精品解析：四川省遂宁市射洪市 射洪中学校2024-2025学年八年级下学期6月月考数学试题

射洪中学2025年上期初2023级第二次核心素养评价数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一．选择题（共17小题，每小题3分，共51分） 1. 下列式子：，其中是分式的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，如果A和B是两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：由分式的定义可得，分式有共2个， 故选：A． 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 本题考查了科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列有关四边形的命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了真命题的判定，掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法是关键． 根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法确定命题的真假即可． 【详解】解：A、如图所示，等腰梯形， ，四边形不是平行四边形，故一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形是假命题，不符合题意； B、如图所示，等腰梯形，，四边形不是矩形，故对角线相等的四边形是矩形是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形是真命题，符合题意； D、四条边相等的四边形是菱形，故原选项是假命题，不符合题意； 故选：C ． 4. 点A关于y轴的对称点A1坐标是（2，-1），则点A关于轴的对称点A2坐标是（　　） A. （-1，-2） B. （-2，1） C. （2，1） D. （2，-1） 【答案】B 【解析】 【分析】由题意由对称性先求出A点坐标，再根据对称性求出点关于轴的对称点坐标． 【详解】解：由点关于轴的对称点坐标是，可知A为，则点关于轴的对称点坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查对称性，利用点关于轴对称，横轴坐标变为相反数，纵轴坐标不变以及点关于轴对称，纵轴坐标变为相反数，横轴坐标不变进行分析． 5. 下列曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义． 设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断． 【详解】解：A、不符合函数的定义，不是的函数，故此选项符合题意； B、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； C、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； D、符合函数的定义，是的函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 6. 在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】既是轴对称图形又是中心对称图形的是：线段、矩形、菱形、正方形，共4个， 故选B． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 7. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数和中位数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．找出处于最中间的两位数取他们的平均数，即为中位数． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点到x轴的距离是3 B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C. 若，则点在y轴上 D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握点的坐标特点是解题关键． 直接利用各象限内点的坐标特点，分别分析得出答案． 【详解】解：A．点到轴距离是2，故此选项不合题意； B．在平面直角坐标系中，点和点不是同一个点，故此选项不合题意； C．若，则点在轴上，故此选项不合题意； D．在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号，故此选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据等腰三角形的性质得出，从而有． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可． 【详解】解：分两种情况： 当时，函数的图象经过一三四象限，的图象分布在一三象限； 当时，函数的图象经过一二四象限，的图象分布在二四象限； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限． 11. 如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数的图像性质和一次函数的图像性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据图像可得：要使，需图像在图像的上方，由此即可得解． 【详解】根据题图可得， 当或时，． 故选：C． 12. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M在边上，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是4，则的长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点于点，于点，证明四边形是正方形，进而证明，得到，即四边形的面积等于正方形的面积，从而求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点于点，于点， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形面积是4， ， ， ，， ， 故选：C 13. 已知点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，熟知一次函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接根据即可得出随的增大而增大，进而可求k的取值范围． 【详解】解：点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，， 随的增大而增大， ， ， 故答案为：A． 14. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解：使分式方程左右两边成立的未知数的值叫分式方程的解，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视． 先解方程，用含有m的式子表示出方程的解，再根据分式方程的解为正数，并且分母不为零，可得到满足条件的m的范围． 【详解】解： 去分母，可得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正实数， ∴，解得， 又∵， ∴， 综上，且， 故选：D． 15. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲每分钟走100米 B. 甲比乙提前3分钟到达B地 C. 两分钟后乙每分钟走50米 D. 当或6时，甲乙两人相距100米 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断A选项；根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断B选项；根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的路程是500-300=200米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断C选项；根据图象，可以分别计算出x=2和x=6时，甲乙两人的距离，从而可以判断D选项． 【详解】解：由图象可得， 甲每分钟走：600÷6=100（米），故A选项正确，不符合题意； 两分钟后乙每分钟走：（500-300）÷（6-2）=200÷4=50（米），故C选项正确，不符合题意； 乙到达B地用的时间为：2+（600-300）÷50=2+300÷50=2+6=8（分钟），则甲比乙提前8-6=2分钟达到B地，故B选项错误，符合题意； 当x=2时，甲乙相距300-100×2=300-200=100（米）， 当x=6时，甲乙相距600-500=100米，故D选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答． 16. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键.连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选：D. 17. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF，下列结论： ①△ABG≌△AFG；② BG=GC；③ AG∥CF；④∠GAE=45°． 则正确结论的个数有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出AB=AD=DC=6，∠B=D=90°，求出DE=2，AF=AB，根据HL推出Rt△ABG≌Rt△AFG，推出BG=FG，∠AGB=∠AGF，设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2，在Rt△ECG中，由勾股定理得出（6-x）2+42=（x+2）2，求出x=3，得出BG=GF=CG，求出∠AGB=∠FCG，推出AG∥CF，根据全等得出∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD=DC=6，∠B=D=90°， ∵CD=3DE， ∴DE=2， ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴DE=EF=2，AD=AF，∠D=∠AFE=∠AFG=90°， ∴AF=AB， ∵在Rt△ABG和Rt△AFG中 ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）． ∴①正确； ∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG=FG，∠AGB=∠AGF． 设BG=x，则CG=BC-BG=6-x，GE=GF+EF=BG+DE=x+2．在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2+CE2=EG2． ∵CG=6-x，CE=4，EG=x+2， ∴（6-x）2+42=（x+2）2，解得：x=3． ∴BG=GF=CG=3． ∴②正确； ∵CG=GF， ∴∠CFG=∠FCG． ∵∠BGF=∠CFG+∠FCG，∠BGF=∠AGB+∠AGF， ∴∠CFG+∠FCG=∠AGB+∠AGF． ∵∠AGB=∠AGF，∠CFG=∠FCG， ∴∠AGB=∠FCG． ∴AG∥CF． ∴③正确； ∵△ADE沿AE折叠得到△AFE， ∴△DAE≌△FAE． ∴∠DAE=∠FAE． ∵△ABG≌△AFG， ∴∠BAG=∠FAG． ∵∠BAD=90°， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=×90°=45°． ∴④正确． 故选D． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的运用，依据翻折的性质找出其中对应相等的线段和对应相等的角是解题的关键． 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 18. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 19. 将的结果化为只含有正整数指数幂的形式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考考查了负整数指数幂，积的乘方和单项式乘以单项式等计算，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后根据负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解； ， 故答案为；． 20. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 21. 如图，点A在反比例函数（）的图象上，C是y轴上一点，过点A作轴，垂足为B，连接、．若的面积为2，则k的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，结合函数图象位置、去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】连接，如图， ∵轴， ∴ ∴， 而， ∴， ∴， ∵函数图象在第一象限 ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义；熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题的关键，在反比例函数图象上任取一点，过这点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是． 22. 若关于x的分式方程无解，则________． 【答案】4或2##2或4 【解析】 【分析】先把分式方程去分母得到，再分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵分式方程无解， ∴当，即时满足题意； 当时，则， ∴； 综上所述，或， 故答案为：4或2． 【点睛】本题考查了根据分式方程无解求字母的值，理解分式方程无解的意义，进行分类讨论是解题关键． 23. 如图，直线与在第二象限交于点，交轴、轴分别于，两点．，则方程的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得即可． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， 当时，由得，则， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得，则， ∴方程的，解为， 故答案为：． 三．计算题：（共4小题每小题6分，共24） 24. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义，先根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 25. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解题关键． 根据分式的乘除法法则计算即可得出答案． 【详解】解： ． 26. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，先去分母，再去括号，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，再检验即可. 【详解】解：， 方程两边同时乘以， 得， 去括号，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 27. 先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，利用分式减法运算求解，再将分式分子分母因式分解，将除法转化为乘法，利用分式乘除运算法则计算即可化简，再由分式分母不能为零得到，再由，且为整数，得到，代入化简结果求值即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ，且为整数， 取值为， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及分式加减乘除运算法则、通分、因式分解、分式有意义的条件、不等式整数解等知识，熟练掌握分数混合运算法则是解决问题的关键． 四．计算题：（共5个小题，共51分） 28. 如图，菱形的对角线相交于点O，且，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，即可得证； （2）根据矩形的对角线相等，得到，菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式，对角线乘积的一半进行计算即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∵菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴菱形的面积为． 29. 某中学举办“信息技术知识答题竞赛”，八、九年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加学校决赛，现将两个队各选出的5名选手的决赛成绩绘制成如下统计图表． 八、九年级决赛成绩的条形统计图 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 八年级 85 85 70 九年级 80 （1）根据图表信息填空：______，______，______； （2）计算九年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【答案】（1）85，85，100；（2）八年级代表队选手成绩较为稳定 【解析】 【分析】（1）根据中位数、平均数、人数定义完成即可； （2）利用方差公式即可计算九年级代表队决赛成绩的方差，利用方差大小比较稳定性，方差越小越稳定． 【详解】（1）根据条形统计图知，a=85，，c=100． 故答案为：85，85，100． （2） ， ∵， ∴八年级代表队选手成绩较为稳定． 【点睛】本题考查方差、中位数、众数等知识，关键是掌握这些基本知识，并善于从统计图中获取相关信息，在统计与概率中属于常考题型． 30. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场节后每千克A粽子的进价是10元； （2）商场节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元，根据节前用240元购进粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．列出分式方程，解方程即可； （2）设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子，根据总费用不超过4600元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为元，由题意列出与的函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该商场节后每千克粽子的进价是元，则节前每千克粽子的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：该商场节后每千克粽子的进价是10元； 【小问2详解】 设该商场节前购进千克粽子，则节后购进千克粽子， 由题意得：， 解得：， 设总利润为元， 由题意得：， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：该商场节前购进300千克粽子获得利润最大，最大利润是3000元． 31. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①直接写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，求代数式的值，（直接写出结果）． 【答案】（1）不是，4；（2）①18；②；（3）①或（）；② 【解析】 【分析】（1）过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，得到，于是矩形的周长为，面积为，不相等，判断即可；根据点是第一象限内的一个“美好点”，得到，解答即可． （2）①根据点是“美好点”（），得到，确定m的值，继而得到点，把确定的坐标代入解析式确定k值即可； ②把代入双曲线中，得到，得到，过点F作轴于点H，交的延长线于点G，设，直线的解析式为，确定直线的解析式，点G的坐标，根据解答即可． （3）①根据定义，得，整理表示y即可． ②根据，变形得即，变形解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D，E，根据题意，得， ∴矩形的周长为，面积为，不相等， ∴点不是“美好点”； ∵点是第一象限内的一个“美好点”， ∴， 解得． （2）①∵点是“美好点”（）， ∴， 解得， ∴点， 把代入解析式中，得， 解得； ②∵， ∴双曲线的解析式为， ∵点在上， 解得， 故点， 过点F作轴于点H，交的延长线于点G， 设，直线解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （3）①∵点是第一象限内的“美好点”． ∴， ∴， ∵点是第一象限内的“美好点”， ∴， ∴， ∴， ∴或． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查了矩形的周长和面积，点的坐标特点，待定系数法求反比例函数，正比例函数的解析式，分割法求图形的面积，正确理解新定义，熟练掌握待定系数法，分割法求图形的面积是解题的关键． 32. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． （1）求反比例和一次函数解析式． （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围． （3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 【答案】（1）， （2）0≤m≤ （3）点N坐标为（，）；点M的坐标为（，） 【解析】 【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解； （3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标． 【小问1详解】 解：延长AD交x轴于F， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB=OD=AD，AD∥OB， 则AF⊥x轴， ∵点D坐标为（4，3）， ∴OF=4，DF=3， ∴OD=5，即OB=AD=5， ∴A（4，8），B（0，5）， ∴k=4×8=32， ∴反比例函数的解析式为； 将A、B坐标代入中，得 ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处， ∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3）， ∴， ∴m= ， ∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤． 【小问3详解】 解：存在，理由为： 如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°， 由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°， 则∠NOB=∠FOD， 又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD， ∴△ONB≌△OFD（AAS）， ∴S△ONB=S△OFD，则， ∴NH=， ∵点N在直线AB上， ∴当x=时，， ∴点N坐标为（，）； 设M（x，），则x+0=+4， 解得：x=，， ∴点M的坐标为（，）． 【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学2025年上期初2023级第二次核心素养评价数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一．选择题（共17小题，每小题3分，共51分） 1. 下列式子：，其中是分式的个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 随着科技水平的发展，我国新能源汽车产业越来越发达，新能源汽车中的锂电池需要用到碳纳米管，碳纳米管属于一维纳米材料，具有高强度和高导电导热性的优秀性能，目前，我国已具备研制直径为米的碳纳米管，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列有关四边形命题中，是真命题的是（　　） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形 D. 四条边相等的四边形是正方形 4. 点A关于y轴的对称点A1坐标是（2，-1），则点A关于轴的对称点A2坐标是（　　） A. （-1，-2） B. （-2，1） C. （2，1） D. （2，-1） 5. 下列曲线中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形这几个图形中，既是轴称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 点到x轴的距离是3 B. 在平面直角坐标系中，点和点表示同一个点 C. 若，则点在y轴上 D. 在平面直角坐标系中，第三象限内点的横坐标与纵坐标同号 9. 如图，在中，E是边上一点，，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 如图所示是一次函数和反比例函数的图像，观察图像，当时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 12. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点M在边上，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是4，则的长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 13. 已知点，在一次函数（k、b为常数）的图象上，且，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 15. 已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 甲每分钟走100米 B. 甲比乙提前3分钟到达B地 C. 两分钟后乙每分钟走50米 D. 当或6时，甲乙两人相距100米 16. 如图，矩形中，连接，延长至点E，使，连接．若．则的度数是（ ） A. B. C. D. 17. 如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF，下列结论： ①△ABG≌△AFG；② BG=GC；③ AG∥CF；④∠GAE=45°． 则正确结论的个数有( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 18. 函数中自变量x的取值范围是________． 19. 将的结果化为只含有正整数指数幂的形式为____________． 20. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 21. 如图，点A在反比例函数（）的图象上，C是y轴上一点，过点A作轴，垂足为B，连接、．若的面积为2，则k的值为_____． 22. 若关于x的分式方程无解，则________． 23. 如图，直线与在第二象限交于点，交轴、轴分别于，两点．，则方程的解为____． 三．计算题：（共4小题每小题6分，共24） 24. 计算： 25. 计算：． 26. 解方程：． 27. 先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 四．计算题：（共5个小题，共51分） 28. 如图，菱形对角线相交于点O，且，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形的面积． 29. 某中学举办“信息技术知识答题竞赛”，八、九年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加学校决赛，现将两个队各选出的5名选手的决赛成绩绘制成如下统计图表． 八、九年级决赛成绩的条形统计图 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分） 八年级 85 85 70 九年级 80 （1）根据图表信息填空：______，______，______； （2）计算九年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 30. 端午节吃粽子，是中国传统习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题： （1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ （2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 31. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点 “美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）①若“美好点”（）在双曲线（，且k为常数）上，则 ； ②在①的条件下，在双曲线上，求的值． 【拓展延伸】： （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①直接写出y关于x的函数表达式及自变量的取值范围 ②对于图象上任意一点，求代数式的值，（直接写出结果）． 32. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为． （1）求反比例和一次函数解析式． （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形边AD始终有交点，求m的取值范围． （3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $