第13章 三角形（大单元教学设计）数学人教版2024八年级上册

第十三章 三角形 大单元教学设计 大单元主题背景分析（教材分析） 教材地位与作用 三角形是初中几何的基石，本章内容既是七年级“线段、角”知识的深化，也为后续学习“全等三角形”“轴对称图形”等章节奠定基础.通过研究三角形的基本概念、边角关系、特殊线段（高、中线、角平分线）及内角和性质，学生将系统掌握几何图形的核心要素，培养空间观念与逻辑推理能力.新课标衔接与核心素养 · 几何直观：通过观察、操作（如画高、折中线）感知三角形稳定性及内角和规律； · 推理能力：从“三角形内角和为180°”的证明，到直角三角形性质与判定的逻辑推导； · 模型观念：结合实际问题（如设计三角形支架、计算多边形内角和），建立三角形模型解决现实问题. 学情分析 · 认知基础：学生已熟悉线段、角的基本性质，但空间想象能力较弱，对“三角形稳定性”的抽象理解存在困难； · 学习难点：动态理解三角形高、中线、角平分线的区别与联系，以及直角三角形斜边中线性质的应用； · 兴趣点：通过实验操作（如拼接三角形纸片）和实际测量（如校园内三角形结构）激发探究欲望. 单元教学目标 知识与技能 1.理解三角形的定义及分类（按角、按边），掌握三角形三边关系定理； 2.识别并画出三角形的高、中线、角平分线，理解其性质（如中线平分面积）； 3.掌握三角形内角和为180°，外角等于不相邻两内角之和； 4.理解直角三角形的性质（如斜边中线等于斜边一半）及判定方法（如一个角为90°）. 数学思考 1.经历从“实验操作”到“逻辑论证”的推理过程（如通过折叠验证内角和）； 2.培养分类讨论思想（如已知两边及一边对角时三角形的存在性分析）； 3.建立几何命题的逆向思维（如从内角和反推外角性质）. 问题解决 1.能用三角形稳定性原理解决实际问题（如设计稳固的支架）； 2.运用内角和、外角性质计算特殊图形角度； 3.通过小组合作完成项目式学习（如“校园内三角形结构调查”）. 情感态度 1.感受几何图形在现实生活中的应用价值； 2.培养严谨的数学表达习惯（如规范书写证明过程）； 3.增强团队合作意识（如小组讨论中的角色分工）. 学习活动设计 三角形的概念活动一 与三角形有关的线段活动二 三角形的内角和外角活动三 学习评价设计 过程性评价 · 课堂表现：通过提问、板演记录学生参与度（占比20%）； · 实践任务：评价尺规作图、模型制作等动手操作能力（占比30%）； · 阶段性测验：设计分层测试题（基础题、变式题、拓展题），关注思维过程而非唯一答案. 终结性评价 · 单元测试：包含选择题（概念辨析）、填空题（性质应用）、解答题（综合证明）和开放题； · 成长档案袋：收集学生错题分析、思维导图、学习反思等材料. 反思性教学改进 · 教学实施反思 问题1：部分学生对“三角形高”的概念理解困难，尤其在钝角三角形中. 改进策略：增加动态演示（如几何画板展示高随顶点移动的变化），设计对比实验（锐角、直角、钝角三角形高的位置）. 问题2：小组讨论参与度不均衡. 改进策略：采用“异质分组+角色轮换制”，设置“记录员”“汇报员”“质疑员”等明确职责. · 资源优化建议 1.开发“三角形性质”互动微课，支持学生课前预习与课后巩固； 2.引入AR技术，通过虚拟实验观察三角形稳定性（如桥梁结构中的三角形应用）. · 长效目标调整 1.将“数学文化”融入课堂（如介绍古代建筑中的三角形结构）； 2.联合物理教师开展“三角形与力的平衡”跨学科项目，强化核心素养的综合性培养. 单元教学结构图 教学设计 三角形的概念活动一 · 情境引入 思考：观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形. 师生活动：在教师的引导下，学生理解情境问题，合作探究，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活；同时引出本节课题. · 探究新知 概念学习：三角形 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 注意：三个要点缺一不可 不在同一条直线上+三条线段+首尾顺次相接 思考：观察如图所示的三角形，说一说三角形由哪些元素构成. 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 三角形的表示方法：“三角形”用符号“Δ”表示，如果顶点是A，B，C的三角形记做“ΔABC”，读做“三角形ABC”. 表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作△ABC，也可记作△ACB. 在△ABC 中， AB 边所对的角是：∠C ∠A 所对的边是：BC 追问：再说几个对边与对角的关系试试. 思考：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 思考：你能找出下列三角形各自的特点吗？ 答案： 总结：三条边各不相等的三角形叫作不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫作等边三角形． 追问：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 结论：等腰三角形两边相等，等边三角形三边相等.等边三角形是特殊的等腰三角形. 思考：按照三角形三边情况，三角形可以分为哪几类？ 练习：判断以下命题的真假： （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形. （ ） （2）等边三角形是特殊的等腰三角形. （ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等. （ ） （4）等边三角形是锐角三角形. （ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形. （ ） （6）锐角三角形是三条边都不相等的三角形；（ ） （7）等腰三角形是等边三角形； （ ） （8）等边三角形是等腰三角形． （ ） 答案：×√×√×××√ 师生活动：教师引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.下列图形是三角形吗？ 答案： 例2.如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=AD=DC=AC. （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以AB为边的三角形； （3）找出图中的等腰三角形和等边三角形. 例3.（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． （2）以 AB 为边的三角形有哪些？ （3）以 E 为顶点的三角形有哪些？ （4）以∠D 为角的三角形有哪些？ （5）说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边. 解：（1）5 个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD. （2）△ABC、△ABE. （3）△ABE、△BCE、△CDE. （4）△BCD、△DEC. （5）△BCD 的三个角是 ∠BCD、∠D 和 ∠CBD. 顶点 B 所对的边为 DC，顶点 C 所对的边为 BD，顶点 D 所对的边为 BC. 例4.把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置． (1)按边分类： 三边均不相等的____________是不等边三角形； 两条边相等的____________是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的_________是锐角三角形； 有直角的_________是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 答案：②④⑤⑦，①③⑥⑧，①；①④⑥，③⑤⑦，②⑧ 例5.图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC，要求： （1）在图①中画一个直角三角形，在图②中画一个锐角三角形，在图③中画一个钝角三角形．（2）点C在格点上． 答案： 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. 与三角形有关的线段活动二 · 情境引入 思考：从A到C你会选择哪条路？ 追问：为什么？你能证明吗？ 证明： ∵AB为线段 ∴AC+BC>AB （两点之间线段最短） 同理，AB+BC>AC AC+AB>BC 师生活动：在教师的引导下，学生理解情境问题，合作探究，积极参与到课堂中去． 设计意图：生活中的实际案例引入，提高学生学习的积极性.从生活中，让学生去发现存在的数学问题，体会数学来源于生活，应用于生活；同时引出本节课题. · 探究新知 思考：任意选三根小棒，能围成一个三角形吗？先围一围，再与同学交流. 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 追问：为什么有的围的起来，有的围不起来呢？记录一下所有你围成的边长情况，分析交流一下吧！ 任意选取三根小棒,围一围,发现有的能围成一个三角形,有的则不能. 追问：以第三次为例，说明为什么不能构成三角形. 追问：根据以上结果，你能得出什么结论？ 得出初步的结论： 两条短边的长度之和要大于最长的边. 探究：三角形任意两边长度的和真的是一定大于第三边吗？每位同学都来试试，先画一个三角形，再量一量、算一算，看看有没有能推翻这个结论的“例子”！ 结论：三角形两边的和大于第三边.三角形两边的差小于第三边. 即a+b>c,a+c>b,b+c>a，a-b<c,a-c<b,b-c<a 思考：把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 三角形木架的形状不会改变，说明三角形具有稳定性. 三角形的稳定性:只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”.这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动或拉不动”的问题，其实质应是“三角形的边长一旦确定，其形状和大小就确定了”. 追问：三角形的稳定性有着广泛的应用，以下是其中的一些例子.你能再举出一些例子吗？ ...... 师生活动：教师引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 探究新知 思考：如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ 回顾：什么叫垂线？线段中点？角平分线？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线. 如图，在△ABC 中，E是BC的中点.则AE是BC边上的中线，此时BE=CE. 如图，在△ABC 中，AE是BC边上的中线.则E是BC的中点，此时BE=CE. 思考：每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条中线.如图，画出三角形的中线. 追问：这三条中线之间有怎样的位置关系? 追问：锐角三角形的三条中线是在三角形的内部还是外部? 追问：对于任意三角形，是否也满足“三条中线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条中线，并观察三条中线是否相交于一点. 思考：如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？通过以上问题你能发现什么规律？ 1. 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心. 2. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 3.三角形重心的性质 总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 高相等时，面积的比等于底边的比； 底相等时，面积的比等于高的比． 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 思考：你能类比三角形的中线的定义，说明什么是三角形的角平分线吗？ 追问：三角形的角平分线与角的平分线相同吗? 思考：每一个三角形都有 个内角，因此每一个三角形都有 条角平分线. 如图，画出三角形的角平分线. 追问： 这三条角平分线之间有怎样的位置关系? 追问： 锐角三角形的三条角平分线是在三角形的内部还是外部? 追问：对于任意三角形，是否也满足“三条角平分线相交于一点”？ 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线， 并观察三条角平分线是否相交于一点. 高的叙述方法（如图）：有三种 ① AD 是△ABC 的高. ② AD⊥BC，垂足为 D. ③ 点 D 在 BC 上，且∠BDA =∠CDA = 90°. 思考：每一个三角形都有 个顶点，因此每一个三角形都有 条高. 追问： 这三条高之间有怎样的位置关系? 追问： 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 追问：对于任意三角形，是否也满足“三条高相交于一点”? 分别画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条高， 并观察三条高是否相交于一点. 思考：钝角三角形的三条高相交吗？它们所在的直线交于一点吗？这点位于何处？ 师生活动：教师引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3 cm、8 cm、4 cm；（2）5 cm、6 cm、11 cm； （3）5 cm、6 cm、10 cm. 解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm． （2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm． （3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm． 归纳总结：判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可. 例2.一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 解：∵三角形的三边长分别为4，7，x， ∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11. 归纳总结：三角形的第三边长 x 满足两边之差＜x＜两边之和. 若三角形的三边长分别为a，b，则第三边长度x应该满足：|a-b|<x<a+b. 例3.若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边的长为x， 根据两边之和大于第三边得： x＜2+7即x＜9 根据两边之差小于第三边得： x>7-2即x>5 所以x的值大于5小于9，又因为它是奇数， 所以x只能取7. 例4.用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm． x + 2x + 2x =18． 解得 x =3.6. 所以，三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm． （2）①如果4 cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4 + 2x = 18． 解得 x = 7. ②如果4 cm长的边为腰，设底边长为x cm，则 4×2 + x = 18. 解得 x = 10. 因为4 + 4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长为4 的等腰三角形． 由以上讨论可知，第①种情况可以围成底边 长为4 cm的等腰三角形． 例5.盖房子时，在窗框未安装好之前，工人师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢?生活中还有哪些是利用了这个原理？ 解：利用三角形的稳定性.四边形不稳定,容易变形.斜钉一根木条后，就形成了两个三角形，利用三角形的稳定性可以预防窗框变形. 例6.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？ 解：根据面积比值为1：1：2的要求，可以将三角形菜地的总面积看作4份. 利用三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个小三角形的性质. 如图，分别作出两条中线，所得到的△ABE，△AED，△ADC的面积之比就是1：1：2. 例7.如图，AD为△ABC的中线，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC 的长（AC＜AB）. 解:∵AD为△ABC的中线 ∴BD＝CD ∵△ABD和△ADC的周长差是4cm ∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD) ＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD ＝AB﹣AC＝4cm ∵AB＝12cm ∴AC＝AB﹣4cm＝8cm ∴△ABC的边AC的长为8cm 例8.如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，设△ABC，△ADF 和△BEF 的面积分别为 S△ABC，S△ADF 和 S△BEF，且 S△ABC ＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. 例9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE. 例10.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）. 若∠B=x°，∠C=y°，求∠DAE(用x,y表示). 例11.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ） 例12.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长. 解：如图，过点A作BC边上的高线AE，交CB延长线于点E  ∵1/2BC•AE＝1/2 AC•BD，AC＝8，BC＝4，高BD＝3 ∴ 1/2×4AE＝1/2 ×8×3 解得 AE＝6 ∴AE的长为6 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. 三角形的内角和外角活动三 · 复习回顾 思考：三角形的内角和是多少？我们怎么证明呢？ 设计意图：由问题导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了学生的学习热情，对学生探究新知识起到很好的推动作用，让学生发表自己的见解，既培养了学生的数学语言表达的能力，又发挥了学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上． · 探究新知 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明方法三：推理验证法（1） 证明：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° 证明方法三：推理验证法（2） 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 证明方法三：推理验证法（3） 证明：过D作DE∥AC,作DF∥AB ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180° (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180° 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 结论：借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神. · 溯源 三角形的内角和定理：三角形内角和等于180°. 帕斯卡：（1623—1662）是法国著名的数学家、物理学家.早在300多年前，他12岁时，就独立发现了任何三角形的内角和都是180°. · 应用新知 例1.求出下列各图中的 x 值. 答案如上 例2.如图，在△ABC 中，∠B = 42°，∠C = 78°，AD 平分∠BAC．求∠ADC 的度数. 解：∵∠B = 42°，∠C = 78°， ∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 60°. ∵ AD 平分∠BAC， ∴∠CAD = 1/2 ∠BAC = 30°. ∴∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 72°. 例3.如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 归纳总结 事实上，在△AEF 中，∠A+∠AFE+∠AEF=180°, 在△CDF 中，∠D+∠FCD+∠CFD＝180°, 而∠AFE=∠CFD， 故有∠A+∠AEF=∠D+∠FCD. 这样的模型我们称之为“八字模型”. 由三角形的内角和定理 易得∠A +∠B =∠C +∠D. 常见的模型 由三角形的内角和定理易得，∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 例4.在△ABC中，已知∠A=60°，∠B：∠C=2︰1，求∠B 和∠C. 解：设∠C 为 x°，则∠B 为 2x°， 从而有x + 2x + 60＝180. 解得 x＝40. ∴ 2x＝80. 答：∠C，∠B的度数分别为 40°，80°. 总结：几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 变式：在△ABC中，已知∠B=x°，AD、CE是△ABC的两条角平分线，CE与AD相交于点O，求∠AOC 的度数． 例5.如图，B 岛在 A 岛的南偏西 40° 方向，C 岛在 A 岛的南偏东 15°方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80°方向，求从 C 岛看 A，B 两岛的视角∠ACB 的度数. 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握所学知识，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. · 探究新知 思考：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度? 追问：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°， 由三角形内角和定理， 可得：∠A+∠B=90°. 由此可得：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC． 应用格式： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°．　 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． 设计意图：把未知的知识交给学生，让他们在合作学习的过程中，体会到可以用自己的能力去解决新问题，探索新方法，从而获得成功的喜悦．这样一来又大大调动了学生的学习热情，培养和提高了学生学习的主动性和合作精神，同时又使学生的观察力和语言表达能力得到了锻炼． · 应用新知 例1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，求∠BCD . 解：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠B=50°, 在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴∠BCD=40°. 思考：从以上例题中我们能得到什么启发？ 事实上， 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180° 因此，∠B=∠ACD， 同理可得，∠A=∠BCD. 例2.如图,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，求∠AHC. 提示：能否找出以上双垂直模型？ 例3.如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 事实上，这是一个条件更多的“八字型”. 如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C . 师生活动：教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，学生口答，教师板书解题过程. 设计意图：鼓励学生认真思考；发现解决问题的方法，引导学生主动地参与教学活动，发扬数学民主，让学生在独立思考、合作交流等数学活动中，培养学生合作互助意识，提高数学交流与数学表达能力. · 应用新知 例4.如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？ 归纳总结：直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形． 例5.如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？ 例6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，求∠BCD . 解：在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴∠B=50°, 在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180° ∴∠BCD=40°. 思考：从以上例题中我们能得到什么启发？ 双垂直模型 事实上， 在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， 在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180° 因此，∠B=∠ACD， 同理可得，∠A=∠BCD. 例7.如图,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，求∠AHC. 解：∵AD、CE是△ABC 的高， ∴∠CEB=∠CDA=90°， 在 Rt△EBC 中， ∠B+ ∠BCH= 90°. 在 Rt△HDC 中， ∠CHD+ ∠BCH= 90°. ∴∠CHD= ∠B=50°， ∴∠AHC=180°-∠CHD= 130°. 思考：从以上例题中我们能得到什么启发？ 如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F， ∠A 与∠BFC 有如下关系：∠A +∠BFC = 180°. 证明：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E， ∴∠BEA =∠BDF = 90°. ∴∠ABE +∠A = 90°， ∠ABE +∠DFB = 90°. ∴∠A =∠DFB. ∵∠DFB +∠BFC = 180°， ∴∠A +∠BFC = 180°. 例8.如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？ 解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下： 在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC. 在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED. ∵∠AEC = ∠BED， ∴∠CAE = ∠DBE. 总结归纳：双垂八字型 如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C . 证明： ∵∠B = ∠D = 90°， ∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°. ∵∠AOB = ∠COD， ∴∠A = ∠C. 思考： 如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？ 解：△ABC 是直角三角形，理由如下： 在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 而∠A +∠B = 90°， 所以∠C = 90°， 即△ABC 是直角三角形. 归纳总结：直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形.　　 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形． 师生活动：教师引导学生思考，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验教学再创造的思维过程，而且还培养了学生的创造意识和科学精神. · 探究新知 思考：假期，果果到爷爷的农田中帮忙，其中有一块田是三角形形状的.果果沿着这块三角形农田周围的小路，按逆时针行走.小明每从AC小路到AB小路时，身体转过的角度是多少？ 三角形的外角：如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角. 三角形的外角应具备的条件： ① 角的顶点是三角形的顶点，② 角的一边是三角形的一边，③ 另一边是三角形中一边的延长线. 思考：如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 追问：每个顶点处有几个外角？它们有何关系？ 每个顶点处有2个外角，如上图，△ABC在点C处有两个外角，分别是∠BCE 和∠ACD，它们是对顶角，因此它们相等. 追问：三角形共有几个外角？ 每一个三角形都有 6 个外角．每一个顶点相对应的外角都有 2 个， 且这 2 个角为对顶角. 思考：三角形的一个外角和它相邻的内角有何数量关系？三角形的一个外角和它不相邻的两个内角有何数量关系？ 求证：∠BCD =∠A+∠B . 证法一： 由三角形的内角和可知 ∠A+∠B+∠ACB=180° 由邻补角的定义可知 ∠BCD +∠ACB=180° ∴∠BCD =∠A+∠B . 思考：你还有其他证法吗？ 三角形内角和定理的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： ∵∠ACD 是△ABC 的一个外角， ∴∠ACD =∠A +∠B. 说明：推论是由定理直接推出的结论.和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 思考：如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2. 又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD = 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. 追问：你还有其他解法吗？ 三角形的外角和：三角形每个顶点处分别有两个外角，如果每个处各取一个外角，那么这三个外角的和就叫做三角形的外角和. 结论：三角形的外角和等于 360°. 师生活动：教师引导学生思考三角形的外角，待学生充分交流后，教师选代表总结，教师补充． 设计意图：通过对三角形外角的探索，拓展学生的思维.尝试不同解法，培养思维发散性. · 应用新知 例1.如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ 解：∠BEC 是△AEC 的外角；∠AEC 是△BEC 的外角；∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 例2.求出下列图形中∠1 的度数. 例3.已知图中∠A、 ∠B、 ∠C分别为80°，20°，30°，求∠1的度数. 解：∵∠2 是△ACD 的一个外角， ∴∠2 =∠3+∠C=110°， ∵∠1 是△BDE 的一个外角， ∴∠1=∠B +∠2=130°. 追问：如何把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列？ 例4.如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠B＝∠BAD， ∠ADC＝80°, ∠BAC=70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数. 解:（1）因为∠ADC 是△ABD 的外角， 所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝80°. 又因为∠B＝∠BAD，所以∠B＝80°÷2＝40°. （2）在△ABC 中，因为∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 所以∠C＝180°－∠B－∠BAC ＝180°－40°－70°＝70° 例5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数. 例6.如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F = . 师生活动：学生独立完成,然后同桌互批;教师鼓励学生到黑板前演示,再走到学生中间对个别学生指导,在学生完成后组织学生进行交流、评价和实物投影展示,对于细节上存在的问题要让学生进行纠错,必须做到解题规范. 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握外角的应用，同时培养学生变相思考问题的能力，运用知识.学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识. · 课堂小结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1. 本节课你学到了什么？ 2. 什么是三角形？如何表示？其基本要素有哪些？ 3. 三角形如何分类？ 4. 三角形的三边有何数量关系？这种数量关系有何应用？ 5. 三角形具有稳定性，你能举出几个例子吗？ 6. 你会画三角形的中线、角平分线和高吗？它们有什么区别和联系？ 7. 三角形的内角和是多少？如何证明？ 8. 直角三角形的性质是什么？如何判定？ 9. 什么是三角形的外角？三角形的外角有什么性质？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.由教师引导，学生进行总结，目的是充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化. · 当堂练习 1. 图中的锐角三角形有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（    ） 3.下列长度的线段不能组成三角形的是（ ） A. 3，8，4 B. 4，9，6 C. 15，20，8 D. 9，15，8 4.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( ) A.节省材料,节约成本 B.保持对称 C.利用三角形的稳定性 D.美观漂亮 5. 具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = 2∠B = 3∠C 6. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 7. 具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = 2∠B = 3∠C 8.如图，AB∥CD，∠A＝37°， ∠C＝63°，那么∠F 等于 ( ) A. 26° B. 63° C. 37° D. 60° 9.如图，共有6个三角形，其中以AC为边的三角形是________________________； 以∠B为内角的三角形有_________________________. 10.已知等腰三角形的两边长分别为 8 cm，3 cm，则这个三角形的周长为 _______. 11. 在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C = °. 12. 如图，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______°. 13.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 14.BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，求△ABD和△BCD的周长的差. 15. 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，求 BP 的最小值. 16.如图，在△ABC 中，∠A＝1/2∠B＝1/3∠ACB，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的平分线，求∠DCE 的度数． 17.如图，在△ABC中，已知∠B= 1/2∠A= 1/3∠C.求证:△ABC为直角三角形. 18.如图，∠A = 51°，∠B = 20°，∠C = 30°，求∠BDC 的度数. 师生活动：学生做练习，教师订正答案. 设计意图：通过练习来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识.通过分层练习，进一步提高学生学习兴趣，使学生的认知结构更加完善.同时强化本课的教学重点，突破教学难点. 单元作业设计 基础落实A组 1．如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 2．一个三角形的两边长分别为和，那么第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】解：设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得， 即， 所以它的第三边的长可能是． 故选：B． 3．抖空竹这个运动项目被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．我们可以从如图运动员某一时刻的姿势中抽象出如图的数学问题：，若测得，，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，延长交于点，由平行线的性质可得，进而根据三角形的外角性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，，直线l与，都相交（不经过点O），随着直线l位置的改变，则的度数之和（    ） A．始终等于 B．始终等于 C．始终等于 D．随着直线l位置的改变而改变 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和，根据三角形内角和为以及，进行作答即可． 【详解】解：∵，直线l与，都相交（不经过点O）， ∴的度数之和， 故选：C 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的大小为（    ） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵一束光线平行于主光轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握高的定义是解题的关键． 从所对的顶点A向或的延长线作垂线段即可． 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意； B．是的边上的高，故符合题意； C．是的边上的高，故不符合题意； D．不是任何边上的高，故不符合题意； 故选B． 7．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 8．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．已知是的三边，则化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解：是的三边， ， ， 故答案为：． 10．把一块直尺与一块三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 【答案】/128度 【分析】本题考查平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，根据平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余，结合邻补角求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，将沿方向平移得到． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数即可； （2）根据平移的性质得出，再结合和的长度，利用即可解决问题． 【详解】（1）解：由平移的定义知：， 在中，，， ； （2）解：由平移的定义知：， ， ． 12．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 13．如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：____①____（已知）， ． 同理可得____②____． 在中，三角形三个内角和等于， ____③____， ____④____（等式的性质） ____⑤____． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义求出的值，后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：平分，（已知）， ． 同理可得． 在中，三角形三个内角和等于， ， （等式的性质） ． 能力提升B组 1．如图，已知，则下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了平行线的性质，三角形内角和定理．设交于点F，根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，设交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D 2．为了验证如图所示的四边形中与所在直线的夹角是否为，如下方案， 方案一：测量出和的度数； 方案二：测量出和的度数． 下列判断正确的是（    ） A．方案一正确、方案二正确 B．方案一不正确、方案二正确 C．方案一正确、方案二不正确 D．方案一不正确、方案二不正确 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．延长交于点，方案一，根据三角形内角和定理即可解答；方案二，根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，则与所在直线的夹角为， 方案一：测量出和的度数，则与所在直线的夹角，故方案一正确； 方案二：测量出和的度数，可得，则与所在直线的夹角，故方案二正确； 故选：A． 3．设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据绝对值和平方的非负性，得到关于、的方程组，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， 故选：C． 4．已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：分别为三角形的三边， ， ，， ， 解得：， 故选：A． 5．在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 6．如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 6．已知．点为直线上的动点（点不与点重合），交直线于点． (1)如图，当点在上时，若，则__________； (2)如图，当点在的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由； (3)当点在的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）由平行线的性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）由直角三角形两锐角互余得，进而由平行线的性质得，再根据邻补角的性质即可求证； （）先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余即可求证； 本题考查了直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 7．【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； 【详解】解：（1）如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 故答案为：；． （2）∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 挑战自我C组 1．如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论正确的有 （写序号）． ①；：平分；． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③． 【详解】解：∵， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确； ∵，， ∴，， 故结论②错误； ∵，， ∴与不一定相等， 故结论③错误． 综上分析可知：正确的结论有：①④． 故答案为：①④． 2．一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】，或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，或或，分别画出示意图，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得，分三种情况： ①如图1，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ②如图2，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ③如图3，当三角板旋转至时，连接， 有． ，， ． ． 旋转时间为． 综上所述：当旋转时间为，或时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：，或． 3．在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题： 探究结论：（1）如图1，，，则________； （2）如图2，，，则与有什么数量关系，并证明； 得出结论：两个角的两边分别平行，则这两个角________． 应用结论：（3）在图3中，五边形，点、分别在、上，将沿翻折得到，，，，，求的度数． 拓展应用：（4）在图4中，，，，，平分，点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数________． 【答案】（1）；（2），证明见解析；相等或互补；（3）；（4）或或 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键． （1）利用平行线的性质和等量代换可得答案； （2）利用平行线的性质和等量代换可得答案，写出结论即可； （3）证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案； （4）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图1，∵，， ∴，， 则； 故答案为； （2），证明如下： 如图2，∵，， ∴，， 则， 结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补， 故答案为：相等或互补； 应用结论 （3）∵ ，， ∴， ∵， 由（1）的结论可得：， ∵， ∴ ． 拓展应用：（4）过B作， ∵ ， ∴， ∵ 同理可得：， ∴， ∵， 同理可得：， ∵平分， ∴ ， ∵ ∴ ， ∵中有两个相等的角， 当时，则， ∴； 当时，则， 当时，． 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 13 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $$