题而言更有优势． 【举一反三】 1．若函数，则 ． 【答案】2 【分析】方法一：由泰勒公式可得，则当时，，根据和时不等式成立可得； 方法二：构造函数，并求出导函数，因为恒成立且，根据极值点的性质得，即可求解. 【详解】（方法一）由泰勒公式可知， ，， 故． 当时，． 又， 所以当时，，当时，． 综上，． （方法二）设，， 则． 由题意可得恒成立. 因为，所以函数在处取到最小值， 因为，且在上为连续函数，所以为的极小值点， 所以，解得． 故答案为：2. 灵活应用二 泰勒公式的变形用 典例2  若对恒成立，则的最大值为______． 【详细解析】（方法一）， ， 则， 要使得对恒成立，必有，即的最大值为2． （方法二）令， 由题意可得对恒成立． 因为，， 当时，，则存在， 使得当时，，即在区间上单调递减． 所以，与题意矛盾，舍去． 当时， ， 所以在区间上单调递增，所以，符合题意． 综上，，即的最大值为2． 【题后反思】上述借助泰勒公式的方法一是不严谨的，但对于小题而言，可提高解题速度． 【举一反三】 2．已知数列满足：，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用数学归纳法证明即可. （2）设，，先利用导数证明，再利用放缩法即可证明原不等式. 【详解】（1）用数学归纳法证明． 当时，； 假设当时，． 当时，． 所以，所以， 所以． 由得， 即， 所以，所以（）． 又，所以． （2）设，， 则，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增， 所以，解得， 所以 ． 灵活应用三 泰勒公式的灵活用 典例3  已知数列满足，，．求证：当时， （1）； （2）． 【详细解析】（1）用数学归纳法证明：． 当时．假设当时，， 那么当时，若，则，矛盾，故． 因此（），所以， 因此（）． （2）（方法一  分析法）由得 ． 记函数（）， 则（）， 所以函数在上单调递增，所以， 因此， 故（）． （方法二  泰勒公式的衍生不等式）由不等式（）（构造函数易证，略） 可得， 故（）． 【题后反思】分析法是解题的通法，是最值得推崇的，但灵活运用泰勒公式的衍生不等式可快速找到放缩的路径． 【举一反三】 3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 灵活应用四 泰勒公式的综合用 典例4  给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小； (3)证明：. 【详细解析】（1），，， ，，， ，即； 同理可得：； （2）由（1）知：，， 令，则， ，， 在上单调递增，又， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 综上所述：当时，；当时，；当时，； （3）令，则， ，在上单调递增， 又，在上单调递减，在上单调递增， ，即； 在点处的阶泰勒展开式为：， ，当且仅当时取等号， ①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以； ②当时，设，， ，， 当，由（2）可知，所以， ，即有； 当时，， 所以，时，单调递减，从而，即． 综上所述：. 【题后反思】通过对所给材料的读取与理解，利用泰勒展开式对所求问题进行求解. 【举一反三】 4．给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用阶泰勒展开式的定义，可求， （2）由（1）可求； （3）由（1）可得，进而可得，结合已知可得结论. 【详解】（1），，，， 所以，，，， 由 所以 （2）由（1）可得 （3）因为①， 对， 两边求导可得：， 所以， 所以②， 比较①②中的系数，可得： ， 所以. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；第三问关键在于用阶泰勒展开式表示. （公式正用） 5．已知，则 【答案】 【分析】利用泰勒展开式将变形，将变为，计算即可比较大小. 【详解】设，则，，，计算得. 故答案为： （公式正用） 6．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 （公式正用） 7．，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，， 令， 求导得， 因此函数在上单调递增，，即，则； 令，求导得， 因此函数在上单调递增，，即，则， 所以. 故选：B （公式灵活用） 8．若当时，恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据根据泰勒展开式将问题转化为在恒成立，即可求解. 【详解】根据泰勒展开式，，，所以当时，， 从而要使，只需，故，所以. 故答案为： （公式灵活用） 9．已知函数，导函数为，当时，证明:. 【答案】证明见解析 【分析】法1、法2，利用泰勒公式放缩，构造函数，再利用导数证明不等式. 【详解】当时，， 解法1: 泰勒公式放缩（一） 当时，由泰勒公式有， 由，得， 由，得，则要证，只证即可， 即证，令函数， 求导得， 函数在上单调递增， 则成立，所以. 解法2：泰勒公式放缩（二） 由泰勒公式，得，则，要证， 只需证即可，亦即证， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在单调递增， 而，因此. 所以. （公式灵活用） 10．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性。 (1)估算的值（采用四舍五入法，结果保留小数点后两位） (2)此外该公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设，若区间满足以下条件：①； ②当定义域为时，值域也为，则称区间为的“封闭区间”．试问是否存在“封闭区间”？若存在，求出的所有“封闭区间”，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，有唯一的“封闭区间” 【分析】（1）运用给出的公式直接计算即可； （2）（ⅰ）根据题目中给的公式即可证明. （ⅱ）通过对的取值进行分情况讨论，结合的单调性以及（ⅰ）的结论，即可求得唯一的和谐区间. 【详解】（1） （2）（ⅰ）由题意，得，所以， 所以当时，．故 （ⅱ）对于函数，有， ①若，则，故最小值为，于是， 所以，所以最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意． ②若，当时，同理可得，舍去， 当时，在上单调递减， 所以，于是， 若，即，则， 故，与矛盾； 若，同理，矛盾，所以，即， 由（ⅰ）知当时，， 因为，所以，从而，，从而，矛盾， 综上所述，有唯一的“封闭区间”． （公式综合用） 11．在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式． (1)分别求在处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； (3)当时，求证：．（参考数据） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在处的泰勒展开式的公式即可求解； （2）把在处的泰勒展开式中的替换为，利用复数的运算法则进行化简整理可得，从而即可证明； （3）根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得. 【详解】（1）因为函数在处的泰勒展开式为 （其中表示的n次导数）， 所以，，在处的泰勒展开式分别为： ； ； . （2）把在处的泰勒展开式中的替换为，可得 ， 所以，即. （3）由在处的泰勒展开式，先证当时，， 令， ，又，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以当时，恒成立， 则 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得. （公式综合用） 12．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． (1)证明：当时，； (2)设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，“和谐区间”为 【分析】（1）根据题目中给的公式即可证明. （2）通过对的取值进行分情况讨论，结合的单调性以及（1）的结论，即可求得唯一的和谐区间. 【详解】（1）由题意，得，所以， 所以当时，． （2）对于函数，有， ①若，则由，知，矛盾，故不存在“和谐区间”； ②同理时，也不存在， 下面讨论， ③若，则，故最小值为，于是， 所以， 所以最大值为2，故， 此时的定义域为，值域为，符合题意． ④若，当时，同理可得，舍去， 当时，在上单调递减， 所以，于是， 若，即，则， 故， 与矛盾； 若，同理，矛盾， 所以，即， 由（1）知当时，， 因为，所以，从而，，从而，矛盾， 综上所述，有唯一的“和谐区间”． 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理89  泰勒公式 【地位作用】泰勒公式的本质是用多项式函数在某点处逼近原函数．这种化繁为简的功能，使得泰勒公式成为分析和研究许多数学问题的有力工具． 【内容展示】 若函数在处任意阶可导，则． 【证明过程】 常规步骤证明 1.假设函数性质：假设函数在某一点处具有阶可导性质. 2.构建幂级数形式：使用泰勒展开的思想，将函数在点处展开成一个无穷级数的形式，设幂级数为①. 3.确定系数：令，代入①式可得. 4.对幂级数求一阶导数并确定对①式求导得②， 令，代入②式可得. 5.对一阶导数求导并确定：对②式两边求导，再令，可得. 6.以此类推确定：继续上述求导代入过程，可得. 7.得出泰勒公式：所以在处的泰勒公式为 数学归纳法证明 基础步骤 当时，，这是一个显然成立的等式. 归纳步骤 假设当时命题成立，即函数可以按照泰勒公式展开.当1时，根据泰勒定理的推论，有的展开式包含这一项，因此当时，命题也成立.由于在基础步骤和归纳步骤中，命题都成立，所以可以得出结论：命题对于所有的正整数都成立. 【内涵外延】 （1），． （2）上述公式成立的范围会随着函数的变化而变化，但是其成立范围的研究比较复杂，这里不加以展开，只需知道常用函数的展开式的成立范围即可． （3）当时，泰勒公式也称为麦克劳林公式． 常用函数的麦克劳林展开式如下． ①，． ②，． ③，． ④，． ⑤，． 上述公式右侧是无穷项的和式，实际应用时会用前几项来近似替代． 泰勒公式的衍生不等式如下． ①（），（）． ②，（）． ③（），（）． ④，． ⑤当时，（）． ⑥（伯努利不等式）当或时，； 当时，． 灵活应用一 泰勒公式的正用 典例1 已知，，，则（   ） A．        B．            C．            D． 【详细解析】（方法一  泰勒公式）， ， ，计算得，故选A． （方法二不等式放缩）因为， 因为当时，，所以，即，所以． 因为当时，，所以， 故，所以．故选A． 【题后反思】利用泰勒公式进行估值，只要牢记几个常见函数的展开式，估值时对于后续明显可以忽略的项进行舍弃，利用前几项进行估计，操作思路统一，对小题而言更有优势． 【举一反三】 1．若函数，则 ． 灵活应用二 泰勒公式的变形用 典例2  若对恒成立，则的最大值为______． 【详细解析】（方法一）， ， 则， 要使得对恒成立，必有，即的最大值为2． （方法二）令， 由题意可得对恒成立． 因为，， 当时，，则存在， 使得当时，，即在区间上单调递减． 所以，与题意矛盾，舍去． 当时， ， 所以在区间上单调递增，所以，符合题意． 综上，，即的最大值为2． 【题后反思】上述借助泰勒公式的方法一是不严谨的，但对于小题而言，可提高解题速度． 【举一反三】 2．已知数列满足：，，．求证： (1)； (2)． 灵活应用三 泰勒公式的灵活用 典例3  已知数列满足，，．求证：当时， （1）； （2）． 【详细解析】（1）用数学归纳法证明：． 当时．假设当时，， 那么当时，若，则，矛盾，故． 因此（），所以， 因此（）． （2）（方法一  分析法）由得 ． 记函数（）， 则（）， 所以函数在上单调递增，所以， 因此， 故（）． （方法二  泰勒公式的衍生不等式）由不等式（）（构造函数易证，略） 可得， 故（）． 【题后反思】分析法是解题的通法，是最值得推崇的，但灵活运用泰勒公式的衍生不等式可快速找到放缩的路径． 【举一反三】 3．设，则（    ） A． B． C． D． 灵活应用四 泰勒公式的综合用 典例4  给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小； (3)证明：. 【详细解析】（1），，， ，，， ，即； 同理可得：； （2）由（1）知：，， 令，则， ，， 在上单调递增，又， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 综上所述：当时，；当时，；当时，； （3）令，则， ，在上单调递增， 又，在上单调递减，在上单调递增， ，即； 在点处的阶泰勒展开式为：， ，当且仅当时取等号， ①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以； ②当时，设，， ，， 当，由（2）可知，所以， ，即有； 当时，， 所以，时，单调递减，从而，即． 综上所述：. 【题后反思】通过对所给材料的读取与理解，利用泰勒展开式对所求问题进行求解. 【举一反三】 4．给出以下三个材料： ①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，； ②若，定义； ③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式. 例如在点处的泰勒展开式为 根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的泰勒展开式； (2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位； (3)现已知，试求的值. （公式正用） 5．已知，则 （公式正用） 6．设，则（    ） A． B． C． D． （公式正用） 7．，则（　　） A． B． C． D． （公式灵活用） 8．若当时，恒成立，则实数a的取值范围是 . （公式灵活用） 9．已知函数，导函数为，当时，证明:. （公式灵活用） 10．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性。 (1)估算的值（采用四舍五入法，结果保留小数点后两位） (2)此外该公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）设，若区间满足以下条件：①； ②当定义域为时，值域也为，则称区间为的“封闭区间”．试问是否存在“封闭区间”？若存在，求出的所有“封闭区间”，若不存在，请说明理由． （公式综合用） 11．在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式． (1)分别求在处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； (3)当时，求证：．（参考数据） （公式综合用） 12．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，，（解答本题时，这些不等式根据需要可以直接使用）． (1)证明：当时，； (2)设，若区间满足：当定义域为时，值域也为，则称区间为的“和谐区间”．试问是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$