专题1.6 一元二次函数、方程与不等式（五类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题1.6 一元二次不等式及其解法 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 3 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 4 三、知识点•逐点夯实 4 知识点1、一元二次不等式 4 知识点2、三个“二次”的对应关系 4 知识点3、简单分式不等式的解法 5 知识点4、不等式恒成立问题 5 四、重点难点•分类突破 5 考点1 不含参数一元二次不等式的解法 5 考点2 含参数一元二次不等式的解法 7 考点3 其它不等式的解法 9 考点4 三个“二次”之间的关系 10 考点5 一元二次不等式恒成立问题 13 五、分层训练 16 A、基础保分 16 B、综合提升 18 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国Ⅱ卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）、经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． （2）、借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． （3）、了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年全国Ⅱ卷，第4题,5分 分式不等式 一般 2023年全国I卷，第1题,5分 一元二次不等式 简单 2025年天津高考，第15题，6分 恒成立问题 很难 2025年上海高考，第2题，5分 分式不等式 简单 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 三、知识点•逐点夯实 知识点一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二、三个“二次”的对应关系 知识三、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点四、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 四、重点难点•分类突破 考点1 不含参数一元二次不等式的解法 例1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8. 【变式训练1】．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 考点2 含参数一元二次不等式的解法 例3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．设关于的不等式的解集为，则 . 【变式训练3】．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为，则 ． 【变式训练4】．（2024·江西·二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 ． 考点3其他不等式解法 例5．（2025·安徽·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 例6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5】．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（2025·浙江·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点4三个二次之间的“关系” 例7．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 例8．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知命题：“关于的方程有实根”.若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】．（2023高三·全国·专题练习）函数的大致图像如图所示，，是函数的两个极值点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式训练8】．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 考点5一元二次不等式恒成立问题 例9．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 例10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【变式训练10】．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 五、分层训练 1．（2024·河北保定·二模）设集合，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·陕西渭南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·四川·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C．（） D． 4．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 6．（多选题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 7．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 一元二次不等式及其解法 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 3 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 4 三、知识点•逐点夯实 4 知识点1、一元二次不等式 4 知识点2、三个“二次”的对应关系 4 知识点3、简单分式不等式的解法 5 知识点4、不等式恒成立问题 5 四、重点难点•分类突破 5 考点1 不含参数一元二次不等式的解法 5 考点2 含参数一元二次不等式的解法 7 考点3 其它不等式的解法 9 考点4 三个“二次”之间的关系 10 考点5 一元二次不等式恒成立问题 13 五、分层训练 16 A、基础保分 16 B、综合提升 18 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·全国Ⅱ卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】分式不等式 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为， 故选：C. 2．（2023·全国Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）、经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． （2）、借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． （3）、了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年全国Ⅱ卷，第4题,5分 分式不等式 一般 2023年全国I卷，第1题,5分 一元二次不等式 简单 2025年天津高考，第15题，6分 恒成立问题 很难 2025年上海高考，第2题，5分 分式不等式 简单 【2026考向预测】 从近几年高考命题来看，三个 “二次” 的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中． 三、知识点•逐点夯实 知识点一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二、三个“二次”的对应关系 知识三、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点四、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 四、重点难点•分类突破 考点1 不含参数一元二次不等式的解法 例1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设，，则. 故选：A． 例2．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求解一元二次不等式得出，判断其真子集个数即可. 【详解】由可得，故 ， 则集合的真子集个数是. 故选：C. 【变式训练1】．（2025·北京·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式化简集合，再根据交集的运算求解即可. 【详解】因为或， 又， 所以. 故选：A. 【变式训练2】．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得. 【详解】集合， 集合， 所以. 故选：A. 考点2 含参数一元二次不等式的解法 例3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由已知根据解集的形式判断二次函数的开口方向和方程根的大小关系，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以且， 解得，所以的取值范围是. 故选：. 例4．设关于的不等式的解集为，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以一元二次方程的两个根为， 所以根据韦达定理可得，解得， 所以， 故答案为: . 【变式训练3】．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可求得的值. 【详解】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且， 所以，，解得. 故答案为：. 【变式训练4】．（2024·江西·二模）已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可得且方程的解为，再根据韦达定理求得的关系即可得解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以且方程的解为， 则， 所以，即， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 考点3其他不等式解法 例5．（2025·安徽·模拟预测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】求出集合结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 例6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、求对数函数的定义域、分式不等式 【分析】解分式不等式、对数函数的性质求定义域得到集合，再由交运算求结果. 【详解】由，则， 根据对数函数的性质知，则. 故选：D 【变式训练5】．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】先解分式不等式得集合B，再由交集的概念及运算可得结果. 【详解】. 由，可得，所以. 所以. 故选：C. 【变式训练6】．（2025·浙江·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】首先求出集合中的不等式的解集，然后求集合的交集. 【详解】因为集合，所以 当时，；当时，不等式恒成立， 所以或. 所以. 故选：B. 考点4三个二次之间的“关系” 例7．（24-25高三下·江苏南通·阶段练习）已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 则的两根为，则， 所以，解得， 故答案为：. 例8．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知命题：“关于的方程有实根”.若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、已知命题的真假求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由题设知为假命题，结合一元二次方程的判别式求参数范围，再根据充分不必要关系求m范围. 【详解】若为真命题，则为假命题， 此时关于的方程没有实根，满足，解得. 因为是的充分不必要条件，则，可得. 故选：C 【变式训练7】．（2023高三·全国·专题练习）函数的大致图像如图所示，，是函数的两个极值点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数、函数图象的应用、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求得，将已知条件，是函数的两个极值点转化为，是的两个根，再根据韦达定理求解即可． 【详解】因为函数的图像过原点，所以． 又，即，解得， 所以，则， 又，是函数的两个极值点， 所以，是的两个根， 所以，， 所以． 故选：C． 【变式训练8】．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数的图象与轴有且只有一个交点，则（    ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】利用二次函数根的个数可得，由不等式性质以及基本不等式可判断AB正确，再由根据与系数关系可得C错误，计算可得D正确. 【详解】因为有且只有一个零点， 故可得，即. 对于A：等价于，显然，故A正确； 对于B：，当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于C：因为不等式的解集为，故可得，故C错误； 对于D：因为不等式的解集为，且， 则方程的两根为， 故可得，故可得，故D正确. 故选：ABD 考点5一元二次不等式恒成立问题 例9．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 例10．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 【变式训练9】．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 【变式训练10】．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 五、分层训练 1．（2024·河北保定·二模）设集合，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据交集结果求集合或参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】首先根据不等式的解集与对应方程的关系，求，再进行验证，即可求解. 【详解】因为，所以是方程， 即，得， 当时，，解得：，此时， 满足，所以． 故选：C 2．（2025·陕西渭南·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算、分式不等式 【分析】首先求出集合的不等式，然后求这两个集合的并集. 【详解】集合的不等式为：，可求解为. 所以集合. 从而集合的并集为：. 故选：B. 3．（2025高三·四川·专题练习）已知集合，则（   ） A． B． C．（） D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、分式不等式 【分析】先确定集合，再由并集定义求解． 【详解】因为， 所以． 故选：B 4．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先化简集合，再求，最后求交集即可. 【详解】， 则或，则. 故选：B 5．（2024·广东深圳·模拟预测）（多选题）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的解集是 C．若不等式恒成立，则a的取值范围是 D．若关于x的不等式的解集是，则的值为 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断. 【详解】对于A，或，故A错误； 对于B，，故B错误； 若不等式恒成立， 当时，是不可能成立的， 所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确； 对于D，由题意得是一元二次方程的两根， 从而，解得， 而当时，一元二次不等式满足题意， 所以的值为，故D正确. 故选：CD. 6．（多选题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（   ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或， ∴，A选项错误； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：BD 7．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$