专题8.1 与三角形有关的边和角（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题8.1 与三角形有关的边和角 教学目标 1.掌握三角形的概念、分类及三边关系，能判断线段能否构成三角形。 2.理解三角形的高、中线、角平分线，会画图并进行简单计算。 3.熟练运用内角和定理与外角性质求角度，判定三角形形状。 4.了解三角形稳定性，能解释生活应用。 5.初步运用方程、转化思想解决几何计算问题。 教学重难点 重点 （1）三角形三边关系的理解与应用 （2）三角形内角和、外角性质的计算 （3）三角形高、中线、角平分线的识别与画法 （4）直角三角形的性质与判定 难点 （1）钝角三角形高的画法与识别 （2）外角性质中“不相邻”条件的准确使用 （3）内角、外角综合倒角推理 （4）方程思想在几何中的应用 知识点01：三角形的基本概念 1.定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作三角形。 2.表示：记作，读作“三角形”。 3.构成：三个顶点、三条边、三个内角。 4.计数方法：按顺序、按边、按顶点分类计数，不重复不遗漏。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 知识点02：三角形的分类 1.按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角 钝角三角形：有一个内角是钝角 2.按边分类 不等边三角形：三边都不相等 等腰三角形：至少两边相等（包含等边三角形） 等边三角形：三边都相等（特殊等腰三角形） 【即学即练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形按边分类，根据分类情况分为三边不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形分为腰和底不相等的三角形、等边三角形，根据分类的情况即可得到答案． 【详解】解：根据三角形按边分类情况：等边三角形应该分在等腰三角形里，故选项A错误，不符合题意； 分类正确，故选项B正确，符合题意； 等腰三角形包含等边三角形，故选项C错误，不符合题意； 分类不完整，故选项D错误，不符合题意； 故选：B 知识点03：三角形的三边关系 1.核心定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.判定技巧：只需判断较短两边之和>最长边。 3.取值范围：已知两边、（），则第三边满足。 4.应用：判断线段能否构成三角形、求边长范围、化简绝对值。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为________． 【答案】9 【详解】解：设第三根木棒的长为，依题意，，即， ∵为整数， ∴的最大值为， 即第三根木棒最长为． 知识点04：三角形的三条重要线段 线段名称 定义 符号语言 位置特征 中线 顶点与对边中点的连线 都在内部，交于重心 角平分线 内角平分线与对边交点间线段 都在内部，交于内心 高 顶点向对边作垂线，垂线段 ， 锐角：都在内部；直角：两条与直角边重合；钝角：两条在外部 【即学即练】 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 【答案】①② 【分析】根据三角形中线，内角平分线，高的定义，分别判断三类线段在三角形中的位置，即可得到结果． 【详解】根据三角形相关定义可知，三角形的中线是顶点到对边中点的线段，任意三角形的中线都在三角形内部，三角形的内角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段，任意三角形的内角平分线都在三角形内部； 对于三角形的高：锐角三角形的三条高都在三角形内部，直角三角形有两条高与直角边重合，钝角三角形有两条高在三角形外部，因此高不一定在三角形内部． 因此一定在三角形内部的线段是①②． 知识点05：三角形内角和定理 1.定理：三角形三个内角的和等于。 2.推论1：直角三角形的两个锐角互余。 3.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 4.应用：求角度、判定三角形形状、方程思想求角。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江西新余·月考）三角形内角和定理：三角形内角和等于． 请结合下图，给出证明过程． 【答案】见解析 【分析】过顶点作直线，利用平行线的内错角相等性质，把另外两个内角转移到该顶点处，与原内角组成平角。因为平角的度数为，所以通过等量代换可推导出三角形内角和等于． 【详解】证明：过顶点作直线， ∴，， ∵， ∴， 因此三角形内角和等于． 知识点06：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角。 2.性质1：一个外角=与它不相邻的两个内角之和。 3.性质2：一个外角>任何一个与它不相邻的内角。 4.外角和：三角形的外角和等于。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 知识点07：三角形的稳定性 1.定义：三边长度确定，形状与大小唯一确定。 2.特性：三角形特有，四边形及以上不具有。 3.应用：生活中加固结构、钢架、支架等。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东聊城·月考）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 【答案】C 【分析】利用三角形的稳定性和四边形的不稳定性进行解答即可． 【详解】解；A、B、D这三个选项中的图形应用的是三角形的稳定性，C选项中的图形应用的是四边形的不稳定性． 题型01三角形的概念与计数 方法技巧：按固定顺序分类计数，按边/按顶点，不重不漏。 【典例1】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫作三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的知识，掌握三角形的有关概念是解题的关键．三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形；三条线段是三角形的边，两条线段构成的角是三角形的内角，据此即可得到答案． 【详解】解：图中三角形有：、、、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 的边：、、，角：、、． 【变式1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 【变式1-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 【答案】 ． 【分析】本题考查了三角形的定义，根据三角形的定义数出三角形的个数，找出以为边的三角形以及以为一个内角的三角形，即可求解． 【详解】解：图中的三角形有、、、、、，共个； 以为边的三角形有、、， 以为一个内角的三角形是、、． 故答案为：；；． 题型02三角形的分类判断 方法技巧：看最大内角判断形状；看相等边判断等腰/不等边。 【典例2】.（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 【变式2-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 【变式2-2】.（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类． 根据三角形的分类进行解答即可． 【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形， 则图中“？”处是：直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【变式2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． 题型03三边关系判定能否构成三角形 方法技巧：较短两边之和大于最长边即可判定成立。 【典例3】.（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，2，5 【答案】B 【分析】根据任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形，不符合题意； 对于选项B，∵，，，满足三角形三边关系，∴能组成三角形，符合题意； 对于选项C，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形，不符合题意； 对于选项D，∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形，不符合题意． 【变式3-1】.（25-26七年级下·重庆·月考）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．3，5，9 B．8，10，10 C．4，8，12 D．5，6，13 【答案】B 【分析】找出每组中的最大边，验证最大边是否小于另外两边之和即可判断能否构成三角形． 【详解】解：选项A，最大边为9，，不能构成三角形； 选项B，最大边为10，，满足三边关系，能构成三角形； 选项C，最大边为12，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D，最大边为13，，不能构成三角形． 【变式3-2】.（2026·山东济宁·一模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，5，2 C．3，4，8 D．1，10，10 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需验证较小两边的和是否大于最大边，即可判断能否构成三角形． 【详解】：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； ：最大边为，，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 【变式3-3】.（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 【答案】1 【分析】先写出从四条线段中任选三条的所有组合，再根据三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断组合是否符合要求，最后统计符合条件的组合个数即可． 【详解】从长度是、、、的线段中任选三条，共有以下种组合： ① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，． 根据三角形三边关系逐一判断： ① 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ② 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ③ 因为 ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形； ④ 因为 ，，，满足三角形任意两边之和大于第三边，能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合只有个． 题型04已知两边求第三边取值范围 方法技巧：两边之差＜第三边＜两边之和，注意取整等限制条件。 【典例4】.（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， ∴， 即． 【变式4-1】.（25-26七年级下·福建漳州·月考）若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系得出，即可求解． 【详解】解：依题意，． 解得：． ∴x的值可以为（答案不唯一）． 【变式4-2】.（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 【变式4-3】.（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （2）设，则，根据三角形的三边关系得出，结合的周长，求出的取值范围． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可得， ， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， 同理（1）可得，， ∴， 解得， ∵的周长， ∴． 题型05等腰三角形的边长与周长 方法技巧：分类讨论腰与底，必须用三边关系检验取舍。 【典例5】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为，则它的底角为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用等腰三角形两底角相等和三角形内角和进行计算即可，题目明确给出顶角为，不需要分类讨论． 【详解】解：． 【变式5-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，计算对应底边长与腰长后求出“优美比”，同时验证三边能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当3为腰长时， ∵等腰的周长为10， ∴底边长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； ②当3为底边长时， ∵等腰的周长为10， ∴腰长， ∵，满足三角形三边关系， ∴“优美比”是； 综上，“优美比”是或． 【变式5-2】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【答案】B 【分析】题目未说明已知边长是腰还是底边，需分类讨论，再验证三边关系得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论：①当为底边长时，腰长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为； ②当为腰长时，底边长， ∵，满足三角形三边关系，此种情况成立，此时底边长为． ∴底边长为或． 【变式5-3】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知等腰中，于，且，则底角的度数可以为（   ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．分三种情况讨论，分别以等腰三角形的不同边为腰，结合等腰三角形的三线合一性质及三角形内角和定理求解底角度数． 【详解】解：分三种情况： ①当时， ∵， ∴（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴底角； ②当时，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴ 等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵， ∴，即底角为； ③当时，在的延长线上， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即底角为． 综上，底角的度数为或或， 故选：D． 题型06利用三边关系化简绝对值 方法技巧：根据判断符号，再去绝对值合并。 【典例6】.（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知是三角形的三边，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边的不等关系：任两边的和大于第三边，任两边的差小于第三边，化简绝对值等知识．根据三角形三边关系，判断绝对值内的符号，进而化简绝对值，即可． 【详解】解：∵是三角形的三边， ∴，， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为． 【变式6-1】.（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（ ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，以及绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子得到结果． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-2】.（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知的三边长分别为，化简：． 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系得出，，再去绝对值符号，合并同类项即可．本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【详解】的边长为，，， ，， ． 【变式6-3】.（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，由三角形三边关系定理得，由绝对值的性质即可化简． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 题型07三角形高、中线、角平分线识别与画法 方法技巧：中线平分对边，角平分线平分内角，高与对边垂直。 【典例7】.（24-25八年级上·广西南宁·月考）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 【变式7-1】.（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 【变式7-2】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）画出图中三角形的三条高． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键，自三角形的顶点向对边 作垂线，顶点与垂足之间的线段即为三角形的高． 【详解】解：如图线段即为的三条高． 【变式7-3】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三条特殊线段，理解三角形中线、高线和角平分线的定义，是解题的关键．过点C作于点D，则为的高线；作的平分线，交于点E，则为的角平分线，找出的中点F，连接，则为的中线． 【详解】解：如图，为所求作的高线，为所求作的角平分线，为所求作的中线． 题型08三角形中线与面积等分 方法技巧：中线将三角形分成面积相等的两部分。 【典例8】.（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图，四边形的对角线和相交于点E，且，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】D 【分析】先根据且，可得，再根据得出答案． 【详解】解：∵且， ∴． ∵， ∴． 【变式8-1】.（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点分别为的中点，连接，．若的面积为9，则阴影部分的面积为___________． 【答案】3 【分析】首先根据求出的面积，然后根据分别为的中点，利用中线性质将阴影部分面积转化为面积的一半，从而得出结果． 【详解】解：， ， ，且和共享从A到的高， ， 点为的中点， 同理可得，， 点为的中点 同理可得，， 阴影部分的面积为： ． 【变式8-2】.（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点E为的中点，的面积为2， ， ， 点F为的中点， ， 点D为的中点， ， 阴影部分面积为：． 【变式8-3】.（25-26九年级下·上海宝山·月考）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 题型09直接用内角和求角度 方法技巧：设未知数列方程，利用。 【典例9】.（2026·浙江杭州·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质求得，再求得，根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ． 【变式9-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又， ． 【变式9-2】.（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______． 【答案】80 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，∴， ∴． 【变式9-3】.（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，中有，点在上．根据图中标示的度数，则之值是（   ） A．150 B．160 C．170 D．180 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可求出r的值，根据三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 题型10直角三角形两锐角互余 方法技巧：见到直角三角形，直接用两角互余倒角。 【典例10】.（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 【变式10-1】.（2026·重庆·模拟预测）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式10-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，点E在上，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质求出的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-3】.（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 题型11三角形外角性质求角度 方法技巧：外角=不相邻两内角和，优先找外角模型。 【典例11】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直线，的两边分别与直线，相交，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据外角性质得出，根据平行线的性质即可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式11-1】.（25-26七年级下·四川达州·月考）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 【答案】/130度 【分析】延长交于点，由对顶角相等可得，结合三角形的外角的性质可计算得．根据题意可得，则． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵横梁始终平行于， 又∵由调整得到， ∴， ∴． 【变式11-2】.（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【答案】 75 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 【变式11-3】.（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 【答案】 【分析】首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：， ， ， ， 在中， ． 题型12角平分线与内角/外角综合计算 方法技巧：角平分线得等角，结合内角和、外角性质列关系式。 【典例12】.（22-23七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，接着根据高线的定义和直角三角形两锐角互余求出的度数，最后通过计算出的度数，从而确定正确选项． 【详解】解：，， ． 是的角平分线 ． 是的高线， ，即． 在中， ． ． 【变式12-1】.（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（1）先根据的内角和为结合求出，再根据为、的平分线，求出，最后根据的内角和为，即可求出； （2）先根据的内角和为推出，再根据为、的平分线，求出，最后根据的内角和为，即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵的内角和为，， ∴， ∵为、的平分线， ∴，， ∴， ∵的内角和为， ∴； （2）解：与的数量关系为：，理由如下： ∵的内角和为， ∴， ∵为、的平分线， ∴，， ∴， ∵的内角和为， ∴． 【变式12-2】.（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 【变式12-3】.（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质与三角形内角和定理是解决本题的关键． （1）根据“8字形”图形可得，，，再结合角平分线的性质可得，，，代入整理并求解即可． （2）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． （3）根据角平分线的性质可得，，，再结合“8字形”图形求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∵分别平分和， ∴，， 则有，， 两式相减可得，， 即， ∵， ∴ （2）解： ∵直线平分的外角，平分的外角， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理可得，， ∵，， ∴， 将与两式作加法， ， ∵， ∴． （3）解：∵平分，平分的外角， ∴，， 又∵，， 又∵， ∵，， ∴，， ∴． 一、单选题 1．下列条件中能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理（三角形内角和为），计算各选项的内角度数，判断是否存在角即可得出结论． 【详解】解：三角形内角和为，逐项判断如下． A. ，， ， ， 是直角三角形，符合题意； B. ，， ， ， 是等边三角形，不是直角三角形，不符合题意； C. ， ， ，不能构成三角形，不符合题意； D. ，， ， ， 不是直角三角形，不符合题意． 2．若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 【答案】A 【详解】解：∵ 是 的中线， ∴ D是的中点，即点D平分， 可得， 是中线无法推出，因此A结论错误． 3．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此作答即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得，，， ∴，即， ∴，间的距离不可能是． 4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线得到，结合内外角关系得到即可 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，如下图： ∴， ∵， ∴． 二、填空题 5．如图是某晚会表演节目的机器人，图2是从中抽象出的示意图．经测量，，，若，则的度数为________． 【答案】/72度 【分析】连接，求得，根据三角形内角和，得到，根据互余的性质求解即可． 【详解】解：连接， ，且三点共线， ， ， ， ， ， ． 6．如图，在中，为角平分线的延长线上一点，过点作于点，若，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】设，则，根据角平分线的定义得到，，进而得到，根据对顶角相等得到，根据垂线的定义得到，根据三角形内角和求出，进而可求的度数． 【详解】解：设， ∴， ∵为角平分线的延长线上一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理可得，由平角的定义并结合题意求出，最后再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 如图： ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 三、解答题 9．如图，在中，，外角，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形的外角的性质得到，据此解答即可． 【详解】解：是的外角， ． 10．如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，垂直得到的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴，， ∴． 11．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 【答案】(1)4；1 (2) 【分析】（1）几个非负数的和为0，则这几个非负数的值都为0，据此可得答案； （2）根据三角形的三边的关系求出b的取值范围，结合b为整数求出b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴，即， 又∵为整数， ∴， ∴的周长． 12．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)2； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形中线以及三角形外角： （1）通过中线性质得到线段相等关系，再根据周长公式计算差值； （2）根据已知条件求出相关角度，进而得出所求角的大小． 【详解】（1）解：是的中线， ， 的周长为：，的周长为：， 与的周长差为：． 故答案为：． （2）解：在中，为它的一个外角，且，， ． 是的角平分线， ． ， ， 在中，． ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 与三角形有关的边和角 教学目标 1.掌握三角形的概念、分类及三边关系，能判断线段能否构成三角形。 2.理解三角形的高、中线、角平分线，会画图并进行简单计算。 3.熟练运用内角和定理与外角性质求角度，判定三角形形状。 4.了解三角形稳定性，能解释生活应用。 5.初步运用方程、转化思想解决几何计算问题。 教学重难点 重点 （1）三角形三边关系的理解与应用 （2）三角形内角和、外角性质的计算 （3）三角形高、中线、角平分线的识别与画法 （4）直角三角形的性质与判定 难点 （1）钝角三角形高的画法与识别 （2）外角性质中“不相邻”条件的准确使用 （3）内角、外角综合倒角推理 （4）方程思想在几何中的应用 知识点01：三角形的基本概念 1.定义：由 的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作三角形。 2.表示：记作，读作“ ”。 3.构成：三个顶点、三条边、三个内角。 4.计数方法：按顺序、按边、按顶点分类计数，不重复不遗漏。 【即学即练】 1．（25-26八年级上·四川凉山·期末）观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（ ） A． B． C． D． 知识点02：三角形的分类 1.按角分类 锐角三角形：三个内角都是 直角三角形：有一个内角是 钝角三角形：有一个内角是 2.按边分类 不等边三角形：三边都 等腰三角形：至少 （包含等边三角形） 等边三角形：三边 （特殊等腰三角形） 【即学即练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03：三角形的三边关系 1.核心定理：任意两边之和 ，任意两边之差 。 2.判定技巧：只需判断较短两边之和>最长边。 3.取值范围：已知两边、（），则第三边满足。 4.应用：判断线段能否构成三角形、求边长范围、化简绝对值。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）有两根木棒长分别为、，要选第三根木棒与它们围成三角形，且长度为整数，则第三根木棒最长为________． 知识点04：三角形的三条重要线段 线段名称 定义 符号语言 位置特征 中线 都在内部，交于重心 角平分线 都在内部，交于内心 高 ， 锐角：都在内部；直角：两条与直角边重合；钝角：两条在外部 【即学即练】 1．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在三角形中，①中线、②内角平分线、③高，一定在三角形内部的线段是_________．（填序号） 知识点05：三角形内角和定理 1.定理：三角形三个内角的和等于 。 2.推论1：直角三角形的两个锐角 。 3.推论2：有两个角互余的三角形是 。 4.应用：求角度、判定三角形形状、方程思想求角。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·江西新余·月考）三角形内角和定理：三角形内角和等于． 请结合下图，给出证明过程． 知识点06：三角形的外角 1.定义：三角形的一边与另一边的 成的角。 2.性质1：一个外角= 。 3.性质2：一个外角>任何一个与它不相邻的内角。 4.外角和：三角形的外角和等于 。 【即学即练】 1．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 知识点07：三角形的稳定性 1.定义：三边长度确定，形状与大小唯一确定。 2.特性：三角形特有，四边形及以上不具有。 3.应用：生活中加固结构、钢架、支架等。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·山东聊城·月考）从数学角度看下列四幅图片有一个与众不同，该图片是（   ） A．屋顶支撑架 B．自行车三角架 C．伸缩门 D．旧木门钉木条 题型01三角形的概念与计数 方法技巧：按固定顺序分类计数，按边/按顶点，不重不漏。 【典例1】.（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中的三角形，并分别写出这些三角形的边和角． 【变式1-2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【变式1-3】.（2026七年级下·全国·专题练习）如图，图中三角形的个数为________；以为边的三角形是_________________，以为一个内角的三角形是____________________． 题型02三角形的分类判断 方法技巧：看最大内角判断形状；看相等边判断等腰/不等边。 【典例2】.（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式2-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式2-2】.（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______． 【变式2-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 题型03三边关系判定能否构成三角形 方法技巧：较短两边之和大于最长边即可判定成立。 【典例3】.（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，2，5 【变式3-1】.（25-26七年级下·重庆·月考）下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（   ） A．3，5，9 B．8，10，10 C．4，8，12 D．5，6，13 【变式3-2】.（2026·山东济宁·一模）以下列各数为边长，能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，5，2 C．3，4，8 D．1，10，10 【变式3-3】.（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知四条线段的长度分别是、、、，任意选择其中三条线段，能构成的三角形有______个． 题型04已知两边求第三边取值范围 方法技巧：两边之差＜第三边＜两边之和，注意取整等限制条件。 【典例4】.（24-25八年级上·云南德宏·期末）已知三角形的三边分别为，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】.（25-26七年级下·福建漳州·月考）若一个三角形三边的长分别为4，7，x，则x的值可以为____．（只需写出满足要求的一种情况即可） 【变式4-2】.（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【变式4-3】.（25-26七年级下·上海杨浦·月考）按要求完成下列计算： (1)已知在中，，，求第三边的取值范围． (2)已知在中，，，求这个三角形周长的取值范围． 题型05等腰三角形的边长与周长 方法技巧：分类讨论腰与底，必须用三边关系检验取舍。 【典例5】.（25-26八年级上·四川泸州·期末）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为，则它的底角为（   ） A． B． C． D．或 【变式5-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰的周长为10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（    ） A． B． C． 或 D．或 【变式5-2】.（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）已知等腰三角形的一边长为4，周长为13，则它的底边长为（    ） A．4 B．4或5 C．或 D．5 【变式5-3】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）已知等腰中，于，且，则底角的度数可以为（   ） A． B．或 C．或 D．或或 题型06利用三边关系化简绝对值 方法技巧：根据判断符号，再去绝对值合并。 【典例6】.（25-26八年级上·辽宁营口·月考）已知是三角形的三边，化简______． 【变式6-1】.（25-26八年级上·广西崇左·期末）已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（ ） A．6 B．7 C．8 D． 【变式6-2】.（25-26八年级上·四川泸州·期中）已知的三边长分别为，化简：． 【变式6-3】.（25-26八年级上·青海西宁·月考）若是三角形的三边长，则化简的结果为________． 题型07三角形高、中线、角平分线识别与画法 方法技巧：中线平分对边，角平分线平分内角，高与对边垂直。 【典例7】.（24-25八年级上·广西南宁·月考）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A．B． C． D． 【变式7-1】.（25-26八年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【变式7-2】.（25-26七年级上·山东淄博·期中）画出图中三角形的三条高． 【变式7-3】.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 题型08三角形中线与面积等分 方法技巧：中线将三角形分成面积相等的两部分。 【典例8】.（25-26九年级下·内蒙古通辽·月考）如图，四边形的对角线和相交于点E，且，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．12 【变式8-1】.（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点分别为的中点，连接，．若的面积为9，则阴影部分的面积为___________． 【变式8-2】.（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________． 【变式8-3】.（25-26九年级下·上海宝山·月考）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型09直接用内角和求角度 方法技巧：设未知数列方程，利用。 【典例9】.（2026·浙江杭州·一模）将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在上，．若斜边，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，中，点在上，，，则图中标示的的值是______． 【变式9-3】.（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，中有，点在上．根据图中标示的度数，则之值是（   ） A．150 B．160 C．170 D．180 题型10直角三角形两锐角互余 方法技巧：见到直角三角形，直接用两角互余倒角。 【典例10】.（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】.（2026·重庆·模拟预测）如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是________． 【变式10-2】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，点E在上，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型11三角形外角性质求角度 方法技巧：外角=不相邻两内角和，优先找外角模型。 【典例11】.（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直线，的两边分别与直线，相交，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】.（25-26七年级下·四川达州·月考）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_________ ． 【变式11-2】.（2026·湖南岳阳·一模）如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 【变式11-3】.（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，已知，为的边上的一点，且，．则________． 题型12角平分线与内角/外角综合计算 方法技巧：角平分线得等角，结合内角和、外角性质列关系式。 【典例12】.（22-23七年级下·江苏淮安·期中）如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】.（25-26七年级下·上海松江·期中）如图，在中，、的平分线相交于点O． (1)若，则________ (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【变式12-2】.（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【变式12-3】.（25-26八年级上·湖北黄冈·月考）在八年级上册第十三章《三角形》的学习中，涉及到三角形角的性质和计算应用广泛，其中有内角、外角、对顶角、邻补角、角平分线，还有内角和、外角和，有的还要设未知数建立方程，或设参数建立等式解决问题，内涵丰富，方法多样． (1)如图1，分别平分和，若，求的度数． (2)如图2，直线平分的外角，平分的外角，若，求此时的度数． (3)在图3中，平分，平分的外角，猜想与，之间的数量关系，并直接写出结论． 一、单选题 1．下列条件中能判断为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 3．如图，为了估计池塘岸边，两点间的距离，小明同学在池塘一侧选取一点，测得，，则，间的距离不可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．如图是某晚会表演节目的机器人，图2是从中抽象出的示意图．经测量，，，若，则的度数为________． 6．如图，在中，为角平分线的延长线上一点，过点作于点，若，，则的度数为___________． 7．如图，两面镜子，的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是_____． 8．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 三、解答题 9．如图，在中，，外角，求的度数． 10．如图，在中，是的平分线，，垂足为，，求的度数． 11．已知的三边分别为．若满足． (1)___________，___________； (2)若为整数，求的周长． 12．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，则与的周长差为________； (2)若，，求的大小． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $