1.1集合的概念与表示 学案-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.1 集合的概念与表示 【学习目标】 1、 了解集合的基本概念，并能够掌握集合的三个特征（确定性、互异性、无序性）与表示方法（重点） 2、 根据集合中元素个数有限与否对集合进行分类、以针对不同数学对象采用不同方法表示集合（难点） 【导学流程】 1、 元素与集合的相关概念 1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写的 拉丁字母等表示 2. 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母 等表示。 3. 集合相对：构成两个集合的 是一样的，记作 。 2、 集合中元素特性 特性 特性解读 是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的 对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素 对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的.如元素1,2,3与元素3,2，1构成的集合是同一个集合 3、 元素与集合的关系 1.属于：如果是集合A的元素，就说 ,记作 。 2.不属于：如果不是集合A中的元素，就说 ,记作 解读：与这两种情况有且只有一种成立。 三、常见的数集及表示符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 4、 集合的表示方法 1. 列举法：把集合中的 出来，并用 括起来表示集合的方法。（如集合A={2，3，5，7}） 2. 描述法：用集合所含元素的 表示集合的方法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合元素所具有的共同特征。一般格式为： 。（如） 3. 图示法：Venn图法：用 表示集合，如：集合A可表示为下图的形式。A 五、集合的分类 (1)空集不含任何元素的集合，记作 (2)非空集合的分类 ①有限集：含有有限个元素的集合； ②无限集：含有无限个元素的集合。 六、区间 设为两个实数，且，则集合，也可以用符号表示为 ，下列表为同种类似情况： 称为 ，称为 ，如这类形式的称为 。 【思维拓展】 问题一：设置一个情景，高一开学第一天，学校通知下午三点高一全体班主任召开班主任会议，请问这个通知的对象有哪些？这些对象能构成一个集合吗？ 问题二：“中华中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合”这句话对吗？如果错了，它错在哪里？ 问题三：、、这三个集合有什么区别？ 三、我的困惑与质疑 【基础练习】 1.下列集合中表示同一集合的是(  ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.用“”或“”填空 N; -3 Z; Q ;0 3.下列命题正确的是(    ) A. 很小的实数可以构成集合 B. 集合与集合是同一个集合 C. 自然数集中最小的数是 D. 空集是任何集合的子集 4.小于的自然数集用列举法可以表示为(    ) A. B. C. D. 5.集合描述法表示为(    ) A. 是不大于的非负奇数 B. C. D. 6.将集合用区间表示正确的是(    ) A. B. C. D. 【题型专练】 一、集合的概念：常考一组对象能否组成集合，做题时利用集合的三个特性进行判断。 1.下列元素的全体不能组成集合的是(    ) A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程的实数解 D. 周长为的三角形 2.（多选）下列对象能构成集合的有( ) A. 接近于2025的所有正整数 B. 小于-3的实数 C. 未来10年内的房价趋势 D. 点M(3,4)与点N(4,3) 二、判断元素与集合关系 1.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为(   ) A. B. C. D. 2.已知元素，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 三、根据集合中元素特性求值 解题步骤：1.根据集合中元素的确定性求解 2.根据集合中元素的互异性进行检验 1.已知集合，且，则          ． 四、集合的表示法 1.用描述法表示下列集合： 比大且比小的实数组成的集合 不等式的所有解组成的集合 到两坐标轴距离相等的点组成的集合 正奇数集． 【当堂检验】 1.下列说法正确的是(    ) A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有个元素 D. 由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，，， 2.下列说法中正确的是(    ) A. 与定点，等距离的点不能构成集合 B. 由“”中的字母构成的集合中元素的个数为 C. 一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等腰三角形 D. 高中学生中的游泳能手能构成集合 3.已知集合，若，则实数(    ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是(    ) A. 与的意义相同 B. 高一班个子比较高的同学可以形成一个集合 C. 集合是有限集 D. 方程的解集只有一个元素 5.下列元素与集合的关系中，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下面能组成一个集合的是(    ) A. 横峰中学高一年级聪明的学生 B. 的近似值 C. 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D. 所有奇数 7.集合中含有三个元素，，，若，且，那么为(    ) A. B. C. D. 8.下列对象中，能够组成集合的有          ． 比较小的数； 不大于的非负偶数； 所有三角形； 直角坐标平面内横坐标为零的点； 高个子男生； 某班岁以下的学生． 9.给定下列叙述： 难解的题目；  方程的实数解； 平面直角坐标系中第四象限内的一些点；  很多多项式． 其中能组成集合的是          填序号 10.已知集合，若，则实数          ． 11.已知，，求实数的值； 若，，则用列举法表示 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念与表示 【学习目标】 1、 了解集合的基本概念，并能够掌握集合的三个特征（确定性、互异性、无序性）与表示方法（重点） 2、 根据集合中元素个数有限与否对集合进行分类、以针对不同数学对象采用不同方法表示集合（难点） 【导学流程】 1、 元素与集合的相关概念 1. 元素：一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写的a,b,c拉丁字母等表示 2. 集合：把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写的拉丁字母A,B,C等表示。 3. 集合相对：构成两个集合的元素是一样的，记作A=B。 2、 集合中元素特性 特性 确定性 互异性 无序性 特性解读 是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的 对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素 对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的.如元素1,2,3与元素3,2，1构成的集合是同一个集合 3、 元素与集合的关系 1.属于：如果是集合A的元素，就说属于A,记作。 2.不属于：如果不是集合A中的元素，就说不属于A,记作。 解读：与这两种情况有且只有一种成立。 三、常见的数集及表示符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N Z Q R 4、 集合的表示方法 1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。（如集合A={2，3，5，7}） 2. 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合元素所具有的共同特征。一般格式为：。（如） 3. 图示法：Venn图法：用一条封闭曲线的内部表示集合，如：集合A可表示为下图的形式。A 五、集合的分类 (1)空集不含任何元素的集合，记作 (2)非空集合的分类 ①有限集：含有有限个元素的集合； ②无限集：含有无限个元素的集合。 六、区间 设为两个实数，且，则集合，也可以用符号表示为，下列表为同种类似情况： 称为闭区间，称为开区间，如这类形式的称为半开半闭区间。 【思维拓展】 问题一：设置一个情景，高一开学第一天，学校通知下午三点高一全体班主任召开班主任会议，请问这个通知的对象有哪些？这些对象能构成一个集合吗？ 答：通知的对象为高一全体班主任，这些对象可以构成一个集合 问题二：“中华中学今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合”这句话对吗？如果错了，它错在哪里？ 答：错了，集合具有确定性，而爱好数学的学生是泛指，并没有一定的标准衡量 问题三：、、这三个集合有什么区别？ 答：集合A与集合B所含元素分别为x的取值和y的取值，它们的元素都为数字，所以属于数集；而集合C的元素为不同的点，故属于点集。 三、我的困惑与质疑 【基础练习】 1.下列集合中表示同一集合的是(  ) A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：D 2.用“”或“”填空 N; -3 Z; Q ;0 答案： 3.下列命题正确的是(    ) A. 很小的实数可以构成集合 B. 集合与集合是同一个集合 C. 自然数集中最小的数是 D. 空集是任何集合的子集 答案：D 4.小于的自然数集用列举法可以表示为(    ) A. B. C. D. 答案：C 5.集合描述法表示为(    ) A. 是不大于的非负奇数 B. C. D. 答案：A 6.将集合用区间表示正确的是(    ) A. B. C. D. 答案:B 【题型专练】 一、集合的概念：常考一组对象能否组成集合，做题时利用集合的三个特性进行判断。 1.下列元素的全体不能组成集合的是(    ) A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程的实数解 D. 周长为的三角形 【答案】B  【分析】本题考查集合的含义，属于基础题．根据集合中元素的确定性判断． 【解析】解：地球上的小河流没有一个明确的标准， 无法构成集合， 故选：． 2.（多选）下列对象能构成集合的有( ) A. 接近于2025的所有正整数 B. 小于-3的实数 C. 未来10年内的房价趋势 D. 点M(3,4)与点N(4,3) 【答案】BD  【分析】本题考查集合的定义，属于基础题．根据集合的定义依次判断即可． 【解析】解：对于，接近于的所有正整数标准不明确，不能构成集合． 对于，小于的实数是确定的，能构成集合． 对于，未来年内的房价趋势不明确，不能构成集合． 对于，点与点是两个不同的点，是确定的，能构成集合． 故选BD． 二、判断元素与集合关系 1.给出下列关系：；；；，其中正确的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用和的定义，逐一分析求解即可． 【解析】解：对于，为实数，而表示实数集，所以，即正确 对于，为整数，而表示整数集合，所以，即正确 对于，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以错误 对于，因为为无理数，表示有理数集，所以，即错误． 故选B． 2.已知元素，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：因为元素，且，所以该元素是． 故选：． 三、根据集合中元素特性求值 解题步骤：1.根据集合中元素的确定性求解 2.根据集合中元素的互异性进行检验 1.已知集合，且，则          ． 【答案】  【分析】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了元素的互异性，属于基础题． 分和两种情况，利用元素互异性排除不合要求的解，得到答案． 【解析】解：因为集合，且， 所以或， 当时，解得或， 当时，，满足要求， 当时，不满足元素互异性，舍去， 显然当时，不符合题意， 综上所述，． 故答案为：． 四、集合的表示法 1.用描述法表示下列集合： 比大且比小的实数组成的集合 不等式的所有解组成的集合 到两坐标轴距离相等的点组成的集合 正奇数集． 【答案】解：可以表示成． 可以表示成，即． 可以表示成． 设，故全体奇数可用式子，表示，但此题要求为正奇数，故，所以正奇数集． 【当堂检验】 1.下列说法正确的是(    ) A. 我校很喜欢足球的同学能组成一个集合 B. 联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C. 数组成的集合中有个元素 D. 由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，，， 【答案】B  【分析】本题考查了集合的定义，属于基础题．根据题意，由集合的定义逐一判断，即可得到结果． 【解答】解：对于，因为很喜欢足球的同学没有明确的标准，不符合集合的确定性， 所以不能组成一个集合，故A错误； 对于，因为联合国安理会常任理事国有明确的标准，符合集合的确定性， 所以能组成一个集合，故B正确； 对于，因为存在，所以组成的集合中不可能有个元素，故C错误； 对于，由不大于的自然数组成的集合的所有元素为，，，，，故D错误． 故选：． 2.下列说法中正确的是(    ) A. 与定点，等距离的点不能构成集合 B. 由“”中的字母构成的集合中元素的个数为 C. 一个集合中有三个元素，，，其中，，是的三边长，则不可能是等腰三角形 D. 高中学生中的游泳能手能构成集合 【答案】C  【分析】本题考查了集合的定义，属基础题． 根据集合的定义逐项判断即可． 【解答】解：与定点、等距离的点为线段的垂直平分线上的点，故能组成集合，故A错误； 由“”中的字母构成的集合为，有个元素，故B错误； 若是等腰三角形，故、、中有两个相等，则由、、组成的集合只有两个元素，故C正确； 高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能构成集合，故D错误． 故选C． 3.已知集合，若，则实数(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查元素与集合的关系，集合中元素的确定性、互异性、无序性，属于基础题．依据题设条件得到关于的方程并进行求解，然后依据集合元素的互异性检验即可求得结果． 【解答】解：因为， 若，解得， 若，无解， 当时，，满足条件． 故选：． 4.下列说法正确的是(    ) A. 与的意义相同 B. 高一班个子比较高的同学可以形成一个集合 C. 集合是有限集 D. 方程的解集只有一个元素 【答案】D  【分析】本题考查集合的定义，考查集合中元素的个数，属于基础题．关键是理解集合的定义以及集合中元素的特点．逐一判断得出结论． 【解答】解：是元素，而是集合，两者的意义不同，故A错误； B.高一班个子比较高没有明确的标准，不符合集合元素的确定性，不能形成一个集合，故B错误； C.集合，的元素是直线上的点，且可以取所有自然数，是无限集，故C错误； D.方程的解为，故其解集中只有一个元素，故D正确． 故选：． 5.下列元素与集合的关系中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】根据集合，，，的元素的性质对应各个选项即可判断求解．本题考查了集合元素的性质，涉及到数集的定义，考查了学生的分析求解能力，属于基础题． 【解答】解：选项A：因为集合中没有负数，故A错误， 选项B：因为集合中的元素是所有正整数，故B正确， 选项C：因为集合表示所有有理数，故C错误， 选项D：为实数集，是实数，故D错误， 故选：． 6.下面能组成一个集合的是(    ) A. 横峰中学高一年级聪明的学生 B. 的近似值 C. 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D. 所有奇数 【答案】CD  【分析】本题考查集合的含义，属于基础题．由集合元素的确定性逐个判断即可． 【解答】解：横峰中学高一年级聪明的学生，的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确． 故选：． 7.集合中含有三个元素，，，若，且，那么为(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】本题考查集合与元素的关系的应用属基础题．根据题意逐项判断即可． 【解答】解：若，，则，符合题意； 若，，不符合题意； 若，，这，符合题意； 若，，不符合题意． 故选AC． 8.下列对象中，能够组成集合的有          ． 比较小的数； 不大于的非负偶数； 所有三角形； 直角坐标平面内横坐标为零的点； 高个子男生； 某班岁以下的学生． 【答案】  【分析】本题主要考查集合的概念属于基础题．根据集合的定义直接判断即可求出结果． 【解答】解：根据集合的定义，能够组合集合的有：，都不满足集合中元素的确定性．故答案为． 9.给定下列叙述： 难解的题目；  方程的实数解； 平面直角坐标系中第四象限内的一些点；  很多多项式． 其中能组成集合的是          填序号 【答案】  【分析】本题考查集合元素的确定性，属于基础题．解决这类题目要从集合中元素的特征“确定性、互异性”出发，显然，不符合集合中元素的确定性这一特征． 【解答】解：对于难题没有一个明确标准，所以构不成集合； 方程的实数解可以构成集合，给定一个实数，是不是方程的解非常明确； 平面直角坐标系中第四象限内的一些点，没有明确标准，构不成集合； 很多多项式，没有明确标准，构不成集合． 故答案为． 10.已知集合，若，则实数          ． 【答案】  【分析】本题主要考查集合与元素的关系、集合中元素的互异性等知识，属于基础题． 根据题意，利用元素与集合的关系得到关于的方程，结合元素的互异性算出答案． 【解答】解：因为，， 所以或， 当时，，此时，不满足互异性，不符合题意； 当时，不符合题意，舍去，此时，符合题意． 综上所述，实数的值为． 故答案为：． 11.已知，，求实数的值； 若，，则用列举法表示 【答案】解：由题意易知，， 因为若，即，此时，不满足互异性，故不能等于， 所以只有，解得舍去，， 故的值为． 解：因为当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 当，时， 当，时，． 故   学科网（北京）股份有限公司 $$