精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2024-2025学年高二下学期5月学情检测数学试题

海安实验中学5月学情检测高二数学 一、单项选择题： 1. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C 2. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相关系数与线性相关度的关系可得出的值. 【详解】因为样本数据所对应的点均在直线上，且直线的斜率为， 故相关系数. 故选：B. 3. 已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知、、三个向量共面，则存在实数、，使得，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】由题意可知，、、三个向量共面，则存在实数、，使得， 即，所以，解得. 故选：A. 4. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的最小值点 C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线在处切线的斜率小于零 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断； 【详解】解：由导函数的图象可知， 当时，当时，当时，当或时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点， 因为，所以曲线在处切线的斜率大于零， 综上可知ABD错误，C正确. 故选：C 5. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，， 故选：A. 6. 一箱凤梨共有10个，其中有8个是优果，从这箱凤梨中随机抽取2个，恰有1个优果的概率为.某果园刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用超几何分布和正态分布的对称性求解出答案. 【详解】由超几何分布可得， 由正态分布可得，所以，. 故选：C. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为，则截面半径为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为，设截面圆的圆心为，设圆、圆、圆的半径分别为、、，设圆台的体积为，利用两相似圆锥的体积比等于这两圆锥的底面半径比的立方可求得截面圆的半径. 【详解】设圆台上、下底面圆的圆心分别为、，将圆台还原为圆锥，设圆锥的顶点为， 设截面圆的圆心为，设圆、圆、圆的半径分别为、、，则，， 设圆锥、圆锥、圆锥的体积分别为、、， 因为，则，所以，， 设圆台的体积为，即，所以，， 由题意可知，圆台的体积为，所以，， 所以，，又因为，则，因此，. 故选：B. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由恒成立可得，即，代入并令，求导计算最值可得结果. 【详解】令，可得或，由题意可知，，得， 将代入，可得， 令，求导得，令，解得，. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此，时，取得极小值，即的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中二项式系数和为64 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式系数和的公式可判断A，利用通项可判断B，分别令和联立化简可判断C，对两边求导，然后令可判断D. 【详解】对于A，展开式中二项式系数和为，故A正确； 对于B，展开式的通项为， 令，则，故B错误； 对于C，令，则， 令，， 所以，故C正确； 对两边求导，得 ，令，可得 ，故D正确. 故选：ACD. 10. 某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占，乙地块产出苹果中一级果个数占，丙地块产出苹果中一级果个数占．已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是（ ） A. 任取一个苹果是甲地块产出的概率为 B. 任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为 C. 任取一个苹果是一级果的概率为 D. 如果取到的一个苹果不是一级果，则其是由甲地块产出的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设出甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为：、、，对于选项ABC，由概率公式分别计算即可，对于选项D，由条件概率公式计算即可. 【详解】已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为，可设甲、乙、丙地块产出的苹果个数分别为：、、，现将三个地块产出的苹果混放一堆， 对于A，则任取一个苹果是甲地块产出的概率为，故A正确； 对于B，由于甲地块产出苹果中一级果个数占， 所以甲地块产出苹果中一级果个数为， 则任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为，故B错误； 对于C，由于甲地块产出苹果中一级果个数为， 乙地块产出苹果中一级果个数为， 丙地块产出苹果中一级果个数为， 所以三块地总共产出一级果个数为：， 所以任取一个苹果是一级果的概率为，故C正确； 对于D，由条件概率可知，如果取到的一个苹果不是一级果， 则其是由甲地块产出的概率为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知球是棱长为的正方体的外接球，为球的直径，点为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当为中点时，直线与所成角的余弦值为 B. 当在正方体棱上时，满足的点有个 C. 当三棱锥的体积为时，点的轨迹的长度为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，取线段的中点，在中利用余弦定理求即可；对于B选项，在棱上结合勾股定理可得出满足条件的点有两个，即可判断；对于C选项，先利用体积得出三棱锥的高，再证明平面，再结合点、到平面的距离均为，即可找出点P轨迹；对于D选项，利用向量的加法运算以及数量积的运算律得出，再求的最小值即可. 【详解】对于A选项，取线段的中点，连接、、， 因为线段中点，结合正方体的性质可知，， 且， 则四边形为平行四边形，则， 则直线与所成角的为或其补角， 容易得，，， 则在中利用余弦定理可得，， 则直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B选项，由对称性，考虑点在正方形的四条边上运动时，如下图所示： 设点为正方形的中心，则平面， 设点到棱上任意一点的距离为， 当时，取最小值，且， 当点与点、重合时，取最大值， 即，故， 由勾股定理可得， 所以在棱上存在两个点满足条件，故其它棱上都有两个点满足条件， 因此，当在正方体棱上时，满足的点有个，故B正确； 对于C选项，连接，设点到平面的距离为， 容易得的面积为， 由题意可得，得， 由正方体的性质可知，平面， 又平面，则， 又，，、平面，则平面， 因，则点、到平面的距离均为， 因，平面，平面，则平面， 同理可得平面， 因点P为该正方体表面上的一动点，则点的轨迹为线段、，轨迹长度为， 故C错误； 对于D选项，依题意可知即为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为为球的直径，所以， 即可得， 又易知当点为正方体的面的中心时，最小，最小值为， 则的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 m 2 1 由表中数据可得回归方程．则m值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出样本中心点的横坐标，再根据回归直线方程过样本中心点求出样本中心点的纵坐标，最后根据的计算公式求出的值. 【详解】已知数据分别为，，，，，样本数量. 根据样本均值公式可得：. 因为回归直线方程必过样本中心点，把代入回归方程中，可得：. 已知数据分别为，，，，，样本数量，且. 根据样本均值公式可得：，即， 得：，可得. 故答案为：2. 13. 的展开式中的系数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，即可求出展开式中的系数. 【详解】的展开式通项为， 因为， 的展开式通项为，由，可得； 的展开式通项为， 由，可得. 因此，展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大，即可求出，进而得到，利用导数即可求解，再结合球体体积公式可得结果. 【详解】根据几何知识可知，当六棱锥为正六棱锥时，体积最大， 设底面正六边形的边长为，所以底面外接圆的半径为， 六棱锥的底面积，设六棱锥的高为， 因为，即，所以，． 设外接球的半径为，可得，，得． 所以， 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，解得， 故球的体积为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是． （1）求的值，并判断是否有常数项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？ 【答案】（1），没有常数项 （2）第项 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数比可得出关于的方程，可求出的值，然后写出二项展开式，令的指数为零，求出参数值，即可得出结论； （2）设展开式中系数的最大的项为，可得出，求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得，即，解得. 展开式通项为， 由可得，故展开式中没有常数项. 【小问2详解】 设展开式中系数的最大的项为， 由解得，因为，故， 因此展开式中第项的系数最大. 16. 2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为． 看现场直播 未看现场直播 男同学 女同学 150 250 （1）求的值； （2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ （3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及． 参考公式：． 参考数据： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）200 （2）有 （3）的分布列为： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据抽到看现场直播的女同学的概率为这一条件即可求得的值. （2）首先完善列联表，然后根据公式计算卡方值，并确定把握的百分比. （3）首先确定分层抽样的男同学、女同学人数，然后确定的可能取值，并计算每个取值对应的概率，从而得到分布列，最后根据期望公式求出. 【小问1详解】 由于从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为， 所以，化简得，解得. 【小问2详解】 由（1）知，那么看现场直播的男同学有300人，未看现场直播的男同学有200人. . 因为，所以有99.9%以上的把握认为观看现场直播与学生性别有关. 【小问3详解】 因为看现场直播的男同学有300人，女同学有150人，抽样比例为. 所以如果抽取6人，则男同学有4人，女同学有2人. 根据题意，可能取的值是0，1，2. 则；；. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 17. 为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品． （1）若工厂已生产3件减排器，设为其中一等品的件数，求的分布列和数学期望； （2）已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5 若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加n件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 . （2）目前应该增加产量，增加3件最好，理由如下： 一件减排器的平均利润为：万元. 假设增加件减排器，则这件减排器所带来的利润为万元，成本为万元. 所以净利润为：. 设，对函数求导得. 当时，即，此时函数单调递增； 当时，即，此时函数单调递减； 所以函数在处取最大值. 因为要取整数，所以最大值处或. 又； . 所以目前应该增加产量，增加3件最好. 【解析】 【分析】（1）首先确定的可能取值，然后针对每个取值求相应的概率，从而写出分布列，最后根据期望公式求得期望的值. （2）首先计算一件减排器的平均利润，然后写出生产件产品的净利润，求导判断单调性，求出最大值，从而可求解出增加多少产量最好. 【小问1详解】 根据题意，可能取0，1，2，3. 则； ； ； . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 【小问2详解】 目前应该增加产量，增加3件最好，理由略. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求取最大值时的值． 【答案】（1） ，平面，平面， 平面， 平面，平面平面， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）易证得平面，由线面平行性质可证得结论； （2）取中点，易证得两两互相垂直，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）设，根据点到平面距离的向量求法可得到，结合基本不等式取等条件可求得的取值，根据平行关系可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接， ，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 又平面，，，又， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，， 即二面角的正弦值为. 【小问3详解】 ，，， 设，则， ， 设平面的法向量， 则，令，则，，； ，， ，， （当且仅当，即时取等号）， 取得最大值时，， 又，，. 19. 函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，解方程； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）时在上单调递增， 时在上单调递减，在上单调递增； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分类讨论、，结合导数的符号确定单调性； （2）由已知得，构造且，并应用导数研究其零点，即可得解； （3）令，则，讨论、，参变分离得到恒成立，利用导数研究的最小值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递增， 当时， 若，，即在上单调递减， 若，，即在上单调递增， 综上，时在上单调递增， 时在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 由题设，则，即， 令且，则， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 又，即，当且仅当取等号， 所以的解为，即的解为. 【小问3详解】 由且，令，则， 当时，，此时，满足题设； 当时，，，恒成立， 令，则， 令，则， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增，且， 故时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海安实验中学5月学情检测高二数学 一、单项选择题： 1. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极大值点 B. 是函数的最小值点 C. 函数在区间上单调递增 D. 曲线在处切线的斜率小于零 5. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 一箱凤梨共有10个，其中有8个是优果，从这箱凤梨中随机抽取2个，恰有1个优果的概率为.某果园刺梨单果的质量M（单位：g）服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台的上、下底面半径分别为3和6，用一个平行于底面的平面去截圆台，截得上、下两部分的体积之比为，则截面半径为（ ） A. B. 5 C. D. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中二项式系数和为64 B. C. D. 10. 某农业种植基地在三块实验地种植同一品种的苹果，甲地块产出苹果中一级果个数占，乙地块产出苹果中一级果个数占，丙地块产出苹果中一级果个数占．已知甲、乙、丙地块产出的苹果个数之比为，现将三个地块产出的苹果混放一堆，则下列说法正确的是（ ） A. 任取一个苹果是甲地块产出的概率为 B. 任取一个苹果是甲地块产出的一级果的概率为 C. 任取一个苹果是一级果的概率为 D. 如果取到的一个苹果不是一级果，则其是由甲地块产出的概率为 11. 已知球是棱长为的正方体的外接球，为球的直径，点为该正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当为中点时，直线与所成角的余弦值为 B. 当在正方体棱上时，满足的点有个 C. 当三棱锥的体积为时，点的轨迹的长度为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 m 2 1 由表中数据可得回归方程．则m值为_______． 13. 的展开式中的系数为_______． 14. 已知六棱锥的底面是正六边形，且顶点均在同一球面上，若该棱锥体积的最大值为，则其外接球的体积为_______． 四、解答题 15. 已知的展开式的第项与第项的二项式系数之比是． （1）求的值，并判断是否有常数项； （2）展开式中系数最大的项是第几项？ 16. 2025年4月24日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如下表所示（单位：人），已知从被访谈的同学中随机抽取1人，抽到看现场直播的女同学的概率为． 看现场直播 未看现场直播 男同学 女同学 150 250 （1）求的值； （2）是否有99.9%以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？ （3）为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，记这2人中女同学的人数为，求的分布列以及． 参考公式：． 参考数据： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 为减低废气排放量，某工厂生产一种减排器，每件减排器的质量是一等品的概率为，二等品的概率为，若达不到一、二等品，则为不合格品． （1）若工厂已生产3件减排器，设为其中一等品的件数，求的分布列和数学期望； （2）已知一件减排器的利润如下表： 等级 一等品 二等品 不合格品 利润（万元/件） 1 0.5 若工厂要增加产量，需引入设备和更新技术，但增加n件，成本相应增加万元，假设你是工厂的决策者，你觉得目前应不应该增加产量？如果要增加产量，增加多少件最好，如果不要增加产量，请说明理由．（参考数据：，） 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．点在棱上且与不重合，平面交棱于点． （1）求证：； （2）若为棱的中点，求二面角的正弦值； （3）记点到平面的距离分别为，求取最大值时的值． 19. 函数，． （1）讨论的单调性； （2）当时，解方程； （3）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $