精品解析：北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 一、选择题 1. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（ ） A. 190 B. 171 C. 153 D. 136 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及合情推理中的归纳推理，利用参考等差数列公式即可求解. 【详解】设“落一形”三角锥垛从顶上一层开始，依次往下的各层球的个数形成数列， ，，，，，…， 由此得，即，则， 所以若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为171. 故选：B. 2. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将、代入，求出、的值，再由等差数的性质求解即可. 【详解】解：设等差数列的公差为， 由， 可知当时，则有， 当时，则有， 解得， 所以， 解得. 故选：D. 3. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系式，可发现从开始进入循环，利用规律求解判断. 【详解】由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去， 可得，，，， 令，解得，. 故选：B. 4. 展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出二项式的通项，再令的指数为，求出，代入通项即可得出结果. 【详解】展开式的通项为，. 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：D. 5. 已知为实数，随机变量，的分布列如下： 0 1 0 1 若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由及，可知，；又因为，可求出；由题意知，从而可求出取值范围. 【详解】解：由知， ，即 ，又 ，所以； 因为 ，所以 ，解得.又 ， 且，相互独立，，所以. 故选:B. 【点睛】本题考查了数学期望，考查了分布列的性质，考查了推理能力和计算能力.本题的关键是由条件求出 的取值范围. 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式，解出，由二项分布的概率公式求. 【详解】随机变量，则有， 由，解得， 所以. 故选：. 7. 某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为女生”，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算即可. 【详解】由题意得，事件包含的样本点数， 事件和包含的样本点数，所以. 故选：C 8. 为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的3月12日是我国法定的植树节．某班6名男同学和3名女同学约定周末一起去植树，现需将9人分成三组，每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 540 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到每组中两个男生和一个女生，先求得男同学甲与女同学乙不在同一个小组，有分法，再求得将6个男生和3个女生，分为3组，结合平均分组的计算方法，求得有分法，进而得到男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法为种分法，再根据每组中的两名男生有2种不同的分配情况，即可求解. 【详解】因为每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水， 所以每组中男女分配只有一种可能，即两个男生和一个女生， 若男同学甲与女同学乙在同一个小组，再从5个男生中抽取一个男生，有中， 剩余的6分成两组，共有种分法，所以共有分法， 若将6个男生和3个女生，分为3组，且每组中两个男生和一个女生， 共有分法， 所以男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法，共有种分法， 又因为每组中的两名男生有2种不同的分配情况： 所以不同的安排方法种数为种. 故选：C. 9. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.044 C. 0.966 D. 0.956 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设事件为“取到的产品是次品”，为“取到的产品来自第批”， 则，，，， 由全概率公式，可得. 所以这件产品是次品的概率为. 故选：B. 10. 五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和丁. 【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有种， 再与丙和丁外的1人排列有种， 再排丙和丁有种， 故共有种排法. 故选：B. 二、填空题 11. 已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知求出的值，比较得出大于的个数，进而得出可能取值情况，根据超几何分布概率公式求出分布列，根据期望公式得出，进而代入方差公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 所以，. 所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2， 显然服从超几何分布， 所以，，， 所以，， . 故答案为：. 12. 随机变量的取值为、、，若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质、期望与方差公式列出方程求解. 【详解】设，，则，即， 则，， 由， 整理得，而，解得，， 所以. 故答案为：. 13. 如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种． 【答案】48 【解析】 【分析】利用分步计数原理，一个个按照顺序去考虑涂色. 【详解】按照分步计数原理， 第一步：涂区域1，有4种方法； 第二步：涂区域2，有3种方法； 第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法； 所以不同的涂色种数有种． 故答案为：48 三、双空题 14. 某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是______，该学生在面试时得分的期望值为______分. 【答案】 ①. ②. 30 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率计算公式，求得该学生在面试时恰好答对2道题的概率，再由该学生在面试时答对题数，分别求得答对题数的期望和答一道试题得分的期望，即可求解. 【详解】因为每道题相互不影响，且每道题答对的概率都为， 所以该学生在面试时恰好答对2道题的概率是， 设该学生在面试时答对题数为，则随机变量， 所以该学生在面试时答对题目数的期望为， 又由每道题答对的概率都为，所以答一道试题得分的期望值为分， 所以该学生在面试时得分的期望值为分. 故答案为：；. 15. 在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解. 【详解】的通项为 可得常数项为， 因系数为有理数，，有共5个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 四、解答题 16. 已知数列的前项和， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前多少项和最大． 【答案】(1) (2) 前16项的和最大 【解析】 【分析】(1)利用时,可求得通项公式; (2)利用二次函数的解析式配方可得答案. 【详解】解：（1）当时，；当时，； 所以：； （2）因为； 所以前16项的和最大． 【点睛】本题考查了由与的递推关系式求通项公式,数列前项和的最小值,易错点警示: 的适用条件是,求出后要检验是否成立,如果不成立,要写成分段的形式,属于基础题. 17. 已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求， （2）求展开式中的一次项的系数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数相等列式求解n；（2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数． 【详解】（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得 解得 （2）由（1）知，展开式的第项为： 令得 此时 所以，展开式中的一次项的系数为 18. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 【答案】（1） （2）74 （3）2，4，8. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列式求解即可； （2）根据频率分布直方图，结合加权平均数运算求解即可； （3）可知评分低于70分的三组频率之比为，根据分层抽样运算求解. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 【小问2详解】 由题意可知：， 所以业主评分平均数的估计值为74. 【小问3详解】 评分低于70分的三组频率之比为， 故第一组抽到的人数为，第二组抽到的人数为，第三组抽到的人数为， 即第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是2，4，8. 19. 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名. （1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人） 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 乙 合计 并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好; （2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式:，其中. 0.15 0.10 0.05 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 7.879 10.828 【答案】（1）列联表： 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 35 65 100 乙 15 85 100 合计 50 150 200 乙种疗法的效果比甲种疗法好 （2）分布列： 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可完善列联表，再由的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得抽取到未治愈的人数为2人，治愈的人数为6人，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 35 65 100 乙 15 85 100 合计 50 150 200 假设：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异， 根据列联表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，乙种疗法的效果比甲种疗法好. 【小问2详解】 由分层抽样可得，从200名患者中抽取8名患者， 其中抽取到未治愈的人数为人， 抽取到治愈的人数为人， 且抽取到未治愈患者人数为，则， 则，，， 则分布列为 0 1 2 则期望. 20. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F． （1）求的标准方程； （2）过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求； （3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 设直线，，， 与椭圆方程联立得， 消去y，得， 即，， 则，， 因此 ， 化简得，由，解得． 因此直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴长列式计算求参得出标准方程； （2） 先应用正弦定理结合点到直线距离得出斜率积为定值； （3）设直线联立方程组应用根与系数关系计算斜率积为1计算求参. 【小问1详解】 设焦距为2c， 则，，且， 解得，， 因此的标准方程为． 【小问2详解】 在，中分别由正弦定理， 得，， 又由，及， 得， 故． 又直线，的斜率分别为，， 则两直线的方程分别为， 则到这两条直线的距离相等， 即，平方得， 化简得，又， 则． 【小问3详解】 略 21. 对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． （1）若，求的值． （2）设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 【答案】（1） （2）①； ②因为，即， 则， 可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）设，可得，进而可得的通项公式； （2）①结合（1）可得，进而可得的通项公式；②可得，利用放缩法可得，再结合裂项相消法分析证明. 【小问1详解】 由题意可设：，则， 若，则， 且，可得， 所以. 【小问2详解】 ①由（1）可得， 若，则， 且，可得， 所以的通项公式； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市延庆区第五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷 一、选择题 1. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，从上到下，顶上一层1个球，第二层3个球，第三层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛第18层球的个数为（ ） A. 190 B. 171 C. 153 D. 136 2. 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 展开式中的常数项为（ ） A. 10 B. C. 80 D. 5. 已知为实数，随机变量，的分布列如下： 0 1 0 1 若，随机变量满足，其中随机变量，相互独立，则取值范围的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件为“选取的两名学生性别相同”，事件为“选取的两名学生为女生”，则（    ） A. B. C. D. 8. 为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的3月12日是我国法定的植树节．某班6名男同学和3名女同学约定周末一起去植树，现需将9人分成三组，每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 540 9. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为，第二批占，次品率为.将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（ ） A. 0.036 B. 0.044 C. 0.966 D. 0.956 10. 五名同学彝族新年期间去邛海湿地公园采风观景，在观鸟岛湿地门口五名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 二、填空题 11. 已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则__________. 12. 随机变量的取值为、、，若，，则__________. 13. 如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有___________种． 三、双空题 14. 某高校进行强基招生面试，评分规则是：共设3道题，每道题答对给20分、答错倒扣10分（每道题都必须回答，但相互不影响）.设某学生每道题答对的概率都为，则该学生在面试时恰好答对2道题的概率是______，该学生在面试时得分的期望值为______分. 15. 在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 四、解答题 16. 已知数列的前项和， （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前多少项和最大． 17. 已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求， （2）求展开式中的一次项的系数. 18. 某小区物业公司为进一步提升服务质量，随机抽取了200名住户进行业主满意度问卷调查.把收集到的评分数据按，，依次分为第一至第六组（所有评分x满足）.统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的a值； （2）求业主评分平均数的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）从评分低于70分的业主中用分层随机抽样的方法抽取14人进行电话回访，则第一组，第二组和第三组被抽到的业主人数分别是多少? 19. 某医院用甲、乙两种疗法治疗某种疾病.采用简单随机抽样的方法从接受甲、乙两种疗法的患者中各抽取了100名，其中接受甲种疗法的患者中治愈的有65名;接受乙种疗法的患者中治愈的有85名. （1）根据所给数据，完成以下两种疗法治疗数据的列联表（单位:人） 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 乙 合计 并依据小概率值的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好; （2）根据疗效按照分层抽样的方法，从这200名患者中抽取8名患者，再从这8名患者中随机抽取2名患者做进一步调查，记抽取到未治愈患者人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式:，其中. 0.15 0.10 0.05 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 7.879 10.828 20. 已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F． （1）求的标准方程； （2）过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求； （3）在第（2）问的基础上证明：直线过定点． 21. 对于数列且，则称数列为的“四分差数列”．已知数列为数列的“四分差数列”． （1）若，求的值． （2）设． ①求的通项公式； ②若数列满足，且的前n项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $