专题1.4 等式与不等式的性质（五类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题1.4 等式与不等式的性质 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、比较大小的基本方法 5 知识点2、不等式的性质 5 四、重点难点•分类突破 6 考点1 不等式性质的应用 6 考点2 比较大小与证明不等式 8 考点3 二次不等式及其恒成立问题 10 考点4 不等式的综合问题 14 考点5 糖水不等式 18 五、分层训练 21 A、基础保分 21 B、综合提升 26 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、条件等式求最值 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1．掌握等式与不等式的性质． 2．会比较两个数的大小． 3．理解不等式的性质，并能简单应用． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度 2025年新Ⅱ卷，第4题,5分 分式不等式的解法 简单 2022年新Ⅱ卷，第12题，5分 掌握不等式的性质与会比较两个数的大小． 较难 【2026考向预测】 高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【解题方法总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 四、重点难点•分类突破 考点1 不等式性质的应用 例1．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】探求命题为真的充要条件、比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故是成立的不充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，所以是的充要条件，故B正确； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 当时，成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B 例2．（2025·河南·三模）（多选题）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较函数值的大小关系 【分析】由题意可得，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得， A项:由单调递增，知，故选项A正确； B项:时选项B不正确； C项:由，则，当且仅当时等号成立，∵，∴等号不成立，故选项C正确； D项:构造函数，，∴单调递增，又，得，故选项D不正确． 故选:AC． 【变式训练1】．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 【变式训练2】．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D. 【详解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确. 故选：D. 考点2 比较大小与证明不等式 例3．（2025·湖南永州·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据指数函数的单调性，可以判断的大小；根据作商法可得,可得答案. 【详解】是减函数， ，即， 而，即， ， 故选：B 例4．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较正弦值的大小、比较指数幂的大小 【分析】特殊值法分别判断A，B，C，再结合基本不等式计算判D. 【详解】因为， 对于A：取，所以，A选项错误； 对于B：取，所以，B选项错误； 对于C：取，所以，C选项错误； 对于D，，当且仅当取等号，所以， 因为，所以，当且仅当取等号，所以， 所以，D选项正确. 故选：D 【变式训练3】．（2023·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项. 【详解】因为，所以.， 因为， 且，所以，所以，所以.故. 故选： A 【变式训练4】．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、作商法比较代数式的大小、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】由题意整理对数式，根据已知的大小关系，结合对数的运算律与公式，可得答案. 【详解】由题意可得，， 因为，，所以两边取对数整理可得，，所以 又，，， 且，即， 所以，，所以. 故选：D. 考点3 二次不等式及其恒成立问题 例5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合，再根据交集的定义求出. 【详解】对于不等式，解得或，即集合或. 已知，在集合中满足的元素有，，，所以. 故选：A. 例6（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立. 【详解】因为，所以不等式的解集为. 故答案为：. 例7．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据已知条件知命题“，”为真命题，再分类讨论，即可求解. 【详解】由题意可知，命题“，”为真命题. 当时，可得. 若，则有，符合题意； 若，则有，解得，不符合题意； 当时，则，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 例8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、特称命题的否定及其真假判断 【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解. 【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即， 解得，所以实数x的取值范围为. 故选：C 【变式训练5】．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 【变式训练6】．（23-24高三上·天津北辰·期中）集合，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算． 【详解】由已知，， 所以， 故答案为：． 【变式训练7】．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】通过参数分离等价转化不等式，再求二次函数在给定区间的最值，即可求出a的取值范围． 【详解】由不等式对恒成立， 可转化为对恒成立，即， 而， 当时，有最大值，所以， 故答案为：． 【变式训练8】．（2025·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】先由得，由基本不等式得，故. 【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得， 故选：C 考点4 不等式的综合问题 例9．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】首先将集合中的不等式的解集求出来，然后求. 【详解】对于集合，，解得. 对于集合，，解得. 所以集合，集合. 所以. 故选：B. 例10．（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】先化不等式为，根据分式的符号得到不等式等价于，解不等式组即可求解. 【详解】由得，即， 整理得：，即， 即，解得或， 故不等式的解集为. 故答案为： 例11．已知，当时，恒成立，则b的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化问题为，恒成立，令，，结合导数分析其单调性，从而求得最值，可得，，进而结合不等式的基本性质求解即可. 【详解】由题意，即，恒成立， 即， 即， 即． 令，， 则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 又，，， 且，即， 所以的最小值为，最大值为． 由知，，， 设， 即， 则，解得，， 所以， 因为，， 所以， ， 则， 即， 所以b的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将问题转化为，恒成立，进而结合导数分析其最值，最后结合不等式的基本性质求解. 【变式训练9】．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先解对数不等式得出集合A，再计算分式不等式得出集合B，即可求解交集. 【详解】集合， ， 则. 故选：B. 【变式训练10】．函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、分式不等式 【分析】由根式函数定义域的求法得到，再转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】由，得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练11】．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选项A，将平方后与相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值；选项B，利用不等式可求出的最大值；选项C和D，将选项与题设条件相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值. 【详解】对于选项A， ， 当且仅当且即时，等号成立， 所以，， 故A正确； 对于选项B，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，解得， 故B正确； 对于选项C，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故C错误； 对于选项D，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 故D正确； 故选：C. 考点5 糖水不等式 例12．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 例13．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了. 【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以. 故选：D 【变式训练12】．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、运用换底公式化简计算 【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误. 故选：A. 【变式训练13】．（多选题）（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】 利用举反例和不等式得性质进行判断. 【详解】当为负数时A可能不成立，例如但是错误的. 因为根据不等式性质可得正确. 因为，所以所以即所以故C错误. 因为，所以， 所以正确. 故选：BD 五、分层训练 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合，再根据交集的定义求出. 【详解】对于不等式，解得或，即集合或. 已知，在集合中满足的元素有，，，所以. 故选：A. 2．（2025·浙江·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】首先求出集合中的不等式的解集，然后求集合的交集. 【详解】因为集合，所以 当时，；当时，不等式恒成立， 所以或. 所以. 故选：B. 3．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】探求命题为真的充要条件、由对数函数的单调性解不等式、比较指数幂的大小、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用特值或者函数单调性，结合充要条件的判定可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故是成立的不充分条件， 反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，所以是的充要条件，故B正确； 对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件， 当时，成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，所以由，得， 所以是的充分不必要条件，故D错误. 故选：B 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】解不等式化简集合，再利用集合的包含关系求解. 【详解】依题意，，， 因为⫋，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得. 【详解】因命题为真，故在上恒成立， 故，解得， 故命题为真的一个充分不必要条件为的子集， 故选：B 7．（2025·江西九江·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分式不等式、根式不等式、交集的概念及运算 【分析】分别求得两个集合，用交集的运算性质计算即可. 【详解】由题意可知，，则. 故选：B 8．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、分式不等式 【分析】根据分式不等式求解集合A及，然后按照和分类讨论，根据集合的关系列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，所以或， 所以或，所以， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 二、多选题 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】通过构造函数求导分析单调性，利用单调性判断不等式可确定AB，再构造求导分析单调性可证明，举例易得不恒成立. 【详解】对于A，构造函数，，所以在R上单调递增，又，所以，即，故A错误； 对于B，，， 即，故B正确； 对于C，令，，所以在单调递减，，故C正确； 对于D，当，时，，故D错误； 故选：BC. 10．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】A选项，由基本不等式得到，得到；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，平方后得到，结合A知；D选项，，故D正确. 【详解】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 11．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 12．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可. 【详解】设，则，. 原不等式可化为：. 因为，所以，. 当时，，所以在恒成立，所以； 当时，，所以成立； 当时，，所以在上恒成立，所以. 综上可得：. 故选：A 13．（多选题）下列叙述不正确的是（    ） A．的解是 B．“”是“”的充要条件 C．已知，则“”是“”的必要不充分条件 D．函数的最小值是 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式、基本不等式求和的最小值 【分析】利用分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、均值不等式判断各选项即可. 【详解】选项A：的解是或，故A不正确； 选项B：由得，恒成立则或，解得 ，所以“”是“”的充要条件，故B正确； 选项C：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 选项D：由均值不等式得，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值大于，故D不正确； 故选：AD 14．（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式证明不等关系、指数不等式 【分析】A：由条件等式得，结合基本不等式即可判断正误；B：由题设及A得，令有即可判断正误；C：结合A，易得，由基本不等式即可判断正误；D：通过基本不等式证，进而可判断D的正误. 【详解】A：由，又，得，所以，正确； B：由，当时有，此时，错误； C：由，所以，正确； D：由，所以，正确. 故选： 【点睛】关键点点睛：由条件等式或将目标式中的代数式作代数式的恒等变形，再结合基本不等式、指对数的运算性质及特殊值判断各项正误. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 等式与不等式的性质 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 4 【课程标准】 4 【考情分析】 4 【2026考向预测】 5 三、知识点•逐点夯实 5 知识点1、比较大小的基本方法 5 知识点2、不等式的性质 5 四、重点难点•分类突破 6 考点1 不等式性质的应用 6 考点2 比较大小与证明不等式 8 考点3 二次不等式及其恒成立问题 10 考点4 不等式的综合问题 14 考点5 糖水不等式 18 五、分层训练 21 A、基础保分 21 B、综合提升 26 一、5年高考•真题感悟 1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 1．掌握等式与不等式的性质． 2．会比较两个数的大小． 3．理解不等式的性质，并能简单应用． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度 2025年新Ⅱ卷，第4题,5分 分式不等式的解法 简单 2022年新Ⅱ卷，第12题，5分 掌握不等式的性质与会比较两个数的大小． 较难 【2026考向预测】 高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法 与0比较 做商法 与1比较 或 或 知识点2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向 可加性 同向同正 可乘性 可乘方性 【解题方法总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 四、重点难点•分类突破 考点1 不等式性质的应用 例1．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·河南·三模）（多选题）已知，c为实数，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点2 比较大小与证明不等式 例3．（2025·湖南永州·三模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·北京延庆·一模）设x，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2023·广东·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】．（2025·广东广州·模拟预测）已知，.设，，，则（   ） A． B． C． D． 考点3 二次不等式及其恒成立问题 例5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 例6（2024·上海奉贤·一模）已知，则不等式的解集为 ． 例7．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 例8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（23-24高三上·天津北辰·期中）集合，，则 ． 【变式训练7】．（2024·广西·模拟预测）若不等式对恒成立，则a的取值范围是 ． 【变式训练8】．（2025·辽宁鞍山·二模）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点4 不等式的综合问题 例9．（2025·福建泉州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例10．（2025·北京·模拟预测）不等式的解集为 . 例11．已知，当时，恒成立，则b的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练10】．函数的定义域为 . 【变式训练11】．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点5 糖水不等式 例12．（2024高二下·湖北·学业考试）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 例13．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式训练12】．克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练13】．（多选题）（2024·安徽淮北·一模）已知，，，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 五、分层训练 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·三模）下列四个条件中，使成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合，，若⫋，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江西九江·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则下列不等式恒成立的有（    ） A． B． C． D． 10．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）下列叙述不正确的是（    ） A．的解是 B．“”是“”的充要条件 C．已知，则“”是“”的必要不充分条件 D．函数的最小值是 14．（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$