2025年广东省广州市越秀区第十六中学中考二模数学试卷

2025年广东省广州十六中中考数学二模试卷 一、单选题（30分） 1．（3分）下列实数中，比﹣3小的数是（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣5 D．1 2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为34，35，35，36．下列关于这组数据描述错误的是（　　） A．中位数是35 B．众数是35 C．平均数是35 D．方差是2 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3＝6a6 B．2a2+3a4＝5a6 C． D．a2（a3﹣2a）＝a6﹣2a3 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．65° B．55° C．60° D．70° 6．（3分）若点P（1，3）在直线y＝2x+b上，则下列各点也在直线l上的是（　　） A．（2，﹣1） B．（2，5） C．（﹣2，3） D．（﹣2，9） 7．（3分）如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（　　） A． B． C．9π D． 8．（3分）实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 9．（3分）在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼BC的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离AD为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为α，测得教学楼顶部C的仰角为β．根据以上信息，可以表示教学楼BC（单位：米）的高度是（　　） A．mtanα+mtanβ B． C．msinα+msinβ D． 10．（3分）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1+3+32+33+…+32024＝（　　） 求1+2+22+23+…+22024的值 解；令S＝1+2+22+23+…+22024， 则2S＝2+22+23+…+22025 故2S﹣S＝22025﹣1， 因此1+2+22+23+…+22024＝22025﹣1 A． B． C． D． 二、填空题（18分） 11．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是　 　 ． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b，4），则a+b的值是 　 　 ． 13．（3分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ 　 　 ． 14．（3分）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝　 　 度． 15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C，点B在⊙O上，则sinB＝ 　 　 ． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是 　 　 ． 三、解答题（72分） 17．（4分）解不等式组：． 18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上一点，AE＝CF，EF交AC于点O．求证：AO＝CO． 19．（6分）已知：． （1）化简A； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根． 20．（6分）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表： 频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30 波长λ（m） 60 30 20 15 12 10 （1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ（m）关于频率f（MHz）的函数表达式． （2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？ 21．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了 　 　 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 　 　 ； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　 　 ”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 22．（10分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 23．（10分）如图，在△ABC中，AC＜BC． （1）实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作⊙O，⊙O恰好过A，C两点，并与线段BC交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全⊙O． （2）推理与计算： 在（1）的条件下，若2∠C+∠B＝90°． ①求证：直线AB是⊙O的切线； ②若AB＝2，求⊙O的半径． 24．（12分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y；③y＝﹣x2+2x+1；④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　 ；（填序号） （2）设函数与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+4x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0．﹣4）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 25．（12分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值． 2025年广东省广州十六中中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C B A D A A 一、单选题（30分） 1．（3分）下列实数中，比﹣3小的数是（　　） A．﹣2 B．4 C．﹣5 D．1 【答案】C 【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【解答】解：∵﹣2＞﹣3，4＞﹣3，﹣5＜﹣3，1＞﹣3， ∴所给的实数中，比﹣3小的数是﹣5． 故选：C． 2．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断． 【解答】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3．（3分）某校开展了“空中云班会”的满意度调查，九年级各班满意的人数分别为34，35，35，36．下列关于这组数据描述错误的是（　　） A．中位数是35 B．众数是35 C．平均数是35 D．方差是2 【答案】D 【分析】排序后位于中间或中间两数的平均数即为中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差． 【解答】解：A、中位数是35，选项不符合题意； B、众数是35，选项不符合题意； C、平均数为35，选项不符合题意； D、方差为[（34﹣35）2+2×（35﹣35）2+（36﹣35）2]＝0.5，选项符合题意． 故选：D． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3＝6a6 B．2a2+3a4＝5a6 C． D．a2（a3﹣2a）＝a6﹣2a3 【答案】C 【分析】利用合并同类项的法则，单项式乘多项式的法则，负整数指数幂的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、（2a2）3＝8a6，故A不符合题意； B、2a2与3a4不属于同类项，不能合并，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、a2（a3﹣2a）＝a5﹣2a3，故D不符合题意； 故选：C． 5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB＝30°，则∠ADC的度数是（　　） A．65° B．55° C．60° D．70° 【答案】C 【分析】由AB为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝30°，得出∠B的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得∠ADC的度数． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°． 故选：C． 6．（3分）若点P（1，3）在直线y＝2x+b上，则下列各点也在直线l上的是（　　） A．（2，﹣1） B．（2，5） C．（﹣2，3） D．（﹣2，9） 【答案】B 【分析】由点P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出b的值，分别计算自变量为2、﹣2所对应的函数值，然后根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝2x+b的图象经过点P（1，3）， ∴3＝2+b，解得：b＝1， ∴一次函数的解析式为y＝2x+1． 当x＝2时，y＝2x+1＝5， 当x＝﹣2时，y＝2x+1＝﹣3， ∴点（2，5）在一次函数y＝2x+b的图象上． 故选：B． 7．（3分）如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（　　） A． B． C．9π D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的主视图求出圆锥的底面直径为3，母线长为3，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【解答】解：∵圆锥的主视图是边长为3的等边三角形， ∴圆锥的底面直径为3，母线长为3， ∴圆锥的底面周长为3π， ∴圆锥的侧面展开图的面积为：3π×3π， 故选：A． 8．（3分）实数a，b定义新运算“*”如下：a*b＝b2+ab，例如1*2＝22+1×2＝4+2＝6，则方程2*x＝﹣2的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】根据运算“*”的定义将方程2*x＝﹣2转化为一般式，由根的判别式Δ＜0，即可得出该方程无实数根． 【解答】解：由题可得：方程2*x＝﹣2化为x2+2x＝﹣2， 即x2+2x+2＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， 故选：D． 9．（3分）在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼BC的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离AD为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为α，测得教学楼顶部C的仰角为β．根据以上信息，可以表示教学楼BC（单位：米）的高度是（　　） A．mtanα+mtanβ B． C．msinα+msinβ D． 【答案】A 【分析】根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ADC和Rt△ADB中，利用锐角三角函数的定义求出CD和BD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AD⊥BC， 在Rt△ADC中，∠CAD＝β，AD＝m米， ∴CD＝AD•tanβ＝mtanβ（米）， 在Rt△ADB中，∠DAB＝α， ∴DB＝AD•tanα＝mtanα（米）， ∴CB＝CD+BD＝（mtanβ+mtanα）米， 故选：A． 10．（3分）如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：1+3+32+33+…+32024＝（　　） 求1+2+22+23+…+22024的值 解；令S＝1+2+22+23+…+22024， 则2S＝2+22+23+…+22025 故2S﹣S＝22025﹣1， 因此1+2+22+23+…+22024＝22025﹣1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题中所给推理过程，进行计算即可． 【解答】解：由题知， 令S＝1+3+32+33+…+32024， 则3S＝3+32+33+…+32024+32025， 两式相减得， 2S＝32025﹣1， 所以S， 即1+3+32+33+…+32024． 故选：A． 二、填空题（18分） 11．（3分）在函数y中，自变量x的取值范围是　x　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围． 【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0， 解得，x． 12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b，4），则a+b的值是 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【分析】直接利用关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【解答】解：∵点A（3，a）关于x轴的对称点为B（b，4）， ∴b＝3，a＝﹣4， ∴a+b＝3﹣4＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（3分）因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ 　a（x﹣2）2　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解：ax2﹣4ax+4a ＝a（x2﹣4x+4） ＝a（x﹣2）2． 故答案为：a（x﹣2）2． 14．（3分）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2＝　240　 度． 【答案】240． 【分析】由三角形外角的性质得到∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE，由三角形内角和定理，即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE， ∴∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE＝60°+180°＝240°． 故答案为：240． 15．（3分）如图，在菱形ABCD中，AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C，点B在⊙O上，则sinB＝ 　　 ． 【答案】． 【分析】由条件可以证明Rt△OAD≌Rt△OCD，△ABO≌△CBO推出∠AOB+∠AOD360°＝180°，得到B、O、D三点共线，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质，推出∠AOD＝2∠ADO，由直角三角形的性质，即可求出∠ADO的度数，得到∠ABC的度数，即可解决问题． 【解答】解：连接OA，OC，OB，OD， ∵AD与⊙O相切于点A，CD与⊙O相切于点C， ∴∠OAD＝∠OCD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA， ∵OD＝OD， ∴Rt△OAD≌Rt△OCD（HL）， ∴∠AOD＝∠COD， ∵OA＝OC，OB＝OB， ∴△ABO≌△CBO（SSS）， ∴∠AOB＝∠BOC，∠ABO＝∠CBO， ∴∠AOB+∠AOD＝∠BOC+∠COD360°＝180°， ∴B、O、D三点共线， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠OAB＝∠ABD， ∴∠AOD＝∠OAB+∠ABD＝2∠ADO， ∵∠AOD+∠ADO＝90°， ∴3∠ADO＝90°， ∴∠ADO＝30°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2×30°＝60°， ∴sin∠ABC＝sin60°． 故答案为：． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是 　6　 ． 【答案】6． 【分析】过点A作AM⊥x轴，垂足为M，GN⊥x轴，垂足为N，设点A（a，b）则AM＝b，OM＝a，利用相似三角形的判定和性质得到OBOMa，GNb，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到ONa，OF，最后根据S△FCD＝S△BCD﹣S△BDF，代入已知量得到ab＝6，即可得到k值． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴，垂足为M，GN⊥x轴，垂足为N， 设点A（a，b）则AM＝b，OM＝a， ∵AM∥NG，AM∥y轴， ∴△DGN∽△DAM，， ∴， ∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2， ∴OBOMa，， ∴，GNb， ∵点AG在反比例函数图象上， ∴k＝abb•ON， ∴ONa， ∴MN＝ON﹣OMa， ∴DN， ∴BD＝OB+ON+DN＝4a， ∴∠OBF＝∠GDN，S△ABD＝S△BCD， ∵∠BOF＝∠GND＝90°， ∴△BOF∽△DNG， ∴，即， ∴OF， ∵S△FCD＝S△BCD﹣S△BDF， ∴， 解得ab＝6， ∴k＝ab＝6． 三、解答题（72分） 17．（4分）解不等式组：． 【答案】﹣1≤x＜3． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式4x﹣2≥3（x﹣1）得：x≥﹣1， 解不等式x﹣4得：x＜3， ∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜3． 18．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上一点，AE＝CF，EF交AC于点O．求证：AO＝CO． 【答案】见试题解答内容 【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得AO＝CO． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE与△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AO＝CO． 19．（6分）已知：． （1）化简A； （2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求A的值． 条件①：若点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点； 条件②：若a是方程x2+x＝8﹣x的一个根． 【答案】（1）A； （2）A． 【分析】（1）利用分式的减法法则化简即可； （2）①由点P在反比例函数图象上，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论； ②a是方程x2+x＝8﹣x的一个根，即可得出a（a+2）的值，代入A化解后的分式中即可得出结论． 【解答】解：（1） ； （2）①点P（a，a+2）是反比例函数图象上的点， ∴a（a+2）＝8， ∴A； ②∵a是方程x2+x＝8﹣x的一个根， ∴a2+a＝8﹣a， ∴a（a+2）＝8， ∴A； 20．（6分）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值如表： 频率f（MHz） 5 10 15 20 25 30 波长λ（m） 60 30 20 15 12 10 （1）根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长λ（m）关于频率f（MHz）的函数表达式． （2）当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是多少m？ 【答案】（1）λ； （2）6． 【分析】（1）根据变量的变化规律解答即可； （2）将f＝50代入（1）中求得的函数表达式，求出对应λ的值即可． 【解答】解：（1）由表格可知，fλ＝300， ∴λ与f的函数表达式为λ． （2）当f＝50时，λ6， 答：当该电磁波的频率为50MHz时，它的波长是6m． 21．（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了 　200　 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 　81°　 ； （2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“　微信　 ”； （3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得； （2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人， 则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°81°， 故答案为：200、81°； （2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人， 补全图形如下： 由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”， 故答案为：微信； （3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C， 画树状图如下： 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 22．（10分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC； （2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝x m，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知：AB＝10×8＝80（m）， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB＝80m， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80m； （2）如图，延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝80m， 设DE＝x m， 则DF＝（80﹣x）m， 在Rt△DFC中，∠DFC＝45°， 则FC＝DF＝（80﹣x）m， ∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m， 在Rt△BFD中，∠FBD＝20°， ∵， ∴DF＝BF•tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36， ∴80﹣x＝57.6﹣0.36x， x﹣0.36x＝80﹣57.6， x＝35， 答：四门塔DE的高度约为35m． 23．（10分）如图，在△ABC中，AC＜BC． （1）实践与操作：点O在线段BC上，以O为圆心作⊙O，⊙O恰好过A，C两点，并与线段BC交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全⊙O． （2）推理与计算： 在（1）的条件下，若2∠C+∠B＝90°． ①求证：直线AB是⊙O的切线； ②若AB＝2，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）①证明见解析；②． 【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交BC于点O，进而作出⊙O，得到点D； （2）①由∠AOB＝2∠C结合2∠C+∠B＝90°，可得∠AOB+∠B＝90°，据此得证； ②设半径为r，则AO＝CO＝r，，在Rt△AOB中利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】（1）解：如图所示，⊙O、点O、点D即为所求． （2）①证明：方法一：连接AO， ∵弧AD＝弧AD， ∴∠AOB＝2∠C， ∵2∠C+∠B＝90°， ∴∠AOB+∠B＝90°， ∴∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB， 又∵OA是⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线； 方法二：连接AO， ∵OC＝OA， ∴∠C＝∠OAC， ∴∠AOB＝∠C+∠OAC＝2∠C， ∵2∠C+∠B＝90°， ∴∠AOB+∠B＝90°， ∴∠OAB＝90°， ∴OA⊥AB， 又∵OA是⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线； ②解：法一：设⊙O的半径为r，则AO＝CO＝r，， 在Rt△AOB中，AO2+AB2＝CO2， 即， 解得， 故⊙O的半径为； 法二：设⊙O的半径为r，则CO＝DO＝r，， ∵直线AB是⊙O的切线， 由切割线定理得AB2＝BD•BC， ∴， 解得， 故⊙O的半径为． 24．（12分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y；③y＝﹣x2+2x+1；④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　③　 ；（填序号） （2）设函数与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+4x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0．﹣4）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【答案】（1）③． （2）﹣3或﹣36或36或0． （3）（0，）． 【分析】（1）根据“平衡点”的定义进行判断即可； （2）根据题意表示出点B，分情况讨论，AB＝BC时；AB＝AC时；BC＝AC时，利用勾股定理列方程即可解答； （3）根据题意求出抛物线y＝x2+2x的顶点，利用根的判别式即可解答． 【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解， ∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”； 同理可得，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； 故答案为：③． （2）在中，令y＝﹣x，得， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x，得﹣x＝2x+b， 解得， ∴， 当A的坐标为（2，﹣2）时，C的坐标为（0，﹣2）， ∴，BC2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则24， 解得b＝﹣36或b6； 若BC＝AC，则4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0． （3）设M（0，m），m＜﹣1， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1）， ∵点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m， 在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x，得﹣x＝﹣x2+2x+2m， ∴x2﹣3x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0， 即9+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）． 25．（12分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动． （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值； （3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD＝2，试求出线段CP的最大值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，求出DE＝CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE＝DF，∠DAE＝∠FDC即可； （2）有两种情况：①当AC＝CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝CEa即可；②当AE＝AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC＝AEa，根据正方形的性质∠ADC＝90°，根据等腰三角形的性质得出DE＝CD＝a即可； （3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD＝90°，得出点P的路径是以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可． 【解答】解：（1）AE＝DF，AE⊥DF， 理由是：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动， ∴DE＝CF， 在△ADE和△DCF中 ， ∴△ADE≌△DCF， ∴AE＝DF，∠DAE＝∠FDC， ∵∠ADE＝90°， ∴∠ADP+∠CDF＝90°， ∴∠ADP+∠DAE＝90°， ∴∠APD＝180°﹣90°＝90°， ∴AE⊥DF； （2） （1）中的结论还成立，CE：CD或2， 理由是：有两种情况： ①如图1，当AC＝CE时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝CEa， 则CE：CDa：a； ②如图2，当AE＝AC时， 设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC＝AEa， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CE， ∴DE＝CD＝a， ∴CE：CD＝2a：a＝2； 即CE：CD或2； （3）∵点P在运动中保持∠APD＝90°， ∴点P的路径是以AD为直径的圆， 如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大， ∵在Rt△QDC中，QC， ∴CP＝QC+QP1， 即线段CP的最大值是1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$