精品解析：云南省“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高二下学期联考（三）数学试卷

云南“美美与共”民族中学联盟联考（三） 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔起答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的模长为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 据统计，某市高三男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则在全市10000名高三男生中，身高不在之间的人数大约是（ ） 参考数据：，， A. 216 B. 221 C. 237 D. 241 5. 已知是函数的极值点，则a的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 6. 已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知将函数的图象向左平移个单位长度和向右平移个单位长度所得图象完全重合，且函数在上恰有两条对称轴，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则下列4个数中可能是的展开式的偶数项的二项式系数的是（ ） A. 1 B. 12 C. 66 D. 220 10. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则角或 B. 若，则三角形是直角三角形 C. 若，则三角形面积的最大值是1 D. 若，则锐角三角形面积的取值范围是 11. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面圆直径，，点C在底面圆周上，，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 平面与圆锥底面的夹角为 C. 该圆锥的内切球半径为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某教育部门要安排3名骨干教师到2所薄弱学校去支教，每名教师都要去一所学校，每所学校至少有一名教师去支教，则不同的安排方法共有____________种． 13. 记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则____________． 14. 已知函数，若有6个解．则取值范围是____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等比数列，并求通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 一个袋子中装有质地大小完全相同的10个小球，其中红球6个，白球4个，现依次摸出3个小球，每次摸出一个小球作为一个样本． （1）若采用不放回摸球，求第一次摸到红球的条件下，后两次至少有一次摸到白球的概率； （2）若采用有放回摸球，求摸出球是白球的数学期望和方差． 17. 如图，平面且为的中点． （1）过点N作一个平面，使与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 18 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求a、b的值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求a的取值范围． 19. 已知点F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点．且，又． （1）求抛物线C方程； （2）直线l绕其上一点P旋转，当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求直线l的方程； （3）设过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南“美美与共”民族中学联盟联考（三） 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔起答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，然后代入可求，再求交集即可. 【详解】， 故选：B． 2. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的模长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的模长公式，求出结果. 【详解】， 所以的模长为. 故选：A． 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的线性运算以及垂直向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得， 由，则， 解得. 故选：A． 4. 据统计，某市高三男生的身高X（单位：）近似服从正态分布，则在全市10000名高三男生中，身高不在之间的人数大约是（ ） 参考数据：，， A. 216 B. 221 C. 237 D. 241 【答案】D 【解析】 【分析】根据三段区间的概率及对称性求概率，进而估计人数. 【详解】身高不在的概率为或， 所以，人数大约人. 故选：D 5. 已知是函数的极值点，则a的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据极值点处导数值为0，计算求参，最后代入检验即可. 【详解】因为， 由是函数的极值点，得， 经检验，时，单调递增，得， 单调递减；单调递增； 是函数的极值点，符合题意； 故选:B． 6. 已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 7. 已知将函数的图象向左平移个单位长度和向右平移个单位长度所得图象完全重合，且函数在上恰有两条对称轴，则m的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得三角函数的周期，建立方程求得参数，利用整体思想求得函数的对称轴，由题意建立方程，可得答案. 【详解】由题可知，解得，又， 由函数，令， 则该函数的对称轴为， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由题意可得，解得， 所以m的最小值为. 故选：A． 8. 椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求得双曲线渐近线方程为，求出渐近线与椭圆交点横坐标，结合渐近线与双曲线位置关系有，即可得. 【详解】椭圆离心率，所以双曲线离心率，则渐近线方程为， 联立椭圆方程，得， 由渐近线与双曲线位置关系，它们与椭圆在第一象限交点横坐标有， 所以，只有满足. 故选：D 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则下列4个数中可能是的展开式的偶数项的二项式系数的是（ ） A. 1 B. 12 C. 66 D. 220 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理中二项式系数问题可求，再求出偶数项的二项式系数即可. 【详解】因为的展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，故,所以，偶数项的二项式系数分别为， 故选：BD． 10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则角或 B. 若，则三角形是直角三角形 C. 若，则三角形面积的最大值是1 D. 若，则锐角三角形面积的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A利用大边对大角即可判断；B利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可求出，即可判断；C利用三角形面积公式即可求解；D利用正弦定理得，化简的面积为，再结合锐角三角形求出的范围即可. 【详解】A选项，因，则B为锐角，故A错误； B选项，因，结合正弦定理可得，， 因，则， 则， 因，则，则， 又，则，故B正确； C选项，由题意得，，当时等号成立，故C正确； D选项，由正弦定理得，即， 则 ， 因锐角三角形，则，，则， 则，， 故， 即锐角三角形面积的取值范围是，故D正确. 故选：BCD． 11. 如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为为底面圆直径，，点C在底面圆周上，，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 平面与圆锥底面的夹角为 C. 该圆锥的内切球半径为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，根据圆锥的基本性质可求出底面半径，然后利用圆锥体积公式即可求出其体积的值；对于选项B，先确定二面角的平面角，然后根据三角形的几何关系计算；对于选项C，根据三角形面积与三角形周长之间的关系可求出内切球半径；对于选项D，先根据正弦定理求出底面外接圆半径，然后结合图形和勾股定理即可求出外接球半径从而得到外接球的表面积. 【详解】因为，所以， 在直角三角形中，可得， 所以圆锥的体积为，A正确； 取的中点，连接，则， 中，，根据勾股定理可得， 又，所以平面与圆锥底面的夹角为，B错误； 该圆锥的内切球半径即为的内切圆半径， 由， 所以，C选项正确； 对于D选项，在直角三角形中，. 根据正弦定理得，所以的外接圆半径， 由，得，所以三棱锥的外接球的表面积为，D正确. 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某教育部门要安排3名骨干教师到2所薄弱学校去支教，每名教师都要去一所学校，每所学校至少有一名教师去支教，则不同的安排方法共有____________种． 【答案】6 【解析】 【分析】先将教师分组再分配到学校，然后根据分步乘法计数原理，计算不同安排方法. 【详解】先将3名教师分为两组，共有3种方法， 再将两组教师分配到2所学校，共有2种方法， 根据分步乘法计数原理，一共有种. 故答案为：6. 13. 记为数列的前n项和，为数列的前n项和，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列前n项和与通项公式的关系，求出数列通项公式，求出结果. 【详解】由可知，当时，， 当时，，符合通项公式，所以， 同理可得，所以． 故答案为：. 14. 已知函数，若有6个解．则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数研究且的值域，结合二次函数的性质研究且，讨论、，数形结合求参数范围. 【详解】由且，则， 当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 对于且，图象恒过， 当时，函数图象大致如下，则不可能有6个解，同理也不符， 所以，此时，即，如下图示， 要使有6个解，则，可得. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且． （1）求证：数列为等比数列，并求通项公式； （2）设，求数列前n项和． 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知递推关系证明为等比数列，进而写通项公式； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式及分组求和求. 【小问1详解】 证明：由题意得，所以， 因为，所以，则， 所以为等比数列，公比为3，首项为1， 所以，即． 【小问2详解】 ，记，前n项和为， ， ， ， 所以， 综上，． 16. 一个袋子中装有质地大小完全相同的10个小球，其中红球6个，白球4个，现依次摸出3个小球，每次摸出一个小球作为一个样本． （1）若采用不放回摸球，求第一次摸到红球的条件下，后两次至少有一次摸到白球的概率； （2）若采用有放回摸球，求摸出的球是白球的数学期望和方差． 【答案】（1） （2）1.2；0.72 【解析】 【分析】（1）设第一次摸出红球为事件A，摸到白球为事件B，由条件概率计算公式即可求解； （2）设X表示摸出的样本中白球的个数，由题意确定，进而可求解. 【小问1详解】 设第一次摸出红球为事件A，摸到白球为事件B， ， ， 所以第一次摸到红球的条件下，后两次至少有一次摸到白球的概率为． 【小问2详解】 设X表示摸出的样本中白球的个数， 对于有放回摸球，每次摸到白球的概率相等，都是0.4，且各次之间相互独立， 所以，， 17. 如图，平面且为的中点． （1）过点N作一个平面，使与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由中位线定理以及平行四边形的性质，可得线线平行，根据线面平行的判定以及面面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 取中点记为M，连接，如下图： 平面即为平面，下面证明平面平面． 因为分别为的中点，所以， 由，则，由，则， 因为平面，平面，所以平面，同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面. 【小问2详解】 过A作于点E，则，以A为原点，建立空间直角坐标系，如下图： 则， ，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 18 已知函数． （1）若在处的切线方程为，求a、b的值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求，再利用切点在切线上以及即可求出； （2）分和两种情况，分别研究的正负性； （3）参变分离，令，通过导函数研究其单调性，求其最小值即可. 【小问1详解】 由， 由题可知，， 将切点代入切线方程，得． 【小问2详解】 ， 当时，恒成立，此时在在上单调递增； 当时，得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 由得， 令， 则， 则得；得或； 所以在和上单调递减，在上单调递增， 又，时， 所以，故， 故a的取值范围为 19. 已知点F是抛物线的焦点，点是抛物线C上一点．且，又． （1）求抛物线C的方程； （2）直线l绕其上一点P旋转，当直线l与抛物线C只有一个公共点时，求直线l的方程； （3）设过点F的直线交抛物线C于A，B两点，求的最小值． 【答案】（1）； （2）或或； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设直线l的方程为，讨论、，联立抛物线，结合交点个数求参数，即可得直线方程； （3）设，直线方程为，联立抛物线并应用韦达定理，应用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值. 【小问1详解】 抛物线准线方程为， 由是抛物线C上一点，且， 则抛物线C的方程为． 【小问2详解】 由题知，直线l绕其上一点旋转， 当直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率一定存在， 设直线l的斜率为k，直线l的方程为，即， 联立，直线与抛物线C只有一个公共点， 当时，解得，此时，直线与抛物线只有一个交点，， 当时，， 即或时，直线和抛物线只有一个公共点， 时，直线l的方程为，即， 时，直线l的方程为，即， 综上，直线与抛物线只有一个公共点时，直线方程为或或． 【小问3详解】 由（1）知，抛物线的焦点， 设，直线方程为， 联立， 所以， ， 因此， 令，这个二次函数开口向上，对称轴方程为， 因此，当时，的最小值为，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $