2025年中考数学真题完全解读（四川成都卷）

2025年中考数学真题完全解读（成都市卷） 本份试题由卷（共分）与卷（共分）两部分组成，整体结构延续了成都市历年中考的基本题型布局：卷涵盖道单项选择题、道填空题以及道综合解答题；卷则由道填空题与道综合解答题构成。题量适中，形式多样，涵盖了代数、几何、函数与统计初步等关键内容，能够较好地体现对学生综合素养与数学思维的考查。 与往年试卷相比，该测试卷在题型丰富度与情境应用方面有所提升：一方面选择题与填空题兼顾基础与拓展，设置了有理数、函数图象、三视图与立体图形等综合知识点；另一方面解答题紧扣社会热点与现实情境，如利用无人机测距、对吉祥物文创产品价格的计算与规划等，贴近学生生活且突出实践性。同时，试题在秉持“基础考查为主”的原则上，也注重了对高阶思维能力的评价，鼓励学生从多角度思考并运用所学知识解决问题。 本试卷在命制过程中充分体现了对《课程标准》的尊重。试题覆盖代数、几何与统计等多领域内容，对常见的知识点如轴、轴坐标、一次函数、反比例函数、三角函数值以及相似、全等、多边形性质等都有所涉及。根据《中考评价体系》的要求，卷面既包含对基础知识的直接测评，也融入了思维能力、解决实际问题能力以及数学建模能力的考查。尤其像卷的几何综合题与卷相似三角形的灵活应用，能够反映学生对数形结合思想的理解与运用。 成都市地域学情与教学实际互相交融，考生对函数图象与几何作图有一定的熟悉度；试卷在难度设置上较为梯度化：基础题占比约，中档题约占，综合创新题约占，使得不同学习层次的学生均能在答题中有所收获。与此同时，题目中加入了涉及元宇宙、脑机接口、电流与电路相关的概念，既紧扣社会热点，也能很好地检验学生的应用意识及跨学科能力。 试卷覆盖数与代数、图形与几何、函数与统计等核心知识。所需计算量适中，既考核学生的运算熟练度，也关注其对关键数学思想方法的理解，如解直角三角形、方程（组）与不等式（组）、数据统计分析等。在逻辑思维方面，解答题多为综合类问题，涉及多步推导和多种知识的整合，凸显对学生归纳、演绎和分析能力的考查。题目如“小明跑步路线与时间图象”以及“将分数拆分成单位分数之和”的探究，都要求学生在题意理解、数据处理与推理方面下功夫。 总的来看，本次试卷紧扣《课程标准》的核心理念，兼顾了成都市初中教学的实际情况；题型、难度及内容分布合理，既关注绝大多数学生的基础达成，也适度强调拔尖学生的思维深度。整卷导向明确，强调数学的实用性与思维逻辑性，对培养学生的数学素养、激发学习兴趣与提升问题解决能力具有较好的导向价值。可以预见，本套试题对于数学教学精准把握学科主干知识、落实新课标要求、提升学生核心素养均具有积极的指导意义。 ❆A卷依旧分选择题（8题）与非选择题（5道填空+5道解答）两大部分；B卷为附加题形式，与前一年大致相同。 ❆选择题数量、解答题数量与上年保持一致，分值比例无明显调整。 ❆多道题以生活中常见的“测量”“统计”“程序框图”为背景，融合了物理、科技等学科元素，强调数学在真实场景中的应用。 ❆与上届真题相比，题目素材更新颖，情境设置更丰富，例如出现了“脑机接口”与“元宇宙”等新技术背景。 ❆二次函数、几何与数形结合的交汇题目增多，综合运用函数与几何性质解题的要求更高。 ❆证明题与计算题结合紧密，对学生几何思维与代数运算的综合能力要求加深。 ❆试题深度有所加大：强调逻辑推理与结论验证环节，如折叠性质、相似与全等混合证明、角平分线与函数综合等。 ❆鼓励探究型思路，要求学生能够辨析条件、构造辅助线并灵活进行代数推理，侧重分析与表达能力的提升。 ❆建议学生强化数学建模与多学科联动意识，尤其是对新情境下的量化分析与几何构造思路。 ❆注重过程规范性和结论的合理性表达，综合应用函数、几何、数论等多方面知识。借助数形结合与数据信息处理提升问题求解效率。 以下分析基于本套“2025年四川省成都市中考真题数学试题”，该试题分为 A 卷（共 100 分）与 B 卷（共 50 分），合计 150 分。A 卷包括第Ⅰ卷（选择题，共 32 分）和第Ⅱ卷（非选择题，共 68 分），B 卷包括填空题和解答题两部分（共 50 分）。全卷共包含 26 道题目，题型包括“选择题”“填空题”“解答题”三种形式，具体结构如下： A 卷： ❆第Ⅰ卷：第 1～8 题为选择题，每题 4 分，共 32 分。 ❆第Ⅱ卷：第 9～13 题为填空题，每题 4 分，共 20 分；第 14～18 题为解答题，共 48 分。 B 卷： ❆第 19～23 题为填空题，每题 4 分，共 20 分； ❆第 24～26 题为解答题，共 30 分。 下面通过表格形式对各题号的分值、题型、主要考查内容和难易程度进行展示和分析。 题号 分值 题型 考查内容 难易分析 1 选择题 有理数减法的实际应用 容易 2 选择题 简单几何体三视图 容易 3 选择题 整式运算（幂的运算、完全平方公式等） 容易 4 选择题 坐标平面中点的象限判定 容易 5 选择题 统计图表（扇形图）的阅读与处理 容易 6 选择题 列方程组解应用题（古代数学背景） 中等 7 选择题 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质辨析 中等 8 选择题 读函数图象解决实际问题（路程与时间） 中等 9 填空题 比例的性质 容易 10 填空题 程序框图与一元一次方程 容易 11 填空题 正六边形及其对角线长度 中等 12 填空题 反比例函数及增减性判断 容易 13 填空题 作图与垂直平分线、勾股定理 中等 14 12 解答题 （1）实数的综合运算；（2）一元一次不等式组 容易 15 8 解答题 统计与平均数、加权平均及应用 中等 16 8 解答题 解直角三角形在实际测量中的应用（俯角与测量） 中等 17 10 解答题 圆、切线性质、圆周角定理及几何综合 中等偏难 18 10 解答题 反比例函数与一次函数的综合，几何与坐标结合 偏难 19 填空题 多项式+单项式构造完全平方 中等 20 填空题 一元二次方程根的判别式，概率 中等 21 填空题 圆与菱形、扇形面积的几何综合 中等偏难 22 填空题 矩形、等腰直角三角形、相似三角形、勾股定理综合 偏难 23 填空题 数学文化与数论（埃及分数拆分规律） 中等 24 8 解答题 分式方程与一元一次不等式综合应用（文创产品定价场景） 中等 25 10 解答题 平行四边形性质、全等与相似三角形、折叠几何综合 偏难 26 12 解答题 二次函数综合（抛物线与一次函数交点、对称轴、几何构造） 难度较大 说明： ❆第 ～题（选择题）各分，共 分； ❆第 ～题（填空题）各分，共 分； ❆第 ～ 题（解答题）共 分； ❆第 ～ 题（填空题）各 分，共 分； ❆第 ～ 题（解答题）共 分。 上表中“分值”一栏，对选择题和填空题写出每题固定分值，对不定分值的解答题则以“—”表示，其合计分值已在题干说明。 易：约占 中：约占 难：约占 ❆容易题（如第 题、第题、第 题等）：此类题目考查的知识点相对基础，如有理数运算、简单几何体三视图、基本程序框图等，学生只要掌握基本概念与运算规律，即可顺利解答。 ❆中等题（如第 题、第题、第 题等）：注重对基础知识的理解与运用，需要能够灵活运用方程、函数、统计等知识解决实际问题。 ❆偏难或较难题（如第 题、第 题、第 题等）：多为综合性较强的题目，需把函数、几何等知识点结合起来进行数形融合与方程求解，对分析能力与综合运用能力要求较高。 从整体来看，本试卷覆盖面广，兼顾基础与综合，既能考查学生对基本知识与技能的掌握程度，也能考查学生综合分析与应用数学知识解决问题的能力，适合作为中考选拔与水平检测的题型范例。试题整体难度适中，区分度较好。通过此卷，可有效衡量学生在初中阶段对数学学科的学习与掌握程度。 在复习本套中考数学试卷时，同学们需要兼顾知识体系全面梳理、答题思路科学规划和心理素质稳定提升。以下建议从知识板块、复习规划、答题技巧、心理调适以及命题趋势五个方面进行阐述，帮助大家在最后备考阶段高效复习，取得理想成绩。 1.有理数与代数基础 ❆熟练掌握有理数的运算，尤其是带负号的加减法，如本试卷第1题对“傍晚气温”的计算即要求熟悉 等负数减法。 ❆代数式运算要注意合并同类项、乘方法则、完全平方公式等常见易错点，比如选择题中涉及到 与 不是同类项，不能直接合并。 建议通过专题训练，整理常见的可化简表达式，掌握 等典型公式。 2.函数与图形 ❆重点关注一次函数、反比例函数以及二次函数，对其图象的形状、增减性、与坐标轴或其他函数相交点的求解方法要熟练掌握。 ❆例如本试卷中的反比例函数 与一次函数 的交点问题，需要联立方程并注意到 。 ❆在阅读图表时，要熟悉如何从“时间—距离”或“坐标系”中快速判读出斜率、截距、面积等信息。 3.平面几何和三视图 ❆多关注圆、正方形、菱形、平行四边形及其对角线、中心对称等性质，如本试卷多处涉及的“正六边形对角线”“平行四边形的对角线”等。 ❆三视图考查在圆柱、圆锥、球、棱柱等常见立体几何体中的判断，常出现主视图、俯视图不一致的干扰项。同学们需牢记：球的主视图与俯视图均为圆。 ❆推荐针对常见的立体图形，多画图、对比、记忆关键特征，减少在考场中出现“想当然”的失误。 4.解直角三角形与综合应用 ❆解直角三角形涉及到三角函数、勾股定理、坡度和俯角等概念，通常与实际应用场景结合，需灵活运用 、 等知识。 ❆做题时要特别注意给定的倾角或俯角所对应的几何图形，警惕画图时忽略水平距离或高差而导致计算错误。 ❆建议在复习时挑选一部分工程测量、建筑高度测量、斜坡问题等题目进行专项训练。 5.概率与统计 ❆既要掌握求平均数、方差、极差等基本数据分析手段，也要会解释统计图（如扇形图、折线图、茎叶图等）。 ❆本试卷中出现概率计算时，常需要列表或树状图列举法，复杂的还要用到分类计数。对“有实数根的概率”之类题型，要熟悉一元二次方程根的判别式 。 ❆建议结合题目类型熟悉不同的方法，哪一种最有效、最快捷，并注重表达过程的完整性。 1.第一阶段：系统梳理与归纳（考前约1个月） ❆建议用一周左右时间进行书本知识的概念复习与题型分块整理，制作本学期知识框架图，涵盖基础概念、公式和定理。 ❆每天可以安排半小时针对薄弱环节进行专项突破，如几何辅助线添加技巧、方程不等式综合运用等。 ❆通过模拟题或真题限时自测，重点检验知识点的掌握程度，并将错题按知识类别及时归纳。 2.第二阶段：强化问题与查漏补缺（考前约2~3周） ❆通过精练近几年真题或高质量模拟题，结合本试卷解析，针对反复出现的“易错点”进行二次强化。如判断图象象限位置、掌握三视图特征、熟悉角平分线与相似三角形等综合问题。 ❆对于错题或难题，要做到及时反思：是理解不深，还是运算不熟？从思维和计算两方面分别提升。 ❆每天留出适当时间训练运算速度与书写规范度，模拟考场环境，提高应试状态。 3.第三阶段：综合冲刺与稳定心态（考前1周及考前最后几天） ❆进行整套试题的限时模拟演练，锻炼审题速度、答题顺序安排及对时间的把控。 ❆整理常用公式、小结论，将易忘记的公式（如平方差公式 ，正六边形对角线长度等）汇总在小册子中，临考前快速翻阅。 1.选择题“速排+稳算”结合 ❆先进行排除，注意：若题意与平时学过的定理矛盾，或明显不符合语言表述，可快速剔除。 ❆对于简单的数值替换法，积极运用，如将 等带入验证，提高准确率。 ❆必要时对剩余选项求精准计算结果，确保答案正确。 2.填空题“公式+巧思”并重 ❆一般先尝试代入数值、运用对应公式进行快速运算，若不能立刻求解，可结合几何思路或构造辅助线。 ❆遇到统计、概率类填空时，建议第一步先列表、分类，可避免漏数。 3.解答题“步骤规范+过程清晰” ❆尤其注意几何证明中“先画图再叙述”，先写“已知”“求证”再进行论证过程。如证明平行，可采用“内错角相等”或“同位角相等”；证明相似三角形可用“角角对应相等”。 ❆代数题需写清关键推导步骤。若是整式运算或分式方程等，过程要体现关键运算细节，如“系数相乘”“同底数幂相加”等，防止因漏写中间过程失分。 1.合理预期，减少焦虑 ❆在复习中若遇到瓶颈，不必过度焦躁，可适当与同学、老师交流或放松。 ❆给自己设定适合的目标范围，如目标分数区间，清晰地明白自己在哪些方面还可以再突破，从而获得动力。 2.平衡作息，轻松迎战 ❆科学安排作息时间，每天保障约7~8小时睡眠。 ❆考前保持适度运动和娱乐以舒缓压力，保证大脑在答题时保持清醒状态。 3.自我暗示，积极鼓舞 ❆考试临近时要提醒自己“题目再难也有思路”“按步骤逐一解决”，把注意力转移到题目的分析上。 ❆考场上初见新题要沉住气，可将其分解为子问题逐步击破。 1.关注学科融合与情景化应用 ❆近年来中考数学注重应用场景，如本卷中出现的“无人机测量校园西门与东门距离”、“古代数学著作”真实背景材料等。后续命题依然可能聚焦于科技、工程或社会热点，如“碳排放”、“5G运用”等。 ❆需加强对文字材料题的理解能力，练习先转化成数学语言，再运用所学知识求解的思路。 2.函数与几何交汇综合 ❆一次函数、反比例函数和二次函数的综合常见于考查数形结合，如反比例函数与一次函数交点、动点几何问题等。此类题型具有一定的综合性，一直是中考的重头戏，建议重点关注。 ❆在后续复习中加大类似创新题型的练习，培养见图能列方程、见方程能作图的思维习惯。 3.基础运算及探究性问题并重 ❆虽然难题比例不会大幅上升，但基础的准确性非常重要，要避免基础失分。 ❆同时也要当心“探究型题目”或“开放题”，如令 取不同值预测图象变化，或需要同学们对结论进行猜想与论证。平时要多做一些拓展题培养综合视野。 综合以上建议，祝同学们在最后的复习阶段能有条不紊、稳步前进。踏实打牢基础、认真反思错题、科学安排练习与休息、保持良好心态，定能在中考中取得满意的成绩！预祝大家顺利发挥，圆梦中考！ 2025年四川省成都市中考真题数学试题 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 2. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键． 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得． 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键； 可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析： 【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意； B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意； C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意； D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 5. 在第25个全国科技活动周中，某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解，现将选择结果绘制成如下统计图表： 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 根据图表信息，表中a的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】B 【分析】本题考查统计表和扇形统计图，根据元宇宙的人数以及所占的比例求出总人数，进而求出的值即可． 【详解】解：； 故选B． 6. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱，列出方程组即可． 【详解】解：设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得： ； 故选A． 7. 下列命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相垂直 D. 平行四边形的对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意； C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意； D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 8. 小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（ ） A. 小明家到体育馆距离为 B. 小明在体育馆锻炼的时间为 C. 小明家到书店的距离为 D. 小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 10. 任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：3． 11. 正六边形的边长为1，则对角线的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，如解图，连接，求出正六边形的一个内角的度数，等边对等角，求出的度数，进而推出为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∵正六边形为轴对称图形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 12. 某蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流I（A）．与电阻R（Ω）之间的函数关系为，则电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴电流与电阻成反比， ∴电流Ⅰ的值随电阻R值的增大而减小； 故答案为：减小 13. 如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 【答案】## 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. （1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟知运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数、绝对值的性质进行计算，再把结果相加减； （2）分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 15. 某公司需要经常快递物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是________； （2）求表格中m，n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】（1）10分 （2），，平台A的服务态度更好； （3）该公司会选择平台B 【分析】本题主要考查了求极差，算术平均数，加权平均数： （1）求出七位员工对平台A的服务态度评分的最大值与最小值的差，即可求解； （2）根据算术平均数公式计算，即可求解； （3）根据加权平均数计算，即可求解． 【小问1详解】 解：分， 即七位员工对平台A的服务态度评分的极差是10分； 故答案：10 【小问2详解】 解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； 【小问3详解】 解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 16. 在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，） 【答案】校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意，易得，，米，分别解，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，米， 在中，米； 在中，米； 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米 17. 如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】（1）见解析 （2）半圆O的半径为2， 【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，则：， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 设半圆O的半径为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为． （1）求k的值； （2）直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解； （2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解； （3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴的交点为， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入得： ，解得：， ∴点， 把点代入得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点D的坐标为， 设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设点E的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是________（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可． 【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下： ， ∴符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 20. 从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 列表如下： 1 2 1 2 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为， 故答案为：． 21. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得△AOB为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上△ABC的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴△AOB为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 22. 如图，在△ABC中，，点D在边上，，，，则的值为________；点E在的延长线上，连接，若，则的长为________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【分析】作，垂足分别为，易得四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出的长，正切的定义求出，勾股定理求出的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则：，， ∴， ∴， ∴在中，，由勾股定理，得：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或； 故答案为：4，． 23. 分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为________；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为________． 【答案】 ①. ②. 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案． 【详解】解：； 由题意， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 当时，， 又， ∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元 （2）该游客最多购买11个A种挂件 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设每个A种挂件价格为x元，则每个B种挂件的价格为，根据题意列分式方程求解即可； （2）设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为元． 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，且符合题意， 答：每个A种挂件的价格为25元； 【小问2详解】 解：设该游客购买y个A种挂件，则购买个B种挂件， 由（1）得每个B种挂件的价格为（元）， 根据题意，得， 解得， 由于y为正整数， 故该游客最多购买11个A种挂件． 25. 如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； （3）过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； 【小问3详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$