精品解析：2025年江苏省泰州市靖江市靖江外国语学校中考三模数学试题

2024-2025学年度第二学期适应性考试（三） 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 2. 下列气象生活指数图标中，其中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 路况指数 B. 运动指数 C. 过敏指数 D. 穿衣指数 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合要求； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合要求； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合要求； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合要求； 3. 对于一组数据﹣1、4、﹣1、2下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是1 B. 众数是-1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5 【答案】D 【解析】 【详解】这组数据的平均数是：（-1-1+4+2）÷4=1； -1出现了2次，出现的次数最多，则众数是-1； 把这组数据从小到大排列为：-1，-1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数，则中位数是； 这组数据的方差是： [（-1-1）2+（-1-1）2+（4-1）2+（2-1）2]=4.5； 故选D． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题． 【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为， 故选：A． 5. 已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案． 【详解】解：A．把点代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； B．把点代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； C． 把点代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，这与已知条件不符，故选项错误，不符合题意； D． 把点代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，这与已知条件相符，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质． 6. 如图，面积为6的正六边形中，点，分别为边，上的动点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，，交点为，设与的距离为，根据正六边形的性质以及平行线间距离相等可得则，进而可求，同理可求的值，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，交点为， 由正六边形可得，即，， 设与的距离为， 则， ∵， ∴， 同理可得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，平行线间的距离相等．解题的关键在于确定阴影部分面积为正六边形的面积与空白部分面积的差． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知方程，则此方程的解为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ ∴或， 解得：， 故答案为：． 8. 是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为_______亿． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：6710亿亿． 故答案为：． 9. 如果，那么的逆命题是________. 【答案】若，则 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题， 【详解】解：命题“如果，那么a＝b”的条件是如果，结论是a＝b， 故逆命题是：如果a＝b，那么． 故答案为若a＝b，那么． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 10. 关于的方程有两个实数根，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，解得，即可得解． 【详解】解：由题意知，， 解得， ∴的最大值为， 故答案为：． 11. 已知圆锥的母线长与底面直径相等，则这个圆锥的侧面展开图形的圆心角为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的弧长的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．根据圆锥的弧长公式求出圆锥侧面展开图形的圆心角即可． 【详解】解：设圆锥的母线长与底面直径都为， 则圆锥的底面周长：， 扇形圆心角． 故答案为：． 12. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（绢）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x人，库绢有y匹，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹”列出方程组即可． 【详解】解：设现在有x人，有绢y匹，根据题意得 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形等，证得是解题的关键．先求出点坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，作于，设交轴于点D，利用等角的余角相等得到，再解直角三角形即可． 【详解】解：点在上， ， ， 把代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的解析式为：； 、两点关于原点成中心对称， ； 如图所示，作于，设交轴于点D， ，， ， 轴，轴， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点恰好落在AB上，且恰为直角三角形，则此时CD的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先用勾股定理计算，再利用折叠的性质和相似求出线段的长． 【详解】解：， ， 由折叠可知：， 若， ∥， ， ， ， 解得：， 若， ， ， ， ， 解得： 故答案为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质和勾股定理，解题的关键是找出相似三角形，列出比例线段． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可 【详解】解：当在线段上时，连接，过点作于， 当在线段上时， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在延长线上时，则， 是线段的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交y轴于点A，过点N作轴于点D，过点作轴于点B，交于点C，可得四边形是矩形，得，求出反比例函数和，求出直线解析式为∴，设过点P平行的直线解析式为，当面积最大时，与函数相切，联立，得， ，得，求出直线解析式为，得，得，得，得，求出，得是等边三角形，得，得，得，得,证明，得，得，得，即得． 【详解】解：延长交y轴于点A，过点N作轴于点D，过点作轴于点B，交于点C， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设过点P平行的直线解析式为，当面积最大时，与函数相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合．熟练掌握矩形判定和性质，待定求反比例函数和一次函数解析式，一元二次方程根的判别式，直角三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的运算，正确计算是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂、立方根、化简绝对值、代入特殊角的三角函数值化简计算即可； （2）先通分，计算括号里的，再除法转化成乘法，然后约分化简即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 【答案】（1） （2）月31日 （3）①② 【解析】 【分析】本题考查中位数，极差，掌握中位数，观察折线图的变化趋势是解题关键， （1）根据中位数的定义解答即可； （2）结合条形统计图解答即可； （3）结合折线统计图和条形统计图解答即可． 【小问1详解】 解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为， 位于正中间的两个数为， ∴中位数为； 故答案为： 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日； 【小问3详解】 解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确； ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确； ③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误； ④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误； 故答案为：①② 19. 如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； （2）在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三根同样的绳子、、穿过一块木板，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）利用列举法可得：，，，其中符合题意的有2种、，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：共有三根同样的绳子、、穿过一块木板， 姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列举得：，，，，，，，，； 共有9种等可能的结果，其中符合题意的有6种， 这三根绳子能连接成一根长绳的概率是：． 【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20. 某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下： 饮料品种 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 18 24 乙 22 25 （1）商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？ （2）该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？ 【答案】（1）商场购进甲种饮料箱，乙种饮料箱 （2）销售完这150箱饮料后可获得利润750元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意列二元一次方程组，利用代入法解方程组即可； （2）根据总利润甲种饮料利润乙种饮料利润解题． 【小问1详解】 解：设购进甲种饮料x箱，乙种饮料y箱，根据题意可得， ， 由①得，③， 把③代入②中，得， ， ， 把代入③得， 解得， 答：商场购进甲种饮料箱，乙种饮料箱； 【小问2详解】 解：(元)， 答：销售完这150箱饮料后可获得利润750元． 21. 如图，在中，，______，_____，则______． 从①点是的中点；②，垂足为；③三个信息中选两个作条件，另外一个作结论，组成真命题，画出图形并说明理由． 你选的条件是___________，___________；结论是___________．（只需填写序号，证明一个即可） 【答案】 选的条件是①点是的中点；②，垂足为；结论是③． 证明：如图： ∵， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 如图，选的条件是①点是的中点；③；结论是②，垂足为． 证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，垂足为． 如图，选的条件是②，垂足为；③；结论是从①点是的中点． 证明：∵， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴，即点是的中点． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形及命题．根据题意选的条件是①点是的中点；②，垂足为；结论是③，证明，推出，结合点是的中点，即可得出结论；选的条件是①点是的中点；③；结论是②，垂足为，解直角三角形易求，进而证明，即可得出结论；选的条件是②，垂足为，③；结论是从①点是的中点，证明，推出，结合，即可得出结论． 【详解】略 22. 如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂，支撑脚，展开角，晾衣臂支架，且． （1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度； （2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到（D、O、在同一条直线上）时，点N也随之旋转到上的点处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离． 【答案】（1） （2）40cm 【解析】 【分析】（1）作交CD于E，交OE反向延长线于F，由等腰三角形的性质求出，利用特殊角的三角函数值的求法得到OE和OF，再利用 来求解； （2）图②中作交OB于G，易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质，特殊角的三角函数值的求法OG，GM，再由勾股定理求出NG，进而得到，图③中作交OD于H，特殊角的三角函数值的求法和勾股定理求出，最后用 来求解． 【小问1详解】 解：如图②，作交CD于E，交OE反向延长线于F． ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴点A距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：如图②，作交OB于G． ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， 如图③，作交OD于H． 在中， ∵，， ∴，． 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点N在晾衣臂OB上滑动的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 23. 如图，点是的内心，点是的外心． （1）请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． （2）试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示，点D为所求： （2） 点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【解析】 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【小问1详解】 解：∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 24. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． （1）求双曲线的函数解析式： （2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 【答案】（1） （2）2024年该公司不可能收回研发成本． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意，建立正确的函数关系式是解本题的关键． （1）设双曲线的解析式为，代入点即可解答； （2）求解当时，线段为，再分两种情况求解销售利润的最大值，再进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为， 由图可知：反比例函数图象经过点， 可得， ∴； 【小问2详解】 当时，， ∴， 当时，设线段为， ∴， 解得：， ∴线段为， 设销售利润为万元，则 当时， ， 当时，最大利润为（万元）， 当时， ， 对称轴为直线， ∴当时，最大利润为（万元）， ∵， ∴2024年该公司不可能收回研发成本． 25. 在中，，点D是边上不与点B重合的一动点，将绕点D旋转得到，点B的对应点E落在直线上，与相交于点G，连接． （1）如图1，当点D与点A重合时， ①求证：； ②判断与的位置关系是______． （2）如图2；当点D不与点A重合，点E在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程；________． （3）如图3，当点D是的中点，点E在边上时，延长相交于点P，若，求的长． 【答案】（1） ①证明：∵，， ∴， ∴， ∵绕点D旋转得到， ∴，， ∴， ∴； ②，理由为： ∵，， ∴， ∴； （2） 解：，理由为： 过点F作于点H，过点A作于点K， 则， ∴， 由旋转可得， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①利用旋转的性质和平角的定解题即可；②根据内错角相等，两直线平行解题即可； （2）过点F作于点H，过点A作于点K，证明是矩形，即可得到结论； （3）连接，证明，然后得到是矩形，再根据勾股定理和三角形的面积公式求出、、长，然后利用相似三角形解题即可． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， ∵点D是的中点， ∵，， ∴，， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可得是矩形， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行线的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 26. 已知抛物线C1：y1=a（x-h）2+2，直线l：y2=kx-kh+2（k≠0）． （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）若a＞0，h=1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1=a（x-h）2+2的最小值为2，求t的取值范围； （3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围． 【答案】（1）证明：∵抛物线C1的解析式为y1=a（x-h）2+2， ∴抛物线的顶点为（h，2）． 当x=h时，y2=kh-kh+2=2， ∴直线l恒过抛物线C1的顶点； （2）-2≤t≤1； （3）-1＜a＜0或0＜a＜1． 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x=h代入一次函数解析式中可得出点（h，2）在直线l上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点； （2）由a＞0可得出当x=h=1时y1=a（x-h）2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1=a（x-h）2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论； （3）令y1=y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出＞1或＜-1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵a＞0，h=1， ∴当x=1时，y1=a（x-h）2+2取得最小值2． 又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1=a（x-h）2+2的最小值为2， ∴， ∴-2≤t≤1； （3）解：令y1=y2，则a（x-h）2+2=k（x-h）+2， 解得：x1=h，x2=h+． ∵线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点， ∴＞1或＜-1． ∵k＞0， ∴0＜a＜k或-k＜a＜0． 又∵1≤k≤3， ∴-1＜a＜0或0＜a＜1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，证出直线l恒过抛物线C的顶点；（2）利用二次函数的性质结合二次函数的最值，找出关于t的一元一次不等式组；（3）令y1=y2，求出点P，Q的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期适应性考试（三） 数学试题 （考试时间：120分钟满分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 下列气象生活指数图标中，其中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 路况指数 B. 运动指数 C. 过敏指数 D. 穿衣指数 3. 对于一组数据﹣1、4、﹣1、2下列结论不正确的是（　　） A. 平均数是1 B. 众数是-1 C. 中位数是0.5 D. 方差是3.5 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在下列某一函数图像上，且那么这个函数是( ) A. B. C. D. 6. 如图，面积为6的正六边形中，点，分别为边，上的动点，则阴影部分面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 已知方程，则此方程的解为_________________． 8. 是一款基于混合专家（）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为_______亿． 9. 如果，那么的逆命题是________. 10. 关于的方程有两个实数根，则的最大值为______． 11. 已知圆锥的母线长与底面直径相等，则这个圆锥的侧面展开图形的圆心角为______． 12. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（绢）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x人，库绢有y匹，则可列方程组为______． 13. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点在第四象限，轴．若，则的值为_______． 14. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D，E为AC，BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，点C的对应点恰好落在AB上，且恰为直角三角形，则此时CD的长为___________． 15. 如图，在中，，，点在直线上，，过点作交直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为______ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为_______． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）化简： 18. 《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题． （1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元． （2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期） （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分） ①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势 ②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3．87亿元 ③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高 ④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降 19. 如图，三根同样的绳子、、穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率为_______________； （2）在互相看不见的条件下，姐姐从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，妹妹从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率． 20. 某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，饮料的成本价与销售价如下： 饮料品种 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） 甲 18 24 乙 22 25 （1）商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？ （2）该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？ 21. 如图，在中，，______，_____，则______． 从①点是的中点；②，垂足为；③三个信息中选两个作条件，另外一个作结论，组成真命题，画出图形并说明理由． 你选的条件是___________，___________；结论是___________．（只需填写序号，证明一个即可） 22. 如图①是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图②所示，已知晾衣臂，支撑脚，展开角，晾衣臂支架，且． （1）当晾衣臂OA与支撑脚OD垂直时，求点A距离地面的高度； （2）当晾衣臂OB从水平状态绕点O旋转到（D、O、在同一条直线上）时，点N也随之旋转到上的点处，求点N在晾衣臂OB上滑动的距离． 23. 如图，点是的内心，点是的外心． （1）请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． （2）试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 24. 某电子科技公司2023年耗资1600万元研发一款移动电源，在2024年1月上市进行销售，销售部门通过试营销、市场调研绘制了该款移动电源年销售量y（单位：万件）随销售价格x（单位：元/件）变化的大致图象（图象由部分双曲线与线段组成），如图所示． （1）求双曲线的函数解析式： （2）已知该移动电源的制造成本为40元/件，请判断2024年该公司是否有可能收回研发成本，并说明理由． 25. 在中，，点D是边上不与点B重合的一动点，将绕点D旋转得到，点B的对应点E落在直线上，与相交于点G，连接． （1）如图1，当点D与点A重合时， ①求证：； ②判断与的位置关系是______． （2）如图2；当点D不与点A重合，点E在边上时，判断与的位置关系，并写出证明过程；________． （3）如图3，当点D是的中点，点E在边上时，延长相交于点P，若，求的长． 26. 已知抛物线C1：y1=a（x-h）2+2，直线l：y2=kx-kh+2（k≠0）． （1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点； （2）若a＞0，h=1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1=a（x-h）2+2的最小值为2，求t的取值范围； （3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $