精品解析：2025年四川省成都市青羊区树德中学中考数学三诊试卷

2025年四川省成都市青羊区树德中学中考数学三诊试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，2025的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 天府绿道位于四川省成都市境内，规划总长约16900000m，建成后将是世界上规模最大的绿道系统，也是天府文化底蕴的现代展示．将数据“16900000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 计算：______． 10. 点，都在反比例函数的图象上，则______．（填“”或“”） 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，以原点O为位似中心将进行放缩．若放缩后点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 12. 分式方程的解为______． 13. 如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为______． 14. 若a是的小数部分，则的值为______． 15. 已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为______． 16. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为______． 17. 如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上的动点，且，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，则的最小值为______． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设抛物线的对称轴为点，是抛物线上两个点，当时，对的每一个值，总存在，使得，，且成立，则的取值范围为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 21. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 22. 如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标； （3）在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 龙泉驿水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．某商家在龙泉驿以元的价格收购了一批水蜜桃后出售，售价不低于元，不超过元．该商家对销售情况进行统计后发现，日销售量与售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）设日销售利润为元，当销售价格定为多少时，日销售利润最大？最大是多少？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 26. 如1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； （3）如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省成都市青羊区树德中学中考数学三诊试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年国际数学日的主题是“数学·艺术·创意”，2025的倒数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数，是解题的关键．根据倒数的定义，一个数与它的倒数相乘等于1，得出2025的倒数为． 【详解】解：∵， ∴ 2025的倒数为， 故选：D． 2. 天府绿道位于四川省成都市境内，规划总长约16900000m，建成后将是世界上规模最大的绿道系统，也是天府文化底蕴的现代展示．将数据“16900000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将16900000写成其中，n为整数，当原数的绝对值时，的值为小数点向左移动的位数，由此即可求解． 【详解】解：． 故选B． 3. 一个几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是立体几何的三视图，理解各视图的特点是解题的关键． 俯视图是从上往下看，能看到的面与线用实线表示，看不到又确实存在的用虚线表示，由此即可求解． 【详解】解：根据几何体俯视图的特点得，能看到的是顶面，长方形中间有两条实线，两条虚线；A、长方形中间有两条实线，两条虚线，符合题意故选A； B、没有虚线，不符合题意，故B错误； C、是左视图，不符合题意，故C错误； D、是主视图，不符合题意，故D错误； 故选：A． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减和乘除运算，正确理解整式的加减和乘除运算的法则是解题的关键．根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，幂的运算法则即可判断答案． 【详解】选项A，与不是同类项，不能合并，故选项A错误，不符合题意； 选项B，，故选项B错误，不符合题意； 选项C，，故选项C错误，不符合题意； 选项D，计算正确，符合题意． 故选D． 5. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ） A. B. AB＝AD C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、∵， ， ∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D．∵， ， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，点，关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标，坐标与图形变化平移，熟练掌握对应点的坐标是求解本题的关键．根据关于轴对称的点的坐标特点，可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，再根据点的平移规律可得点的坐标． 【详解】解：∵点，关于x轴对称， ∴. ∵将点B向左平移3个单位长度得到点C， ∴. 故选D 7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．有下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y的值随x值的增大而减小；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系、抛物线的性质等知识点，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 根据抛物线开口向上可得，对称轴为可得通时判定②；与y轴交于负半轴可得，即可判定①；根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；由图象可知，当时，可推出③错误；根据函数图象即可判断④；当时，函数有最小值，进而判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于点，， ∴对称轴为直线，故②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴上， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知，当时，， ∴当时，，故③错误； 由图象可知，当时，y的值随x值的增大而增大，故④错误； ∵且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数有最小值， ∴当m为任意实数时，， ∴，故⑤正确． 综上所述，说法正确的是②⑤，共2个． 故选B． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算、整式乘法的运算律等知识点，掌握整式乘法的运算律成为解题的关键． 先根据平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 点，都在反比例函数的图象上，则______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式得出y的值随x值的增大而减小，结合即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：点，在反比例函数的第一象限图象上，且y的值随x值的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，以原点O为位似中心将进行放缩．若放缩后点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，由条件确定相似比是解题关键． 从点A的变化可以看出，位似变换将点A的横、纵坐标都乘2，根据题意直接求解即可． 【详解】解：从点A的变化可以看出，位似变换将点A的横、纵坐标都乘2， ∴点B应发生相同的变化． ∴点B的对应点的坐标为． 故答案为． 12. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解： 去分母得：，解得：， 经检验，是分式方程的解． 故答案为． 13. 如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为______． 【答案】28 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的做法、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由尺规作图可得是的平分线，即；再根据平行四边形的性质及等于三角形的性质可得，进而得到，最后根据平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，是的平分线， ∴， ∵中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为28． 14. 若a是的小数部分，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方． 先估算的大小，得出a的值，然后计算代数式的值即可． 【详解】∵， ∴． ∴． 故答案为： 15. 已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解的意义和根与系数的关系，结合已知条件列的关于k的方程式解题的关键，根据一元二次方程解的意义以及其根与系数的关系列的K的方程，解得方程即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴，即． 将其代入，得， 即， ∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，． 将其代入， 得． 解得， 故答案为． 16. 如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，作辅助线构造全等三角形是解问题的关键． 连接，过点D作于点M，过点D作于点N，先证明是正方形，然后证明，最后运用解题即可． 【详解】如图，连接，过点D作于点M，过点D作于点N， 则 ∵， ∴，，四边形是矩形 ∵，D是的中点， ∴ ∴ 同理 ∴四边形是正方形 ∴， 由题可知，， ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为 17. 如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上的动点，且，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长、交于点P，连接、，证明，可得，即，由对称的性质可得，根据三角形三边关系可得，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点P，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P为定点， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、矩形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识得出是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设抛物线的对称轴为点，是抛物线上两个点，当时，对的每一个值，总存在，使得，，且成立，则的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 首先求出对称轴，分和两种情况， 分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ， 当时，对于的每一个值，总存在，使得，且成立， ①若，此时， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 当时， ， 成立， 当时， 点关于对称轴直线的对称点为， ， ， 当时，成立， 当时，不合题意，舍去， ②若，此时， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 满足题意， 综上所述，t的取值范围是或. 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、解不等式组等知识点，灵活运用相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先根据负整数次幂、特殊角的三角形函数值、绝对值、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：. 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 20. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛.该校随机抽取部分学生的答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）这次抽样调查共抽取______人，并将条形统计图补充完整； （2）该校有1500名学生，估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）学校要从答题成绩为A等级的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“环境知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50， 补充完整的条形统计图如图所示． （2）估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算出A等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）用1500乘以A、B两个等级所占百分比的和即可得到该校学生答题成绩为A等级和B等级的总人数； （3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后根据概率的计算公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法，以及概率的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【小问1详解】 解：由统计图可知，这次抽样调查共抽取（人）． 等级为A的有（人） 【小问2详解】 解：（人）， 即估计该校学生答题成绩为A等级和B等级的共有840人． 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的结果有2种， ∴P（抽出的两名学生恰好是甲和丁）． 21. 高空走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”，东汉张衡在《西京赋》中就有“跳丸剑之挥霍，走索上而相逢”的描写．古代的走索用的不是钢丝而是绳子，绳子由于柔软，更加容易晃动，难度不小．十一假期，阳光马戏团正在表演高空走钢丝（图1），杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时（图2），当杂技演员走至钢丝中点时，恰好（图3），运动过程中绳子总长不变．（参考数据：） （1）求的长； （2）求杂技演员从点走到点，下降的高度． 【答案】（1）的长约为 （2）下降的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点F作，垂足为I，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得 ，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，， ， 的长约为； 【小问2详解】 过点F作，垂足为I， ∵点F为钢丝中点，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴下降的高度约为 22. 如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等． （2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于，则， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标； （3）在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点E的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入求得，再把点A坐标代入反比例函数解析式求得，联立方程组，求解即可； （2）设，可得、，分类讨论：①若E为的中点，②若F为的中点，③若G为的中点，利用中点坐标公式列方程求解即可； （3）求得，利用锐角三角函数可得，，分类讨论：当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接，利用锐角三角函数列方程求解；当点P在直线右侧时，，故此情况不存在，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数的图象上， 把点代入得，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B， 联立方程组得，， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵点F在反比例函数的图象上，点G在一次函数的图象上， ∴、， ①若E为的中点， ∴， 整理得，，方程无解， ∴该情况不存在； ②若F为的中点，如图1， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴； ③若G为的中点，如图2， ∴， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点E的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵一次函数的图象与x轴交于点C． 把代入得，， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在反比例函数图象上， 设， 当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得或（舍）， ∴； 当点P在直线右侧时， ∵， ∴当时，点P在的延长线上， ∴此种情况不存在， 综上所述，点P坐标为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与坐标轴的交点问题、锐角三角函数、平行线的性质、中点坐标公式、解一元二次方程、用待定系数法求反比例函数解析式及两点间的距离公式，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 24. 龙泉驿水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．某商家在龙泉驿以元的价格收购了一批水蜜桃后出售，售价不低于元，不超过元．该商家对销售情况进行统计后发现，日销售量与售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式； （2）设日销售利润为元，当销售价格定为多少时，日销售利润最大？最大是多少？ 【答案】（1）； （2）当销售价格定为元时，日销售利润最大，最大是元． 【解析】 【分析】（）根据图象，利用待定系数法即可求解； （）根据“日销售利润每千克的利润日销售量”列出与的函数关系式，根据二次函数的性质和的取值范围即可求解； 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求解是解题的关键． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知，图象经过点，， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的值随值的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴当销售价格定为元时，日销售利润最大，最大是元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且满足． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2，直线与抛物线交于点M，N，设点D是线段的中点 ①连接，，当取最小值时，求b的值； ②在坐标平面内，以线段为边向左侧作正方形，当正方形有三个顶点在抛物线上时，求正方形的面积． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①联立两方程得到，然后设，，得到，然后求得点D的横坐标，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长，然后求出直线，即可求b值； ②分为点P在抛物线上和点Q在抛物线上两种情况，利用全等三角形，结合一次函数的解析式即可解题． 【小问1详解】 ∵， ∴，，. 设抛物线的表达式为.将代入，得. ∴抛物线的函数表达式为，即. 【小问2详解】 ①联立.整理，得. 设，. 由根与系数的关系，得. ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为.将代入，得. ∴点D在直线上运动，且.…… 如图1，将点O关于直线作对称点，连接交直线于点，连接.当点D与重合时，的值最小，即为的长. 设直线的函数表达式为， 将，代入，得.解得. ∴直线的函数表达式为， 令，得. ∴. 将点代入，得. ②（ⅰ）当点P在抛物线上时，如图2，过点M作直线l平行于x轴，过点P，N分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，P的横坐标分别为m，n，p. 由①知，， ∴. ∴. 同理可得，即. ∴. ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为， ∴. ∴，即. ∴. ∴. ∴. （ⅱ）当点Q在抛物线上时，如图3，过点N作直线l平行于y轴，过点Q，M分别作直线l的垂线，垂足分别是G，H. 设点M，N，Q的横坐标分别为m，n，q. 由①知，，， ∴，. ∴，. 由（ⅰ）得， ∴，. ∵直线MN的函数表达式为，∴.∴，即.∴. ∴，. ∴. 综上所述，正方形有三个顶点在抛物线上时，正方形的面积为或. 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 26. 如1，在正方形中，，P是边上的一点，连接，过点D作于点H，在边上有一点E，连接，过点H作，交边于点F． （1）求证：； （2）如图2，连接，交线段于点G，当为等边三角形时，求的长； （3）如图3，设M是的中点，连接，分别交线段，于点K，N，当P是的中点时，在边上是否存在点E，使得？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3）存在点E，使得，此时 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，证得，可得，即可得证； （2）设，则，根据等边三角形的性质可得，即，由（1）可知，，可得，即可求解； （3）连接，，由（1）可知，，可得，根据正方形的性质得，设，则，利用锐角三角函数可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质和锐角三角函数值可得，即H，E，M，N四点共圆，证得，可得，利用勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，，证明，可得，即，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接，， 由（1）可知，， ∴， ∵P是的中点，且在正方形中，， ∴， ∴， 设，则， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵M是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴H，E，M，N四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵H，E，M，N四点共圆， ∴同理可得， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 若，则， ∴，即， ∴， ∵（已证）， ∴，即， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∴， 由，得， 整理，得， 解得，（舍去）， ∴存在点E，使得，此时． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质、解一元二次方程、等边三角形的性质、解直角三角形的计算,四点共园，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $