精品解析：山东省德州市齐河县2024-2025年学年下学期期中考试八年级数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试八年级数学试题 一、单选题（每题4分） 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，正确记忆相关知识点是解题关键．根据函数定义，在自变量x的取值范围内，有且只有一个y值，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于C选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数； 而A、B、D三个选项中的图象，与图象有两个或多个交点，从而不能表示y是x的函数； 故选：C． 2. 下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意； C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，它无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定：对角线相互垂直的平行四边形是菱形；一组对边相等的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形；根据菱形的判定进行判断即可． 【详解】解：①根据对角线相互垂直平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，①满足题意； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，②不满足题意； ③根据一组对边相等的平行四边形是菱形知，平行四边形是菱形，③满足题意； ④根据对角线相等的平行四边形是矩形知，平行四边形是矩形，④不满足题意； 故满足题意的有①③； 故选：A． 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算以及无理数的估算．熟练掌握二次根式乘法法则，“夹逼法”估算是解题的关键． 先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值在0和1之间． 故选：A． 5. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．大意是：如图，水池底面的宽丈（丈等于尺），芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，芦苇的长度是（ ）尺． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； ∴芦苇的长度是尺 故选：C． 6. 已知，化简的结果正确的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，化简绝对值，先判断，，再利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； 故选：D 7. 在中，平分线分边为和两部分，则的周长为（ ） A B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，把分成和两部分，没有明确哪部分是，哪部分是，故分两种情况，熟练掌握分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，， ， ∵四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 的周长为； 如图，， ， 同理可得， 的周长为， 故选：D． 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形的性质，矩形的性质，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得到，则可求出，即可解答，熟知上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 垂直平分，点G是的中点， ， ， ， ， ， 故选：D． 9. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得， 则， 因为F是线段AD的中点，求出长，然后根据求出长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴， ∴， ∵是线段的中点，， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， 故选： D． 10. 如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A. （，3） B. （，3） C. （，3） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质和矩形的性质证出OP=BP，设OP=BP=x，则PC=6﹣x，再用勾股定理建立方程9+（6﹣x）2=x2，求出x即可． 【详解】∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P， ∴∠A'OB=∠AOB， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA， ∴∠OBC=∠AOB， ∴∠OBC=∠A'OB， ∴OP=BP， ∵点B的坐标为（6，3）， ∴AB=OC=3，OA=BC=6， 设OP=BP=x，则PC=6﹣x， 在Rt△OCP中，根据勾股定理得，OC2+PC2=OP2， ∴32+（6﹣x）2=x2， 解得：x=， ∴PC=6﹣=， ∴P（，3）， 故选：A． 【点睛】此题主要考查折叠和矩形的性质以及利用勾股定理构建方程，熟练掌握，即可解题. 11. 如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作点E关于的对称点为，连接交于点P，可得，，根据勾股定理求出，可得周长，即可求解． 【详解】解：作点E关于的对称点为，连接交于点P，如图所示， ∵E关于的对称点为， ∴，， ∵正方形的边长为2，点为边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵周长， 又∵， ∴周长， ∴周长最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质． 12. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题（每题4分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，要使二次根式有意义，被开方数为非负数，据此列不等式求解即可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 14. 如图，在数轴上点A表示，点B表示，过点B作，使，连接．以点A为圆心、线段长为半径画弧，交数轴于点K，则在数轴上点K表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示无理数， 先根据勾股定理求出，可得点K到原点的距离，进而得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， ∴点K到原点的距离为， ∴点K表示的数为． 故答案为：． 15. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用以及二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式和二次根式的运算法则是解题的关键． 本题可先对所求式子进行变形，然后将已知条件代入变形后的式子，通过计算得出结果． 【详解】解： 把代入可得： 故答案为： 16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：如图，连接AE、AF， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF 中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 17. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以，为邻边作，的对角线相交于点，再以，为邻边作，的对角线相交于点．依次类推，则的顶点的坐标为__________． 【答案】(，) 【解析】 【分析】首先分别求得、、等几个点的坐标，即可得到规律，从而求得的坐标． 【详解】∵正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点， ∴的坐标为(，)， ∵四边形是平行四边形， ∴的坐标为(，)，即(，)， ∵是平行四边形对角线的交点， ∴坐标为(，)， 同理，的坐标为(，)，即(，)， 的坐标为(，)， 的坐标为(，)，即(，)， ∴的坐标为(，)， ∴的坐标为(，)， 故答案为：(，) ． 【点睛】本题是点的坐标规律探索题，考查了平行四边形的性质以及矩形的性质．注意得到规律：的坐标为(，)是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 化简计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先最简二次根式，再先计算二次根式的乘除，合并同类项即可； （2）先计算二次根式的乘除，再化简为最简二次根式，合并同类项即可． （3）根据二次根式的混合运算顺序计算即可． （4）先最简二次根式以及平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解∶ ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 20. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）求证：． 【答案】（1）供水点到喷泉需要铺设的管道长为 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键，要注意勾股定理逆定理的格式． （1）在中，先利用勾股定理求出，从而求出，再在中，利用勾股定理求出； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据斜边所对的角是直角从而得到． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 在中，， ， ， 在中，， ， 供水点到喷泉需要铺设的管道长为； 【小问2详解】 证明：，，， ， 是直角三角形，． 21. 如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架的侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】我认为小明的说法正确，见解析 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 根据题意可得，再由，得到，继而得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】解：我认为小明的说法正确．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴的长度就是篮板的高度． 22. 如图，点D、E是两直角边、上的一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由． 【答案】且．理由见解析 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理，得出线段、与已知线段、的关系，再结合直角三角形的性质，推导与的数量和位置关系．本题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形的性质，熟练掌握“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，结合直角三角形两锐角互余推导角的关系”是解题的关键． 【详解】解： 且．理由如下： ∵、、分别是、、的中点， ∴，，，， ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴且． 23. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． 与有什么数量关系，并说明理由； ①当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． ②当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 【答案】证明见解析；（2）当时，四边形是菱形．证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由△AEF≌△DEC得出AF＝DC，再根据已知条件即可证明； （2）①当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明∠ADB＝90°即可； ②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．先证明四边形AFBD是平行四边形，再证明AD＝BD即可． 【详解】∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ①当时，四边形是矩形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． ②当时，四边形是菱形． 证明：：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查菱形的判定、矩形的判定、等腰三角形的性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 24. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：①如图，过点E作于，于， 正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接， ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 25. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图①，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图②，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE； ②GE= ． 【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①证明见解析；② ． 【解析】 【分析】概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明即可； 性质探究：根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 问题解决：根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下： ∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上． ∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形； 性质探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由如下： 如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E． ∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得：AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2； 问题解决：①连接CG、BE，如图3所示： ∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE． 在△GAB和△CAE中，∵AG=AC，∠GAB=∠CAE，AB=AE，∴△AGB≌△ACE（SAS）； ②∵△AGB≌△ACE，∴∠ABG=∠AEC． 又∵∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得：CG2+BE2=CB2+GE2． ∵AC=2，AB=5，∴BC=，CG=2，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=37，∴GE=． 故答案为． 【点睛】本题是四边形综合题．考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中考试八年级数学试题 一、单选题（每题4分） 1. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，下列条件能使平行四边形是菱形的为（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 4. 估计的值应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问葭长几何．大意是：如图，水池底面的宽丈（丈等于尺），芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，芦苇的长度是（ ）尺． A. B. C. D. 6. 已知，化简的结果正确的是（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在中，的平分线分边为和两部分，则的周长为（ ） A B. C. D. 或 8. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作垂线分别交于点E和点F，点G是的中点，连接．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线、交于点，于点，是线段的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B（6，3），现将△OAB沿OB翻折至△OA′B位置，OA′交BC于点P．则点P的坐标为（　　） A. （，3） B. （，3） C. （，3） D. （） 11. 如图所示，正方形的边长为2，点为边的中点，点在对角线上移动，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题4分） 13. 若代数式有意义，则的取值范围是_______． 14. 如图，在数轴上点A表示，点B表示，过点B作，使，连接．以点A为圆心、线段长为半径画弧，交数轴于点K，则在数轴上点K表示的数为__________． 15 已知，则_________． 16. 用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为____________（用含a，b的代数式表示）． 17. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过___________秒时，四边形是矩形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以，为邻边作，的对角线相交于点，再以，为邻边作，的对角线相交于点．依次类推，则的顶点的坐标为__________． 三、解答题（共78分） 19. 化简计算： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离．要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离，． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）求证：． 21. 如图（1）所示是某校篮球架实物图，如图（2）所示是篮球架侧面示意图，篮板边侧垂直于地面．八年级的“综合与实践”数学小组开展测量篮球架篮板高度的实践活动．在不便于直接测量的情况下，小组设计了如下测量方法：如图（3）所示，小组成员将竹竿垂直固定在地面上，小明从竹竿上的F点处观察篮板底部B点，用测角仪测量视线与竹竿的夹角的度数为，接着将观察点沿着竹竿向上移动到G点，使得从G点观察篮板顶部A点的视线与竹竿的夹角的度数恰好等于的度数时，在竹竿上标注G点的位置，测量的长度为．活动分享时，小明说：“的长度就是篮板的高度”，你认为小明的说法是否正确，并说明理由． 22. 如图，点D、E是两直角边、上一点，连接，已知点F、G、H分别是、、的中点．若，那么与有什么数量和位置关系？请说明理由． 23. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． 与有什么数量关系，并说明理由； ①当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． ②当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由． 24. 如图1，四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长． 25. 定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图①，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图②，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE； ②GE= ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$