精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2024-2025学年高二下学期6月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题的否定可得结论. 【详解】命题的否定为：. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，，再根据集合的交集运算可得解. 【详解】由，可得，， 又，可得，， 所以. 故选：C. 3. 若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】因为两根互为共轭复数，所以另一根为. 故选：A. 4. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 【答案】D 【解析】 【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】当时，，符合幂函数的形式，故充分性满足； 当为幂函数可得，解得或， 故必要性不满足， 所以“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：D 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设点，得到的坐标，由，可得，将其代入即可得解. 【详解】设点，则， ，所以， 因为，所以， 整理可得， 所以 故选：A 6. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可； 【详解】由题意可知：，即，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 两式相除可得：， 即， 所以：， 即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历， 故选：A 8. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 若数列单调递增，则的取值范围是 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，得到，两式相减得，可判定A不正确；得到，两式相减，得到，可得判定B不正确；由，得到，，根据为递增数列，得到，且，求得，可判定C不正确；当和时，和，得到数列的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以为首项，公差为2的等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】对于A中，由，当时，可得， 两式相减，可得，即，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 两式相减，可得，所以B不正确； 对于C中，由，可得，， 则， ， 因为数列为递增数列，可得，且， 可得且， 解得，所以C不正确； 对于D中，由， 令，可得，即，因为，所以， 令，可得，即，所以， 因为，且，所以， 所以数列的奇数项是以为首项，2为公差的等差数列， 偶数项是以为首项，公差为2的等差数列， 则 ，所以D正确； 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式，可判断AB的真假，根据和事件概率计算公式，可判断C的真假，结合全概率公式和条件概率计算公式，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：由，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：， 所以：. 所以故D正确. 故选：BCD 10. 已知，，且，若，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD. 【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 D. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质判断AB；利用二项式定理推理判断CD. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，第2025行的第1013个数和第1014个数分别为，而，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数，而， 又展开式中项的系数为， 因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】先求得双曲线的右焦点，结合抛物线的知识求得的值. 【详解】双曲线，，右焦点， 抛物线的焦点为，所以. 故答案为： 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算法则计算即可求解. 【详解】依题意，，故. 故答案为：. 14. 已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，，点为棱的中点，点是侧面内的一点，且平面，则线段的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知，求出，取的中点，取的中点，连接，，，可证得平面平面，由又点是侧面内一点，且平面，可得在线段上，所以当时，此时线段取得最小值，则在直角三角形中，可求得线段的最小值. 【详解】 设正三棱柱的外接球的半径为，的外接圆的半径为， 所以，解得， 又，解得， 又，即，解得， 取的中点，取的中点，连接，，，如图所示，所以， 又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点是侧面内一点，且平面，所以在线段上， 所以当时，此时线段取得最小值， 又 所以， 即线段的最小值为． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若点为的中点，，，求的周长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）将已知等式由正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形可求得角的大小； （2）由点为的中点，可得，两边平方化简后可求得，然后利用余弦定理可求出，从而可求得的周长． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以 所以， 所以， 所以， 又，所以， 所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为点为的中点，所以， 所以， 即， 解得或（舍）． 在中，由余弦定理得， 即，所以， 所以的周长． 16. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计 每天都整理数学错题的人数 90 不是每天都整理数学错题的人数 40 100 合计 200 （1）完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； （2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有把握. （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）求出的观测值，与临界值对比即可. （2）先通过采用分层随机抽样得抽取的成绩优秀与不优秀人数，求出所有可能的取值，及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计 每天都整理数学错题的人数 90 10 100 不是每天都整理数学错题的人数 60 40 100 合计 150 50 200 零假设为：：学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题相互独立，即学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关， 根据列联表数据计算可得， 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，所以有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关． 【小问2详解】 由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名数学成绩总评非优秀． 所有可能的取值为0，1，2， 知，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故． 17. 如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直. （1）画出直线说明作法和理由； （2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件找出直线与平面内两条相交直线垂直，从而判定直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质得到直线与平面内其他直线的垂直关系. （2）先根据已知点的坐标求出相关向量的坐标，再通过向量垂直的性质求出平面的法向量，最后利用向量夹角公式求出直线与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 如图所示，连接，在上底面过点作直线即可， 因为面，所以， 根据作法知， 又因为在平面上， 所以平面， 所以. 【小问2详解】 依题两两垂直 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ∴，∴， ∴直线l的一个方向向量为， 设为平面的法向量， ，即，可取， 从而， 所以直线l与平面夹角的正弦值为. 18. 已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且，的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 【答案】（1）（2）面积定值 【解析】 【分析】（1）由已知条件推导出，结合及椭圆的定义由余弦定理得，从而求出椭圆方程． （2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合点到直线的距离公式，化简整理，即可得到三角形的面积为定值． 【详解】（1）依题意有， 由及椭圆的定义得 由余弦定理得 即 又， 故椭圆的方程为. （2）联立， 可得， 则① 又 由， 可得， ， ，满足① 设原点到直线的距离为，， 为定值. 【点睛】考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题考查逻辑推理，数学运算，数据分析的数学素养，难度较大． 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数的极大值点为，若，，数列的前项和为，其中表示不大于的最大整数. （i）求，，的值，并证明：当时，； （ii）若，，求证：. （参考数据：） 【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为 （2）（i），，，证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，解不等式即可求解单调区间. （2）（i）利用函数新定义求出，，的值，令，求得，，根据或1即可证明； （ii）利用累加法得，进而，由函数新定义得，累加法即可证明. 【小问1详解】 ， 当时，，令，解得. 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上单调递减. 所以的单调增区间为，单调减区间为. 小问2详解】 （i）由（1）知，， ，，. 令，，其中， ， ， 显然或1，故. （ii），，， 累加得， 即， 当，时， 由，，， 则， ， 所以， 故， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高二下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数为方程(，)的一个根，则该方程的另一个复数根是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“为幂函数”的（ ）条件． A. 充要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充分不必要 5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，若点满足，则（ ） A. -3 B. 0 C. 1 D. 4 6. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 8. 已知是数列的前n项和，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B C. 若数列单调递增，则的取值范围是 D. 若，则 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，若，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的取值范围为 11. 我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（ ） A. B. 第2025行的第1013个数和第1014个数相等 C. 记杨辉三角中第行的第个数为，则 D. 在杨辉三角中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为_____． 13. 已知，则______. 14. 已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的球面上，，点为棱的中点，点是侧面内的一点，且平面，则线段的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角大小； （2）若点为的中点，，，求的周长． 16. 为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表： 数学成绩总评优秀的人数 数学成绩总评非优秀的人数 合计 每天都整理数学错题的人数 90 不是每天都整理数学错题的人数 40 100 合计 200 （1）完成上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； （2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望． 附：，其中． 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直. （1）画出直线说明作法和理由； （2）当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 18. 已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且，的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数的极大值点为，若，，数列的前项和为，其中表示不大于的最大整数. （i）求，，的值，并证明：当时，； （ii）若，，求证： （参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$