精品解析：重庆市西藏中学校2025届高三上学期测试（二）数学试题

重庆西藏中学校高2025届高三上测试（二） 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分 150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，已知集合，且，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求 的取值范围. 【详解】由题设，，又，， ∴. 故选：D 2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值. 【详解】， 利用复数相等的充分必要条件可得：. 故选：C. 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 5. 某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日～27日（共10天）学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图． 根据组合图判断，下列结论正确的是（ ） A. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小 B. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差 C. 这10天学生在线学习人数在逐日增加 D. 前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图逐一判断可得选项． 【详解】对于A，由折线图很明显，23-24的增长比例在下降，故A错误； 对于B，由柱状图可得前5天学习人数的变化幅度明显比后5天的小，故方差也小，故B错误； 对于C，由柱状图，可得学习人数在逐日增加，故C正确； 对于D，前5天增长比例的极差小于后5天增长比例的极差，故D错误， 故选：C． 6. 已知函数在上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可. 【详解】由题, 在上恒成立.即在上恒成立. 又,其导函数恒成立.故的最小值为.故. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题. 7. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在幂函数的图象上，求出解析式，判断单调性，通过比较指数式与对数式的大小，由单调性判断函数值的大小. 【详解】点在幂函数的图象上，则有， 解得，有，则在R上单调递增. 由，， 则，所以， 即. 故选：C. 8. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果. 【详解】因为，，，所以，所以， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天， 则，所以，所以， 所以天. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题是真命题的有（    ） A. 时，的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 已知 ， ，，则不等式成立的充分不必要条件是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值判断A、B；根据不等式性质及充分、必要性定义判断C；取，可判断D. 【详解】A：由，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为 ，A错； B：，当且仅当时取等号，即的最小值为 ，B对； C：若，显然，则；若，时，不成立， 所以是的充分不必要条件，C对； D：取，可得，D对. 故选：BCD 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 是单调函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分段函数性质求定义域、值域、奇偶性以及单调性分别判断即可． 【详解】根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为，故AB正确； 当是有理数时，是有理数，， 当是无理数时，是无理数，，所以是偶函数，故C正确； 因为，所以不是单调函数，故D错误； 故选：ABC． 11. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求即可 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 14. 设函数，若，则的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据恒成立得出条件等式，即可构造函数，再借助导数研究其最小值即可得. 【详解】当时，，则，即， 当时，，则，即， 即有，即， 则，令，， ， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数、的定义域都是，是奇函数，是偶函数，且. （1）求，的解析式； （2）若，求的值域和单调区间. 【答案】（1）（2）的值域是；单调递增，单调递减 【解析】 【分析】（1）已知是奇函数，是偶函数则可将换成代入得，利用奇偶性即可列出关于和的另一个关系式，联立，的两个等式求解即可． （2）由（1）代入和可得表达式，即可求出值域与单调区间． 【详解】（1），又，得 （2）由已知，得，故的值域是；单调递增，单调递减 【点睛】已知奇偶函数之和的方程，可将代换成得出新的等式，利用奇偶性化简即可得关于两个奇偶函数的方程组，联立求解即可． 16. 已知函数. （1）若，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为，解不等式. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可. 【详解】（1）当时，显然成立； 当时，需满足，得. 综上可得，a的取值范围是. （2）即. 根据题意，和是方程的两个实根， 所以，解得，经检验，符合题意. ，解得， 所以不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 右焦点 的直线与椭圆 交于两点，且，求的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆上一点，求的值，确定椭圆的标准方程. （2）分类讨论.当直线存在斜率不为0或不存在时，设直线方程，与椭圆处联立，消去，得到关于的一元二次方程，用韦达定理表示出与，再把转化成的关系，求出的值即可. 【小问1详解】 联立 得，故所求椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 易知. ①当斜率为0时，或，不符合题意. ②当斜率不为0或不存在时,设，设，， 联立 消去得. 所以， 由得，代入以上两式消去得. 故，化为一般方程为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求 的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质得，解出 ；由单调性的定义即可求解， （2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可； （3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可； 【小问1详解】 是定义域为上的奇函数， ，，，， 此时， 经检验，符合题意； 函数的定义域为，在上任取，，且， 函数在上单调递增， 【小问2详解】 由（1）可知，且在上单调递增的奇函数， 由可得， ，即， 或， 不等式的解集为或； 【小问3详解】 ， ． 令，，， ， 当时，当时，，则（舍去）； 当时，当时，，解得，符合要求， 综上可知或． 19. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求 的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：由知，，且 ， 则 ， 则要证，即证， 即， 令， ， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减， 又， 故存在，使，即， 则当时，时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 由，则， 即，即， 即可得证：. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合二次函数的性质与极值点定义计算即可得；结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 【小问1详解】 当时，， ，则 则的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令，由恰有两个极值点， 则有两个不同实数根，且， 则有，即； 略 【点睛】方法点睛：结合韦达定理可将证明转化为证明函数在上恒成立，借助导数结合零点的存在性定理可得存在，使，即，即可得，再利用对勾函数性质计算即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆西藏中学校高2025届高三上测试（二） 数学试题卷 考试时间：120分钟 满分 150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，已知集合，且，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ） A. B. 1 C. D. 3 3. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年4月18日～27日（共10天）学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图． 根据组合图判断，下列结论正确的是（ ） A. 这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小 B. 前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差 C. 这10天学生在线学习人数在逐日增加 D. 前5天在线学习人数增长比例的极差大于后5天在线学习人数增长比例的极差 6. 已知函数在上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则 ，， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列命题是真命题的有（    ） A. 时，的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 已知 ，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是偶函数 D. 是单调函数 11. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______. 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 14. 设函数，若，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数、的定义域都是，是奇函数，是偶函数，且. （1）求，的解析式； （2）若，求的值域和单调区间. 16. 已知函数. （1）若，恒成立，求a的取值范围； （2）若的解集为，解不等式. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求椭圆 的方程； （2）过椭圆 右焦点的直线与椭圆 交于两点，且，求的方程. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求 的值，并证明：在上单调递增； （2）求不等式的解集； （3）若在区间上的最小值为，求 的值. 19. 已知函数． （1）若，求的图象在处的切线方程； （2）若恰有两个极值点． ①求 的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $