精品解析：2025年河南省南阳市重点初中联考中考二模数学试题

2025年初中毕业生中招适应性测试数学（二） 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. C. D. 2. 记者日前从省财政厅获悉，2024年，省财政安排资金万元，支持水稻、小麦、玉米等粮油作物及蔬菜、生猪等重要农产品科技成果转化，实验室“观赏盆景”正在源源不断变成田间地头“丰收风景”．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 将直线向下平移个单位长度后，经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 8. 河南是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳和郑州．将这四座城市的名字分别写在四张质地、大小一样的空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则只有一次抽到安阳的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线交于点，过点的直线作于点，交直线于点，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（ ） A. 小球开始下落时离地面的高度为 B. 小球落地 C. 小球不会对地面造成伤害 D. 第时小球的速度为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：＝_____________． 12. 某市一月1日至10日最低气温随日期变化的折线统计图如图所示，则这10天最低气温的中位数是______． 13. 如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，交BA的延长线于点F，若弧EF的长为π，则图中阴影部分的面积为______． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 15. 如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）计算：． 17. “全民健身，体魄强健”．在“全民健身月”活动中，某校提供了四类适合学生参与的体育项目：A田径类，B球类，C体操类，D游泳类．为了解学生参与体育项目的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必选且仅选一类），根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的统计图表． 运动类别 学生人数 A田径类 m B球类 48 C体操类 24 D游泳类 n （1）统计表中的_______，_______． （2）在扇形统计图中，“C体操类”对应圆心角的度数是_______． （3）若该校一共有1600名学生，估计该校选择“D游泳类”体育项目的学生人数． 18. 如图，在平行四边形中，平分，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形． 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的解析式． （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标． 20. 如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． （1）与的位置关系为 ． （2）求证：为的切线． （3）若，求的长． 21. 开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． （1）求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． （2）某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 22. 新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的关系式． （2）求该产品每天获得的利润w（元）的最大值． （3）春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值． 23. 综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业生中招适应性测试数学（二） 注意： 本试卷分试题卷和答题卡两部分．考试时间100分钟，满分120分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（下面各题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的序号填涂在答题卡相应位置．每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，是负整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 记者日前从省财政厅获悉，2024年，省财政安排资金万元，支持水稻、小麦、玉米等粮油作物及蔬菜、生猪等重要农产品科技成果转化，实验室“观赏盆景”正在源源不断变成田间地头“丰收风景”．数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握“科学记数法的表示方法为：，”是解题关键． 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解：万． 故选：B． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则和求解即可得出结论． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及到积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则和运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选A． 5. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，延长，根据折叠的性质，可知，由平角的定义可得，由平行线的性质可得，列式．本题考查了平行线的性质，平角的定义，正确的添加辅助线是解题的关键． 【详解】如图，延长， 折叠， ， ， ， ， ， ， ． ∴ 故选B． 6. 将直线向下平移个单位长度后，经过点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 由题意求得直线平移后的解析式为，把点的坐标代入，即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后的解析式为， 直线经过点， 得：，解得：． 故选：D． 7. 已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴可知：，，然后计算根的判别式的值即可得出答案． 【详解】由数轴可知：，； ∴； ∴有两个不相等的实数根 故选：A 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题． 8. 河南是中华文明的主要发源地，“八大古都”中河南就占了四席，分别是洛阳、开封、安阳和郑州．将这四座城市的名字分别写在四张质地、大小一样的空白卡片上，然后把它们背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，则只有一次抽到安阳的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出只有一次抽到安阳的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：把洛阳、开封、安阳、郑州分别记作，，，，画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中只有一次抽到安阳的结果数为6， 两次抽到卡片只有一次抽到安阳的概率为． 故选：C． 9. 如图，在中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点，，作直线交于点，过点的直线作于点，交直线于点，则四边形周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图可知垂直平分，可得，即，由三角函数可得，，证明，可知最小时，四边形周长有最小值，证明，即可得解. 【详解】由作图可知垂直平分， ∴，即 ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴四边形周长， 即最小时，四边形周长有最小值 ∵， ∴最小时，四边形周长有最小值， ∴当时，即时，四边形周长值最小， 如图， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴最小值为3， ∴四边形周长最小值为. 故选：B 【点睛】本题考查了尺规作图，三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 10. 从某一高度自由下落的小球离地面的高度与下落时间满足关系式，它的图象如图所示，点为其图象上一点．小球下落过程中的速度与小球离的距离满足关系式，已知该小球到达地面的速度超过时会对地面造成伤害，则下列说法错误的是（ ） A. 小球开始下落时离地面的高度为 B. 小球落地 C. 小球不会对地面造成伤害 D. 第时小球的速度为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确地列出函数关系式是解题的关键．根据题意和二次函数的性质逐个选项进行判断，即可求解． 【详解】解：A、把代入得：， 解得：， 小球开始下落时离地面的高度为， 故A选项说法正确； B、由上可知，， 把代入得：， 小球落地， 故B选项说法正确； C、由题意得，小球落地时离的距离， 代入得：， ， 小球会对地面造成伤害， 故C选项说法错误； D、把代入得：， 第时小球离地面的高度为， 第时小球离的距离， 代入中得：， ， 第时小球的速度为， 故D选项说法正确； 综上所述，故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 分解因式：＝_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的提取公因式以及因式分解的计算，根据题意先提取公因式，然后再因式分解即可得出答案． 【详解】解： ； 故答案为：． 12. 某市一月1日至10日最低气温随日期变化的折线统计图如图所示，则这10天最低气温的中位数是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图及中位数，要明确定义，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．从图中列出一月1日至10日最低气温，根据数据可以知道中位数是按从小到大排序，第5个与第6个数的平均数． 【详解】解：10天的气温排序为：， 中位数为：， 故答案为：2． 13. 如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，交BA的延长线于点F，若弧EF的长为π，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8﹣2π 【解析】 【分析】连结AC，如图，设半径为r，先根据切线的性质得∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，则∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠2=45°，则根据弧长公式求得r=4，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△ACD﹣S扇形CAE进行计算即可． 【详解】连结AC，如图，设半径为r． ∵AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°． ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，而AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2=45°． ∵的长为π，∴π，解得：r=4． 在Rt△ACD中，∵∠2=45°，∴AC=CD=4，∴S阴影部分=S△ACD﹣S扇形CAE4×48﹣2π． 故答案为8﹣2π． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的性质和扇形的面积公式． 14. 二次函数（，a，b，c为常数）的图象如图所示，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，利用图象判断一元二次方程的解． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由图可知，当时，与有交点， 所以若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是平分线上的任意一点，连接．把绕点逆时针旋转得到，连接，，则的最小值为_______，的最小值为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①由等腰直角三角形和勾股定理分析出，即当时，最小，延长，交于点，证出，再利用勾股定理解答即可； ②分析出点的位置，在结合勾股定理解答即可． 【详解】解：①由题意可得：为等腰直角三角形，则，， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，延长，交于点，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴； ②∵在中，， ∴当，，三点共线时，，此时最小，过作于点，延长，交于点，如图所示： 由①同理可得：，， ∴在中，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的混合运算，正确对分式的分子、分母进行分解因式是关键． （1）首先计算特殊角的三角函数，化简二次根式，化简绝对值，然后合并同类二次根式即可； （2）首先对括号内的分式进行通分，把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：（1）原式， ； （2）原式， ， ， ． 17. “全民健身，体魄强健”．在“全民健身月”活动中，某校提供了四类适合学生参与的体育项目：A田径类，B球类，C体操类，D游泳类．为了解学生参与体育项目的兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必选且仅选一类），根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的统计图表． 运动类别 学生人数 A田径类 m B球类 48 C体操类 24 D游泳类 n （1）统计表中的_______，_______． （2）在扇形统计图中，“C体操类”对应圆心角的度数是_______． （3）若该校一共有1600名学生，估计该校选择“D游泳类”体育项目的学生人数． 【答案】（1）36；12 （2） （3）估计该校学生选择“D游泳类”体育项目的学生人数为160 【解析】 【分析】本题考查统计表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，掌握相关的概念和性质． （1）根据B组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；根据总人数，可以计算出A组和D的人数； （2）求出C组所占的百分比乘以即可得到结论； （3）根据样本估计总体列式计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， ∴（人）， ∴， 故答案为：36；12； 【小问2详解】 解：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据题得，（人）， 答：估计该校学生选择“D游泳类”的学生人数约为160人． 18. 如图，在平行四边形中，平分，交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， 四边形是平行四边形． 平分． ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定及菱形的判定是解题的关键． （1）根据作一个角等于已知角作图即可； （2）由四边形是平行四边形，可得，可得出，．可证出四边形是平行四边形．再由平分．可得，，得出．即可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的解析式． （2）根据图象直接写出不等式的解集． （3）若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先根据点在直线上，求出，从而可得点的坐标为，丙根据点在反比例函数的图象上，代入中，求得，从而可得反比例函数的解析式为； （2）先求出点坐标，再结合点坐标，观察函数图象得出不等式的解集； （3）分“点在点下方”、“点在点上方”两种情况，分别求得点的坐标． 【小问1详解】 解： 点在直线上， 将代入，得点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得，． 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解，得或， ∵点的坐标为， ， ， ， ∴或． 【小问3详解】 分情况讨论：①当点在点下方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，即． 将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为． ②当点在点上方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． 20. 如图，为的外接圆，为的直径，，的平分线与交于点P，过点P作于点Q，连接． （1）与的位置关系为 ． （2）求证：为的切线． （3）若，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图所示，连接 ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点P是上的点 ∴为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后得到，即可证明； （2）连接，根据角平分线的概念和等边对等角得到，得到，即可证明出为的切线； （3）首先根据题意证明出，得到，然后代数表示出，然后在中，利用勾股定理求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵ ∴ ∵为的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ 解得或（舍去） ∴ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线以及掌握以上知识点． 21. 开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． （1）求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． （2）某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】（1）款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元 （2）共有3种购买方案 （3）当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． 【小问2详解】 解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得 ，解得． 款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半， ， 解得． ． 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，令表示总费用，则． ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元． 22. 新郑大枣皮薄、肉厚、核小，味道甘甜，是河南著名特产，其种植历史悠久，不仅口感上乘，还具有丰富的营养价值．某特产超市打算销售小包新郑大枣，进价为20元/件，经过市场调查发现，该产品的日销售量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的关系式． （2）求该产品每天获得的利润w（元）的最大值． （3）春节前夕，批发商调整进货价格，该产品的进价变为m（m为整数）元/件．该超市每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该超市为了不亏本，至少需按25元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过43元/件．在实际销售过程中，发现每天获得的利润w随x的增大而增大，求m的最小值． 【答案】（1） （2）该产品每天获得的利润的最大值为4000元 （3）最小值为26 【解析】 【分析】本题考查一次函数及二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键． （1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值； （3）根据题意列出关于的函数关系式为，再根据二次函数的性质求解，从而得出结论． 【小问1详解】 解：设与的关系式为． 将和代入，得 解得 与的关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，得， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为4000， 该产品每天获得的利润的最大值为4000元． 【小问3详解】 解：由题意，得， ， ，抛物线开口向下． 对称轴为直线，在实际销售过程中，发现每天获得的利润随的增大而增大，且， ， 解得， 的最小值为26． 23. 综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）①证明：如图②，过点作，垂足为， AI ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ② 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、直角三角形的性质，勾股定理，以及旋转的性质等知识点． （1）证明，根据相似三角形的性质可得，； （2）同理（1）可得可求，，由此求出； （3）分当在内时，当在外时， 两种情况，结合（1）的结论，利用直角三角形性质和勾股定理解三角形即可求解． 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①略 ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $