8.1 与三角形有关的边和角 课件 2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

第8章 三角形 瓷砖是生活中常见的装饰材料.你见过哪些形状的瓷砖？它们的形状有什么特点呢？ 你知道瓷砖能铺满地面的奥秘吗？ ★本章将在探索与三角形有关的线段和角的基础上，研究多边形的有关性质，解开关于瓷砖铺设的一个个疑团，从中了解一些研究几何问题的基本思路和方法. 8.1.1 认识三角形 第1课时 三角形的有关概念及其分类 1.认识三角形的有关概念；（重点） 2.会用几何语言表示三角形，了解三角形的分类.（难点） 学习目标 如图，酒店的地面和墙面由各种形状的瓷砖铺成，在这些地面或墙面上相邻的瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙. 合作探究 如图，这些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？ 合作探究 为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，让我们从三角形开始，探究一下其中的道理. 合作探究 知识点1 三角形的有关概念 问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形. 问题2：三角形中有几条线段?有几个角? 有三条线段，三个角 边：线段AB，BC，CA是三角形的边. 顶点：点A，B，C是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角. A B C 合作探究 记法：三角形ABC用符号表示________. 边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示 为________. △ABC c，a，b 边c 边b 边a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B 合作探究 例1 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上；②连结方式：首尾顺次. 方法总结：三角形应满足以下两个条件： 典例精析 表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA, △CAB, △ACB等. 基本要素： 三角形的边：边AB、BC、CA； 三角形的顶点：顶点A、B、C； 三角形的内角：∠A、 ∠B、 ∠C. 特别规定： 三角形ABC的三边,一般的顶点A所对的边记作a,顶点B所对的边记作b,顶点C所对的边记作c. 新知小结 找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E 5个，它们分别是△ABE,△ABC,△BEC,△BCD,△ECD. (2)以AB为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. (3)以E为顶点的三角形有哪些？ △ABE 、△BCE、△CDE. (4)以∠D为角的三角形有哪些？ △BCD、△DEC. (5)说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边. △BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC. 针对训练 问题3：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.它与△ABC有何联系呢？ D ☀归纳 像这样，三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫作三角形的外角.如∠ACD是与△ABC的内角∠ACB相邻的外角. 合作探究 ABC有多少个内角？多少个外角？与内角∠A相邻的外角有几个？它们是什么关系？怎样画出ABC的外角？ 答：ABC有3个内角；6个外角；与内角∠A相邻的外角有2个；它们是对顶角；把三角形一个内角的一边反向延长，反向延长线与角的另一边组成的角即为三角形的一个外角. 思考 知识点2 三角形的分类 问题1：如图，三个三角形的内角各有什么特点？ 第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一个内角是钝角. 合作探究 三角形可以按角来分类： 所有内角都是锐角——锐角三角形； 有一个内角是直角——直角三角形； 有一个内角是钝角——钝角三角形. 合作探究 问题2：量一量，三个三角形的边各有什么特点？ 第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等. 我们把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）. 腰 合作探究 怎样对三角形进行分类？ 按是否有边相等分 三角形 不等边三角形 等腰 三角形 两条边相等的等腰三角形 三条边都相等的三角形——等边三角形 按内角大小分 三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 思考 1.三角形是指（ ） A．由三条线段所组成的封闭图形 B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次连结组成的图形 C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的图形 D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形 C 随堂检测 2.判断： （1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ ） （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ ） √ × × × √ 随堂检测 3.（1）如图所示，图中共有_______个三角形， 它们分别是_______________________________________. （2）以AD为边的三角形分别是______________________. （3）∠C分别为△AEC，△ADC，△ABC中_____,_____,______边的对角. （4）∠B是______,______,______的内角； ∠AED是______,______的内角. （5）∠ADB是______,______的一个外角； ∠AEC是______,_______的一个外角. A B D E C 6 △ABD,△ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC △ABD,△ADE,△ADC AE AD AB △ABD △ABE △ABC △ADE △ABE △ADE △ADC △ADE △ABE 随堂检测 定义及其基本要素 三角形 顶点、角、边 1.按角分类 2.按边分类 分类 课堂总结 8.1.1.认识三角形 第2课时 三角形的中线、角平分线和高 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 学习目标 1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？ 只能画一条. 2.已知△ABC中，BC=5cm,高AD=4cm,求△ABC的面积. S= 复习导入 知识点1 三角形的中线 问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC=AB 合作探究 问题2 如图，如果点D是线段BC的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．试说明什么叫三角形的中线？ A B C 定义： 如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 几何语言：∵AD是△ABC的边BC上的中线， ∴BD=CD=BC(或BC=2BD=2CD). D 合作探究 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 合作探究 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ A C B O 答： ∠AOC= ∠BOC= ∠AOB 知识点2 三角形的角平分线 合作探究 问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称AD是△ABC的角平分线．三角形的角平分线与角的角平分线相同吗？为什么？ B C D A ( ( 几何语言：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD= ∠CAD= ∠BAC(或∠BAC=2∠BAD=2∠CAD). 答：相同点是：∠BAD= ∠CAD; 不同点是：前者是线段，后者是射线. 合作探究 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，并观察它们的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 合作探究 知识点3 三角形的高 问题1 什么是三角形的高？ 问题2 怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. A B C D 垂直符号 垂足 几何语言：∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴AD⊥BC(或∠ADB= ∠ADC=90°). 合作探究 A B C D E F A B C D A B C D E F ◆画图发现 三角形的三条高所在的直线交于一点. （1）锐角三角形的高交于三角形内一点； （2）直角三角形的高交于直角的顶点； （3）钝角三角形的高交于三角形外一点. O (E,F) O 画一画 如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？ 合作探究 由前面的操作，我们可以发现，三角形的三条中线、三条角平分线和三条高（或所在的直线）分别____________；直角三角形三条高的交点就是____________；钝角三角形有两条高位于三角形的外部. 交于一点 直角顶点 新知小结 例1 如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm，∠CAB=90 °,试求：（1）△ABE的面积； （2）△ACE和△ABE的周长的差. A B C D E 解：（1）∵S△ABC= ABAC= BCAD, ∴6×8=10AD，即AD=4.8cm. ∵AE是△ABC的中线， ∴BE= BC=5cm. ∴S△ABE= BEAD=×5×4.8=12(cm2). 典例精析 （2） ∵AE是△ABC的中线， ∴BE=CE. ∴△ACE和△ABE的周长的差 （AC+AE+CE)-(AB+AE+BE) =AC+AE+CE-AB-AE-BE =AC-AB =8-6 =2(cm) A B C D E 重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差. 典例精析 例2 如图，在△ABC中，请作图: （1）画出△ABC的∠C的平分线； （2）画出△ABC的边AC上的中线； （3）画出△ABC的边BC上的高. A B C D E F 答：如图，CF是∠ACB的角平分线；BE是AC边上的中线；AD是边BC上的高. ☀注意 画高要标明垂直符号.三角形的角平分线，中线及高都要画成线段. 典例精析 A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D D 1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的BC边上的高( ) 随堂检测 2.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. A D B C 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴△DBC与△ADC的周长差是5cm, 又∵△DBC的周长为25cm， ∴C△ADC=25-5=20(cm). 随堂检测 3.如图是一张三角形纸片，请你动手画出它的BC边上的中线，BC边上的高，∠A的平分线. A B C D AD为中线（BD=DC） E AE为高（AE⊥BC） ) ) AF 为∠A的平分线（∠BAF=∠CAF） F 答：如图，AD为所求中线，AE为所求高，AF为所求角平分线. 随堂检测 中线 三角形的重要线段 1.会把原三角形面积平分 2.一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 高 注意：钝角三角形两短边的 高的画法 课堂总结 8.1.2 三角形的内角和与外角和 1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°； 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；（重点、难点） 3.掌握三角形的外角的性质及外角和.（重点、难点） 学习目标 将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？ 折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角. 可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角. A B C 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观察与思考 新课导入 如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=180°. 知识点1 三角形的内角和 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. C E A B 1 2 3 D 解：如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，则CD//BA（同位角相等，两直线平行） ∵CD //BA, ∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）. ∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°， ∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）. 合作探究 由此得到： 你还能想出其它的方法推出这个结论吗？ 三角形的内角和等于180°. 讲授新课 多种方法证明的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 合作探究 例1 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°， ∠C为(x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. ∴3x＝99，x＋15＝48. 答： ∠A，∠B，∠C的度数分别为99°， 33°， 48°. 几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想. 典例精析 例2 如图，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=75°, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解:由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. 典例精析 问题1　如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A与∠B有什么关系？ A B C 知识点2 直角三角形的两锐角互余 由三角形的内角和等于180°，得 ∠A+∠B+∠C=180°. 由此可以推出 ∠A+∠B=180°∠C=90°， 即∠A与∠B互余. 合作探究 应用格式： 在直角三角形ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC. ☀归纳 直角三角形的两个锐角互余． 合作探究 例3 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度数. （ 1 65°( A B D C 解 在Rt△ABD中 ∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠B=90°-∠1（等式性质）. 又∵∠1=45°（已知）， ∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）. 在△ABC中， ∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°）, ∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）. 又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知）， ∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）. 典例精析 我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 思考 问题1　如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.那么，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？ 我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论. 知识点3 三角形的外角的性质 合作探究 ∵∠ACD+∠ACB = 180°，∠A +∠B +∠ACB = 180°， ∴∠ACD =180°-∠ACB，∠A +∠B =180°-∠ACB. ∴∠ACD =∠A +∠B. 由此可知，三角形的外角有两条性质： 1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 合作探究 例4 如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数. 解：∵∠B+∠C=∠CAD， ∴∠C=∠CAD-∠B， ∴∠C=100°-30°=70°. 典例精析 A B C ( ( ( ( ( ( 2 1 3 （ 4 与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，如∠1和∠4. 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和. 如图所示，∠1+∠2+∠3 就是△ABC的外角和. 合作探究 问题2　如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：在图中，有 ∠1+∠ACB=180°，∠2+∠BAC=180°， ∠3+∠ABC=180°， 三式相加，可以得到 ∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°， 而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°， ∴∠1+ ∠2+ ∠3=360 °. A B C ( ( ( ( ( ( 2 1 3 合作探究 由此可知，三角形的外角和等于360°. ∠1+ ∠2+ ∠3=360 °. A B C ( ( ( ( ( ( 2 1 3 新知小结 A B D C 例5 如图,D是△ABC的边BC上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°,∠BAC=70°. （1）求∠B的度数； （2）求∠C的度数. 解 （1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知）， ∴∠B+∠BAD=∠ADC=80°（三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B=∠BAD（已知）, ∠B=80°×=40°（等量代换）. 典例精析 A B D C （2）∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和等于180°)， ∴∠C=180°-∠B-∠BAC（等式的性质）. 又∵∠B=40°（已求），∠BAC=70°（已知）， ∴∠C=180°-40°-70°=70°（等量代换）. ☀规律总结 在三角形中求角的度数时，常用的知识点有三个：（1）三角形的内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）三角形的每一个内角与它相邻的外角互补. 典例精析 1.已知△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∠B＝______. 2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______. 3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______. 80° 20° 50° 4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，∠C= 76°，则∠DAC的度数为________. 34° 随堂检测 5.如图，∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C D E 解：∠CAE= ∠DBE.理由如下： 在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 随堂检测 内角和 三角形的内角和与外角和 三角形内角和等于180° 直角三角形两锐角互余 外角 1.外角的性质 2.三角形的外角和 课堂总结 8.1.3 三角形的三边关系 1.掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用；（重点、难点） 2.了解三角形的稳定性及应用. 学习目标 小明 我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？ 为什么？ 邮局 学校 商店 小明家 情景导入 知识点1 三角形的三边关系 作一个三角形，使它的三边长分别为4cm、3cm、2.5cm. 如图，先作线段AB=4cm， 然后以点A为圆心、3cm长为半径作圆弧， 再以点B为圆心、2.5cm长为半径作圆弧， 两弧相交于点C， 连结AC、BC.△ABC就是所要作的三角形. A 4cm B 3cm 2.5cm C 合作探究 试一试 现有12条已知长度的线段：三条长2cm、三条长3cm、两条长4cm、两条长5cm、两条长6cm．任意选择三条线段作三角形，使它的三条边长分别为你所选择的三条线段的长. 4cm 5cm 6cm 2cm 3cm 2cm 3cm 2cm 3cm 如图，在作三角形的过程中，可能会发现下列几种情况： 合作探究 因此，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形，在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形. 换句话说： 三角形的任意两边之和大于第三边. A B C 即在ABC中：AB+AC＞BC, AB+BC＞AC, AC+BC＞AB. 合作探究 想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？ AB+AC＞BC AB＞BC-AC BC+AB＞AC BC＞AC-AB AC+BC＞AB AC＞AC-BC ☀归纳 三角形任意两边之差小于第三边. 三角形三边的关系定理的理论根据是？ 两点之间，线段最短. 思考 例1 已知等腰三角形的周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 分析：题中没有明确4cm是腰长还是底边长，因此，要分两种情况进行讨论：①假设底边长为4cm；②假设腰长为4cm.根据题意列方程求解即可. 典例精析 解：①若底边长为4cm，设腰长为x cm， 则2x+4=18，解得x=7. ②若一条腰长为4cm，设底边长为x cm，则 2×4+x=18，解得x=10. ∵4+4<10，所以4cm为腰不能构成三角形， ∴三角形另外两个边长都是7cm. ☀方法总结 与等腰三角形有关的问题，当题中没有明确哪一边是腰或底边时，常常要分情况讨论，并根据三角形的三边关系检验能否构成三角形. 典例精析 问题： 如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 答：三角形三边固定后，形状和大小不会改变，四边形四边固定后，形状和大小会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性. 知识点2 三角形的稳定性 合作探究 果 子 沟 大 桥 果子沟大桥位于中国新疆维吾尔自治区境内，它是新疆重要民生工程，其拉索就是三角形结构. 合作探究 例2 要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状,那么要使五边形,六边形木架,七边形木架保持稳定该怎么办呢? 可以从多边形的一个顶点作对角线，把多边形分成若干个三角形. 典例精析 1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） 3，4，8 （ ） （2） 2，5，6 （ ） （3） 5，6，10 （ ） （4） 3，5，8 （ ） 不能 能 能 不能 随堂检测 4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________. 3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________. 2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线段为边长可以构成________个三角形. 3 22cm 18cm或21cm 随堂检测 5.小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8cm和5cm的木棒，如果要求第三根木棒的长度是偶数，小颖有几种选法？第三根的长度可以是多少？ 解：设第三根木棒长为xcm，有 8-5＜x＜8+5 3＜x＜13 ∵x为偶数，∴小颖有5种选法. 第三根木棒的长度可以是：4cm，6cm，8cm，10cm，12cm. 随堂检测 三角形的三边关系 三角形的三边关系： 任何两边的和大于第三边； 任何两边的差小于第三边. 三角形具有稳定性 课堂总结 $$