精品解析：2025届新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第五中学高三三模数学试题

巴楚县第五中学2025年5月第三次高考模拟卷数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若的虚部为，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 2. 已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量满足则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 8 5. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为（ ） A. p B. 2p C. D. 3p 8. 将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某电影公司为了解某部电影的宣传对票房的影响，在某市随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下： （万元） 5 6 7 8 9 （万元） 55 60 75 80 由统计数据知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与负相关 B. 当时，残差为（残差观测值预测值） C. 当时，销售额约为94万元 D. 10. 已知函数则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 图象的对称中心为 C. 在区间上的值域为 D. 在区间上恰有3个极值点 11. 若函数在其图象上两个不同点处的切线完全重合，则称直线为曲线的“自公切线”，为“自公切线函数”，则（ ） A. 函数是“自公切线函数” B. 函数.是“自公切线函数” C. 曲线.的“自公切线”方程为y=1 D. 曲线的“自公切线”方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 13. 若，且，则__________. 14. 若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）若，求 （2）当取最小值时，求. 16. 电信诈骗是指通过电话､网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程､非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示. 性别 是否熟悉“反诈”知识 合计 不熟悉 熟悉 男 24 16 40 女 12 48 60 合计 36 64 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关？ （2）为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩X近似服从正态分布，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩； （3）为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为元，求的期望和方差. 参考公式 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：若随机变量则 17. 如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为棱的中点，证明：平面 ； （2）若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 18. 已知函数 （1）若，讨论的单调性； （2）若，且关于x的方程恰有两个不等实根，求b的取值范围； （3）若，数列的前项和为，且证明： 19. 过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． （1）若，点，求； （2）若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； （3）若，圆具有性质，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第五中学2025年5月第三次高考模拟卷数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若的虚部为，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求复数，根据复数的虚部为即可求解. 【详解】因为的虚部为， 所以，解得． 故选：A． 2. 已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 3. 已知平面向量满足则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知求得的值，即可求出在上的投影向量. 【详解】因为，所以，解得， 所以在上的投影向量为. 故选：A. 4. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质有即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 5. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 故选：D． 6. 甲､乙､丙､丁四名农业专家被派驻到A，B，C三个村进行农业技术指导，若要求每个村至少派驻一名专家，且每名专家只能被派驻到一个村，则在甲被派驻到A村的条件下，甲､乙被派驻到同一个村的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】法一：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村， 则，由题意可知将甲，乙，丙，丁四人分为3组， 再将这3组分配给三个村，则基本事件的总数为， 若事件同时发生，则甲，乙均被派驻到村，派驻方法有种， 所以，所以. 法二.：记事件表示甲被派驻到村，事件表示甲，乙被派驻到同一个村， 由题意可知甲被派驻到村有两种情况， ①被派驻到村的只有甲一人，派驻方法有种，此时甲，乙不在同一个村； ②被派驻到村的有两人，其中一人是甲，派驻方法有种， 其中甲，乙在同一个村的派驻方法有种， 所以. 故选：A. 7. 已知不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦的中点到y轴距离的最小值为（ ） A. p B. 2p C. D. 3p 【答案】B 【解析】 【分析】设弦的中点为，抛物线的准线为，焦点为，过点作于点，过点作于点，过点作于点，利用抛物线的定义求得，结合图形得到当直线过点时，取得最小值即可求得答案. 【详解】 如图，设弦的中点为，抛物线的准线为，焦点为， 过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， 连接，则有，当直线过点时取等号， 所以，则，即弦的中点到轴距离的最小值为. 故选：B. 8. 将边长为的正方形沿着对角线折起，使点到达点的位置，得到三棱锥，点平面，且若则点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出几何图形，结合线面垂直、面面垂直的判定性质，借助勾股定理确定点的轨迹，进而求出轨迹长. 【详解】如图，取棱的中点，连接，则， 又平面，则平面，由平面， 得平面平面，在中，，由余弦定理得 ，为钝角，且， 在平面内过点作交的延长线于点，而平面平面， 于是平面，连接，又平面，则， 在中，， 在中，，， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点的轨迹长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某电影公司为了解某部电影的宣传对票房的影响，在某市随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下： （万元） 5 6 7 8 9 （万元） 55 60 75 80 由统计数据知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与负相关 B. 当时，残差为（残差观测值预测值） C. 当时，销售额约为94万元 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由回归方程结合正负相关的定义分析判断，对于B，根据残差的定义分析判断，对于C，将代入回归方程计算判断，对于D，先求出，然后将其代入回归方程可求出. 【详解】对于A，由，可知随的增大而增大，所以变量与正相关，故A错误； 对于B，当时，，残差为，故B正确； 对于C，当时，，所以当时，销售额约为94万元，故C正确； 对于D，因为，， 由经过点，得，解得，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知函数则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 图象的对称中心为 C. 在区间上的值域为 D. 在区间上恰有3个极值点 【答案】AB 【解析】 【分析】由整体代换可判断AB，由，得到，可判断C，由得到，结合极值点的概念可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，令，得，所以图象的对称中心为，故B正确； 对于C，当时，，则，故C错误； 对于D，当时，，结合的图象可知，此时恰有2个极值点，故D错误. 故选：AB. 11. 若函数在其图象上两个不同点处的切线完全重合，则称直线为曲线的“自公切线”，为“自公切线函数”，则（ ） A. 函数是“自公切线函数” B. 函数.是“自公切线函数” C. 曲线.的“自公切线”方程为y=1 D. 曲线的“自公切线”方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“自公切线函数”的定义，可推得在某区间内不单调，利用求导判断导函数的单调性即可判断A，B两项，对于C，D两项，利用导函数，确定导函数的值相等时对应的两个切点，或借助于导函数的奇偶性和单调性求得“自公切线”方程即可判断. 【详解】对于A，若为“自公切线函数”，则在某区间内不单调， 由，得，因在上单调递增， 故不是“自公切线函数”，故A错误； 对于B，因为，所以， 当时，， 则在点处的切线方程为，即， 所以是“自公切线函数”，故B正确； 对于C，当时，，则， 当时，，则，所以，， 所以曲线在点和点处的切线方程均为， 即曲线的“自公切线”方程为，故C正确； 对于D，因为，所以， 则，所以为上的偶函数， 令，则，当时，，当时，， 所以即在上单调递减，在上单调递增， 所以必存在，且，使得，且， 不妨设两切点分别为， 因为，则，所以为奇函数， 又，所以切点关于原点对称，且切线的斜率， 又，，所以， 整理得，解得或，取，则， 故曲线的“自公切线”方程为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意找到满足三个条件的函数即可. 【详解】取，满足条件①．， 满足条件②．在区间上单调递减，满足条件③． 故满足题意． 故答案为：（答案不唯一） 13. 若，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合余弦二倍角公式求得，再结合半角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或， 又，所以， 所以， 所以， 故答案为： 14. 若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设公切线分别与曲线，相切于点，，分别求切线方程，即可有，，得，令，，利用导数研究单调性，进而得即可求解. 【详解】由题意知，， 设公切线分别与曲线，相切于点，，则，， 所以公切线方程为，， 即，，所以，， 所以， 令，，， 所以，由，得,由，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，且时，，时，， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）若，求 （2）当取最小值时，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，结合已知可求得，利用余弦定理可求得； （2）利用余弦定理可得，再利用基本不等式可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为，所以，又， 所以由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以由余弦定理得， 当且仅当，即时等号成立， 所以当取最小值时，. 16. 电信诈骗是指通过电话､网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程､非接触式诈骗的犯罪行为.为打击电信诈骗犯罪活动，我国各地积极开展各类“反诈”知识宣传，并取得了显著的效果.某社区为调查该社区市民对“反诈”知识的熟悉情况，进行了一次抽样调查.调查结果如列联表所示. 性别 是否熟悉“反诈”知识 合计 不熟悉 熟悉 男 24 16 40 女 12 48 60 合计 36 64 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关？ （2）为了增强市民的防范意识，该社区举办了一次“反诈”知识竞赛.已知参加本次知识竞赛的市民的竞赛成绩X近似服从正态分布，若有15.865%的参赛市民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩； （3）为了进一步增强市民的“反诈”意识，参加了知识竞赛的市民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知参加了知识竞赛的市民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王获得话费为元，求的期望和方差. 参考公式 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据：若随机变量则 【答案】（1）与性别有关 （2）83 （3）60，600 【解析】 【分析】（1）通过计算卡方值与题中的小概率值比较，即可判断； （2）通过计算得到，结合，，即可估计预期的平均成绩； （3）记小王答对题的数量为，则，由题意得，利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得. 【小问1详解】 零假设为：该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别无关， 经计算得， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可认为该社区市民是否熟悉“反诈”知识与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 因为， 又，， 故本次知识竞赛预期的平均成绩大约为83. 【小问3详解】 记小王答对题的数量为，则，由题意得， 则， 所以， . 17. 如图，在△中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至 ，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为棱的中点，证明：平面 ； （2）若，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为. （ⅰ）求 ； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】（1）因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】）取的中点，连接，，则，通过证明平面平面，由面面平行的性质定理即可求证； （2）（ⅰ）证明平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值求，即可求解； （ⅱ）求平面的法向量为，利用空间向量法求距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，， 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为． 18. 已知函数 （1）若，讨论的单调性； （2）若，且关于x的方程恰有两个不等实根，求b的取值范围； （3）若，数列的前项和为，且证明： 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） （3） 当时，， 令， 则， 令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以，且， 所以， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，对分类讨论可求得函数的单调区间； （2）由题意分离变量可得，令，通过导数，利用函灵数的变化情况可求得的取值范围； （3）令，求导可得，进而可得，进而计算可得结论. 【小问1详解】 若，则， 所以， 当时，， 则在上单调递增； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 若，则， 由，得 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以， 且当趋向于0时，趋向于，当趋向于时，趋向于0， 且时，, 因为关于的方程恰有两个不等实根， 所以直线与的图象有两个交点， 所以， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． （1）若，点，求； （2）若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； （3）若，圆具有性质，求． 【答案】（1） （2）圆不具有性质，理由：取，圆， 设切线方程为，， 由，解得， 将直线代入， 解得或或， 假设，， 则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切， 所以圆不具有性质； （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意求出三点的坐标，再利用余弦定理即可得解； （2）取，设切线方程为，，根据圆心到切线的距离等于半径即可求出，再联立切线与抛物线的方程，求出两点的坐标，结合性质的定义即可得出结论； （3）取，设切线方程为，，根据圆心到切线的距离等于半径得出的关系，再联立切线与抛物线的方程，从而可求出直线的方程，再结合性质的定义即可得出答案. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，，， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取，圆， 设切线方程为，，则，① 将直线代入，解得，或，， 假设，由对称性可得， 所以直线的方程为，由直线和圆相切，可得，② 由①②解得，． 下面证明当时，满足条件． 设，，，， 则， 所以直线的方程为， 即， 同理得直线的方程为， 所以直线的方程为． 由直线与圆相切，得， 即， 同理由直线与圆相切得， 所以，为方程的两个根， 所以，， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相切，所以． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $