精品解析：四川省自贡市富顺县代寺学区2024—2025学年九年级下学期4月期中数学试题

初2022级九年级下期期中考试 数学试题 本试卷分试题卷和答题卷两部分．试题卷共 4页；答题卷共4页．满分：150分，考试时间120分钟． 一、选择题：共48分（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为 纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知 ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6 C. “若是实数，则”是必然事件 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 8. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到 ，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s）， 的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿 折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连结并延长交于点F．给出以下结论：① 为等腰三角形； ②F为的中点； ③； ④，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共24分（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：_________． 14. 若，则的值为______． 15. 已知a、b是相邻的两个正整数，且a＜2﹣1＜b，则a+b的值是_____． 16. 如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是______． 17. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2． 18. 如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________． 三、解答题：共78分（共8小题，共78分） 19. 计算：． 20. 如图，在矩形中， ，且交的延长线于点．求证：． 21. 春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了 外的处，此时风筝线与地平线的夹角为 ，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米） 22. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解七年级学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图； （2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校七年级学生共有420人，请估计该校七年级学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数； （3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加年级组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当 的面积为3时，求点N的坐标； （3）请直接写出当时，x的取值范围． 24. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的圆O分别交于点E，F，连接． （1）求证：是圆O的切线； （2）求证：； （3）若 ，，求的长． 25. 荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲，乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车，一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用． （3）该商业公司生产的此时令商品每件成本为15元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销量m（件）与时间t（天）的函数关系：m=﹣2t+100；该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系为：y=t+20（1≤t≤20），其中t取整数；在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大（含20天的日销售利润和第19天的日销售利润相等的情况），求a的最小值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作 于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2022级九年级下期期中考试 数学试题 本试卷分试题卷和答题卷两部分．试题卷共 4页；答题卷共4页．满分：150分，考试时间120分钟． 一、选择题：共48分（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解： 的相反数为， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题的关键是熟练掌握它们的概念，若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；一个平面图形，绕一点旋转 ，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形． 3. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为 纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式． 根据科学记数法一般形式求解．科学记数法一般形式为，，是正整数． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，合并同类项，算术平方根，同底数幂的除法，据此逐项分析即可 【详解】解：A、，计算错误，故选项不符合题意； B、，计算错误，故选项不符合题意； C、，计算错误，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D 5. 如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图中主视图的定义，由正面看即可判断． 【详解】解：由三视图中主视图的定义，可知几何体的主视图为： 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图中的主视图，解题的关键是：掌握三视图的定义，确定好主视图观看的方向即可判断出． 6. 如图，已知 ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质．根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 7. 下列说法正确的是（ ） A. 为了了解全国中学生的心理健康情况，选择全面调查 B. 在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6 C. “若是实数，则”是必然事件 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义分别判断即可． 【详解】解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，人数较多，应采用抽样调查的方式，故错误； B、在一组数据7，6，5，6，6，4，8中，众数和中位数都是6，故正确； C、，则“若a是实数，则”是随机事件，故错误； D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据稳定，故错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了抽样调查及普查，众数和中位数，随机事件，方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点． 8. 如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 9. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 10. 阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建（如图），使得，，延长使，连接，可得到 ，所以类．类比这种方法，请你计算的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．在中，使得， ，延长到点D，使，连接，先利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后设，则，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】如图：在中，使得， ， 延长到点D，使，连接， ∵是的一个外角， ∴． ∵ ， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，． 故选：A． 11. 如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s）， 的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数，理解题意，分类讨论以及求得各段函数解析式是关键．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且， 则在直角中，根据勾股定理得到， 当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作 于F， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分； 当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分； 当，即点在线段上，点在点时， 的面积，此时该三角形面积保持不变； 综上所述，C正确． 故选：C． 12. 如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿 折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连结并延长交于点F．给出以下结论：① 为等腰三角形； ②F为的中点； ③； ④，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出 ，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设 ，则 ，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ ， 设正方形的边长为， 则， ∵将正方形纸片沿 折叠，点B落在点P处，， ∴，，， ∴， ∴ 是等腰三角形，故①正确； 设， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点，故②正确； ∵，， ∴ ， 在中，， ∵， ∴， 设 ，则 ， ∴， ∴， ∴，， ∴，故③正确； 连接 ，如图所示， ∵，，， 又， ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，故④不正确， 故正确的结论为：①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题：共24分（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 14. 若，则的值为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查求代数式的值，解题的关键是先求出的值，然后整体代入即可求值． 【详解】解：， ， ． 故答案为：16． 15. 已知a、b是相邻的两个正整数，且a＜2﹣1＜b，则a+b的值是_____． 【答案】11 【解析】 【分析】先估算出2-1的整数和小数部分，再求出a，b的值即可． 【详解】解：∵ <<3.4 ∴ ∴ ∵a、b是相邻的两个正整数，且a＜2﹣1＜b， ∴a=5，b=6， ∴a+b=5+6=11； 故答案为：11． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 16. 如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出和的位似比，从而得出和的面积的比是 ，即可得解． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是 ， 又的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 17. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°， ∴∠OBC=30°， ∴OC=OB=1 则边BC扫过区域的面积为： 故答案为． 【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键. 18. 如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明 ，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧．连接 交于，当点P运动到时，取到最小值． 【详解】解：如图所示，∵边长为6的等边， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 此时 ， 连接 交于，当点P运动到时，取到最小值， ∵，， ， ∴， ∴， ， ∴， 又∵ ， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强． 三、解答题：共78分（共8小题，共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算绝对值，负整数指数幂，零指数幂，锐角三角函数，再算加减法，即可求解． 【详解】解：原式= = =． 【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角锐角三角函数，是解题的关键． 20. 如图，在矩形中， ，且交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再说明 是平行四边形，可得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴， ∴． 21. 春天到了，万物复苏，小明在公园里放风筝，一开始小明站在处，风筝在空中的处，此时风筝线与地平线的夹角为，为了保证风筝能够平稳飞行，小明走到了 外的处，此时风筝线与地平线的夹角为 ，而风筝的高度依然不变．求风筝的高度．（，，最后结果精确到米） 【答案】风筝的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的计算，解直角三角形的应用，根据题意作适合的辅助线以构造直角三角形是解题关键． 过点作，交延长线于点，通过三角函数可得、，利用构建一元一次方程，解方程，再把代入计算即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点，如图所示： 则， ， 在中，， ∴， 在中，， ， ， 解得：， 答：风筝的高度为． 22. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解七年级学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图； （2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校七年级学生共有420人，请估计该校七年级学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数； （3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加年级组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）10，补全统计图如图： （2） 人 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率、扇形统计图与条形统计图、用样本估计整体等知识点，正确从统计图获取所需信息成为解题的关键． （1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，最后完善统计图即可； （2）利用七年级学生数420乘以优秀成绩所占的比例求解即可； （3）通过画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：样本容量是 （人）， 第四组的人数是： （人）， 补全统计图如图： 【小问2详解】 解：该年级学生“一分钟跳绳”成绩优秀的人数为 人． 答：七年级学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为89人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的结果数为6， 所以抽到的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点M． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）在y轴上取一点N，当 的面积为3时，求点N的坐标； （3）请直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） ， （2）或 （3） 或 【解析】 【分析】（1）把代入求出，得出反比例函数为，求出，把，，代入得：，求出，即可求出一次函数解析式； （2）把代入中求出，设，则，，根据，得出，求出n的值即可得出答案； （3）结合函数图象，根据一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，从而可得答案.． 【小问1详解】 解：把代入中，， ∴， ∴反比例函数为， 把代入中， ， ∴， 把，，代入得：， 解得：， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：把代入中得 ， ∴， ∴设， ∴，， ， 即， ∴或， ∴点N的坐标或； 【小问3详解】 解：∵， ∴一次函数值大于反比例函数值，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴ 或 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算． 24. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的圆O分别交于点E，F，连接． （1）求证：是圆O的切线； （2）求证：； （3）若 ，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得 ，根据角平分线的定义可得，等量代换得出 ，进而证明，推出 ，即可证明是圆O的切线； （2）根据直径所对的圆周角为90度可证，进而依次证明 ， ，根据同弧所对的圆周角相等可得 ，推出，进而证明，根据相似三角形对应边成比例可证； （3）利用三角函数解求出半径，再解 求出，代入（2）中结论，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： ∵平分， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 又∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 【小问2详解】 证明：连接，如图2所示： ∵是圆O的直径， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，， 设圆O的半径为r，则=， 解得： ， ∴，， 在 中，， ， ∴， 由（2）得：， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质等，涉及知识点较多，综合应用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲，乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车，一辆乙型汽车的费用分别是多少元？ （2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用． （3）该商业公司生产的此时令商品每件成本为15元，经过市场调研发现，这种商品在未来20天内的日销量m（件）与时间t（天）的函数关系：m=﹣2t+100；该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系为：y=t+20（1≤t≤20），其中t取整数；在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大（含20天的日销售利润和第19天的日销售利润相等的情况），求a的最小值． 【答案】（1）租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元；（2）共有三种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；方案二：租用甲汽车3辆，租用乙型汽车3辆；方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元；（3）a的最小值是． 【解析】 【分析】（1）找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元”和“租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元”； （2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6-z）辆．根据荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，以及计划此次租车费用不超过5000元列出不等式组，求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据w=日销量m×（售价一成本-捐赠），利用对称轴解决问题． 【详解】（1）设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用是y元． 由题意得，； 解得：， 答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元． （2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6-z）辆． 由题意得， 解得2≤z≤4， 由题意知，z为整数， ∴z=2或z=3或z=4， ∴共有3种方案，分别是： 方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆． 方案一的费用是800×2+850×4=5000（元）； 方案二的费用是800×3+850×3=4950（元）； 方案三的费用是800×4+850×2=4900（元）； ∵5000＞4950＞4900； ∴最低运费是方案三的费用：4900元； 答：共有三种方案，分别是： 方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．最低运费是4900元． （3）设日销售利润为w元， 则w=（-2t+100）（t+20-15-a）=-t2+（2a+15）t+500-100a， 对称轴是：t=2a+15， ∵1≤t≤20，且每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大， 当x=19与x=20是对称点时，t=19.5， ∴2a+15≥19.5， a≥， ∵a＜4， ∴≤a＜4， ∴a的最小值是． 【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用及二次函数的应用．解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系和不等关系，利用方程和不等式组解决问题，并与二次函数的增减性结合，第3问有难度，理解二次函数的增减性是关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作 于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）最大值为；； （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于 ，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线 与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：， ， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于 ， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $