专题1.1 认识三角形（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题1.1 认识三角形 认识三角形 教学目标、教学重难点 知识清单 题型精讲 强化训练 三角形的有关概念 三角形的内角和 三角形的三边关系 三角形的角平分线 三角形的分类 三角形的中线 三角形的高线 数三角形的个数 三角形的分类 求三角形的内角 用方程求解三角形的内角 求三角形边的取值范围 根据三角形三边关系分析问题 三角形的角平分线与求角 三角形的中线与面积的问题 三角形的中线与周长的问题 画三角形的高线 三角形的高线与求角 三角形三线相关的综合性问题 教学目标 1.理解三角形及其边、内角等概念； 2.探索并证明三角形的内角和为180°。 3.理解并证明三角形两边之和大于第三边； 4.理解三角形的角平分线、中线和高线等概念； 教学重难点 1.重点 （1）三角形的定义与概念； （2）三角形内角和定理及其应用，三角形的分类 （3）三角形三边关系及其应用； （4）三角形的角平分线、中线和高线的概念和性质。 2.难点 （1）运用三边关系解决实际问题； （2）运用三角形内角和定理解决求角问题 （3）区分三角形的角平分线、中线和高线在不同类型三角形中的位置和性质。运用性质求解问题。 知识点01 三角形的有关概念 1. 三角形的概念： 如图，我们知道，由 不在同一直线上 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示，如图： 在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB、BC、AC 。 相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠A、∠B、∠C 。 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 。有 顶点A、顶点B、顶点C 。 用符号 △ 来表示三角形，右图三角形即表示为 △ABC 。 3. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 邻边 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 对边 ； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边。 【即学即练】 1．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F． （1）图中共有多少个AB以为边三角形？并把它们表示出来． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC． （2）△BDF、△AEF 【分析】（1）以AB为边的三角形有4个； （2）以F为顶点的三角形有3个，除△ABF外，还有2个． 【解析】解：（1）以AB为边的三角形有4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有△BDF、△AEF． 知识点02 三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是 180° . 2.三角形内角和定理的作用: ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数; ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数: ③求一个三角形中各角之间的关系. 【即学即练】 1.在△ABC中，∠A=3∠B=6∠C，那么∠A= 120° 。 【答案】120° 【分析】已知△ABC的内角和为180°，再结合关于三个内角的等量关系，不妨用方程解决问题，可以设∠C=k，则∠A=6k，∠B=2k；有∠A+∠B+∠C=6k+2k+k=180°，解得k的值即可求出∠A的度数。 【解析】解：设∠C=k，则∠A=6k，∠B=2k；有∠A+∠B+∠C=6k+2k+k=180°，解得k=20°，则∠A=6×20=120°。 故答案为：120° 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 【答案】（1）105° （2）50° 【分析】（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC的度数，再根据角平分线的定义，即可得出∠EAF的度数，进而得到∠ADC的度数； （2）依据BE⊥AD，即可得到∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，即可得出∠AFE的度数． 【解析】解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°， ∴∠BAC＝80°， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAF＝∠BAC＝40°， ∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°； （2）∵BE⊥AD， ∴∠AEF＝90°， 由（1）可得∠EAF＝40°， ∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°． 知识点03 三角形的分类 三角形的分类——按角分类 三角形 三个内角 都是锐角 的三角形是锐角三角形。 有一个内角 是直角 的三角形是直角三角形。 有一个内角 是钝角 的三角形是钝角三角形。 【即学即练】 1．若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】D 【分析】由三角形有两个内角的和是100°，可得出这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角，结合三角形的分类，可得出这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，即不能确定． 【解析】解：∵三角形有两个内角的和是100°， ∴这两个角中较大的角可以是钝角、直角、锐角， ∴这个三角形可能是钝角三角形、直角三角形、锐角三角形， ∴这个三角形不能确定． 故选：D． 知识点04 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可以得到如下性质：三角形的任意两边之和 大于 第三边。 推论：三角形的任意两边之差 小于 第三边。 【即学即练】 1．以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（　　） A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行解答即可． 【解析】解：A．3+5＝8，不能组成三角形，符合题意； B．3+4＞6，能组成三角形，不符合题意； C．8+7＞10，能组成三角形，不符合题意； D．1+2＞2，能组成三角形，不符合题意， 故选：A． 2．一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边的长可能是（　　） A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【解析】解：设第三边的长为x cm， 由三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3， 即2＜x＜8， 所以它的第三边的长可能是7cm． 故选：C． 3．已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣c﹣b|的结果为 　2a﹣2c　． 【答案】2a﹣2c 【分析】根据三角形的三边关系判断出a﹣b+c及a﹣c﹣b的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解析】解：∵a、b、c是△ABC的三边的长， ∴a﹣b+c＞0，a﹣c﹣b＜0， ∴原式＝a+b﹣c﹣（﹣a+b+c） ＝a+b﹣c+a﹣b﹣c ＝2a﹣2c． 故答案为：2a﹣2c． 知识点05 三角形的角平分线 1. 三角形角平分线的定义： 如图。三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间 的 线段 是三角形的角平分线。 2. 三角形角平分线的性质：AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。 【即学即练】 1．如图所示，AC平分∠BAE，AD⊥BE于点D，∠B＝40°，∠E＝70°，则∠CAD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAE的度数，在t△ADE中利用三角形内角和定理求出∠DAE的度数，即可求出∠CAD的度数． 【解析】解：∵∠B＝40°，∠E＝70°， ∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝180°﹣40°﹣70°＝70°， ∵AC平分∠BAE， ∴∠CAE＝＝35°， ∵AD⊥BE， ∴∠ADE＝90°， ∵∠E＝70°， ∴∠DAE＝90°﹣70°＝20°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝35°﹣20°＝15°， 故选：B． 知识点06 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，连结三角形的一个顶点与该顶点 对边中点 的线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： 【即学即练】 1．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 【答案】C 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解析】解：∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积是10cm2， ∴△ABD的面积＝△ABC的面积×＝5（cm2）， ∵E是AB的中点， ∴△BDE的面积＝△ABD的面积×＝2.5（cm2）， 故选：C． 2．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】D 【分析】根据CM是△ABC的中线可知AM＝BM，再由BC＝8cm，△BCM的周长比△ACM的周长大2cm即可得出结论． 【解析】解：∵CM是△ABC的中线，BC＝8cm， ∴AM＝BM， ∴△BCM的周长＝BC+BM+CM，△ACM的周长＝AC+AM+CM， ∵△BCM的周长比△ACM的周长大2cm， ∴BC+BM+CM﹣（AC+AM+CM）＝2，即BC﹣AC＝2， ∴8﹣AC＝2， 解得AC＝6（cm）． 故选：D． 知识点07 三角形的高线 1. 三角形高线的定义： 如图，从三角形的顶点向它的对边所在的直线作 垂线 ， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。 BD是△ABC的高BD ⊥ AC 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上； 二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点； 三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，三条高线的交点在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，三条高线的交点在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，三条高线的交点在 三角形外 。 【即学即练】 1．如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高 C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：∵AD⊥BC于点D， ∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A不符合题意， ∵BE⊥AC，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意； ∵CF⊥AB于点F， ∴CF是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 2．如果一个三角形的三条高线的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案． 【解析】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D、能确定C正确，故错误． 故选：C． 题型01 数三角形的个数 【典例1】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】由三角形的概念，即可得到答案． 【解析】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD， ∴图中共有5个三角形． 故选：A． 【变式1】如图所示的图形中，三角形的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断． 【解析】解：根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△AEC，△ADC，△DEC， 共有5个， 故选：C． 【变式2】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【答案】图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC． 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可． 【解析】解：图中共有6个三角形，分别是△ABD，△ABE，△ACB，△ADE，△ADC，△AEC． 【变式3】（1）如图1，图中共有三角形 　10　个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　24　个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】24 【分析】（1）给每个小三角形分别标上序号，然后将小三角形进行组合计算； （2）结合图1与图2中的三角形个数得到增加2条线的时候的三角形个数进行归纳，然后得到增加10条线时的三角形个数． 【解析】解：（1）如图1，给每个小三角形分别标上序号， ∴单个三角形有4个，两个小三角形组成的三角形有3个，三个小三角形组成的三角形有2个，四个小三角形组成的三角形有1个， ∴图1中的三角形共有4+3+2+1＝10（个）， 由图1可知，顶点与直线l之间的三角形中有10个三角形，大三角形中有10个较小的三角形， 其中，图中2直线l下面还有4个三角形， ∴图2中的三角形共有10+10+4＝24（个）， 故答案为：10，24． （2）当增加2条线时，图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个，共计3×10+4×（1+2）＝42个， ∵增加0条线时，三角形的个数为10个， 增加1条线时，三角形的个数为24个，24＝2×10+4， 增加2条线时，三角形的个数为42个，42＝3×10+4×（1+2），••• ∴增加10条线时，三角形的个数为11×10+4×（1+2+•••10）＝330个． 【变式4】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　3　个三角形；图③有　5　个三角形；图④有　7　个三角形；…猜测第七个图形中共有　13　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　（2n﹣1）　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】（1）3 5 7 13 （2）（2n-1） 【分析】（1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数． 【解析】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 题型02 三角形的分类 【典例1】下列关于三角形分类的说法错误的是（　　） A．只要三角形有一个钝角，这个三角形就是钝角三角形 B．直角三角形有一个角为90° C．只要确定一个三角形有两个锐角，那么这个三角形就是锐角三角形 D．一个三角形的三个角均相等，那么它是锐角三角形。 【答案】C 【分析】根据三角形分类中关于锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义可判断四个选项的正误。 【解析】A.根据定义可知，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，所以A正确； B.有一个角是直角的三角形是直角三角形，因此直角三角形有一个直角，即90°，所以B正确； C.根据定义可知，三个角均为锐角的三角形才是锐角三角形，所以C错误； D.因为三角形的内角和为180°，若一个三角形的三个角均相等，那么这三个角均为180°÷3=60°，它是锐角三角形，所以D正确。 故选：C 【变式1】下列几何图形是钝角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此可得答案． 【解析】解：观察各选项，根据钝角三角形的定义可知，B为钝角三角形； 故选：B． 【变式2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【解析】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角． 故选：D． 题型03 求三角形的内角 【典例1】如图，在中，点D，E分别在，上，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：， ． ，， ． 【变式1】在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝20°，则∠C＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．100° 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A+∠B+∠C＝180°，然后把∠A＝80°，∠B＝20°代入计算即可． 【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°， 而∠A＝80°，∠B＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣20°＝80°． 故选：A． 【变式2】如图，在中，在边上，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据三角形内角和定理，可求出的度数，利用三角形的外角性质即可求得度数． 【详解】解：， ， ， ． 【变式3】如图，已知为上一点，连接交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用平行线的性质及等量代换得出，根据同位角相等两直线平行即可得出结果； （2）根据平行线的性质和三角形内角和定理得出，再利用平行线的性质即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ， ， ， 又 ， ∴的度数为． 题型04 用方程求解三角形的内角 【典例1】求出下列图形中的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和为，是解题的关键． （1）根据三角形内角和为列出方程，进行求解即可； （2）根据三角形内角和为列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）三角形内角和是， ， 解得； （2）三角形内角和是， ， 解得：． 【变式1】在△ABC中，，若，则的度数为 40° ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，并通过设∠B=x，列三角形内角和为180°的等式求解即可。 【详解】解：∵在△ABC中，，且，设=2x，∠C=x， ∴60°+2x+x=180° ∴x=40． 故答案为：． 【变式2】若三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，则x的值为（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【答案】C 【分析】根据三角形内角和为180°，将三个内角相加即可求得x的值，即可解题． 【解析】解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为180°， ∴x+y+x﹣y+x＝180， ∴3x＝180， x＝60， 故选：C． 【变式3】根据要求完成：求图中与的值； 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ， ∴， 解得，， ∴，． 【变式4】定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 或或 ． 【答案】或或 【分析】本题考查三角形内角和定理．掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键． 根据三角形内角和等于，如果一个“倍角三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，根据由三角形中一个内角是另一个内角的2倍分类讨论，可以分别求得三角形的内角，由此比较得出答案即可． 【详解】解：当的角是另一个内角的2倍时， 三个角分别为：，，；　 当一个内角是的角的2倍时，三个角分别为：，，； 当另外两个角是两倍关系时， 设这两个角分别是，， 则， 解得， ∴， ∴三个角分别为：，， ； 因此，这个三角形中最大的内角度数为或或． 故答案为：或或． 题型05 求三角形边的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜7 B．2＜x＜7 C．1＜x＜6 D．0＜x＜7 【答案】A 【分析】据三角形三边关系，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，问题可求． 【解析】解：由题意，4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7． 故选：A． 【变式1】一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（　　） A．30＜x＜50 B．50＜x＜80 C．20＜x＜50 D．20＜x＜80 【答案】D 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可得到20＜x＜80． 【解析】解：由三角形三边关系定理得：50﹣30＜x＜50+30， ∴20＜x＜＜80． 故选：D． 【变式2】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 【答案】C 【分析】先由非负性求出a，b的值，再结合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行列式计算，即可作答． 【解析】解：∵a，b满足， ∴a﹣4＝0，b﹣8＝0， 即a＝4，b＝8， ∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边， ∴8﹣4＜c＜8+4， 即4＜c＜12， 故选：C． 【变式3】设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的长度取值范围是（　　） A．3＜c＜5 B．2＜c＜4 C．4＜c＜6 D．5＜c＜6 【答案】C 【分析】根据非负数的性质，易得a+b，a﹣b的值，再根据三角形三边关系即可求出第三边的长c的取值范围． 【解析】解：∵|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0， ∴a+b＝6，b﹣a＝4， ∴第三边的长c的取值范围是4＜c＜6． 故选：C． 【变式4】AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝7，则BD的取值范围是（　　） A．BD＞1 B．BD＜5 C．1＜BD＜5 D．1＜BD＜6 【答案】D 【分析】由三角形的三边关系可求解． 【解析】解：∵AD为中线， ∴BD＝CD， 在△ABC中，7﹣5＜BC＜5+7， 即2＜2BD＜12， ∴1＜BD＜6， 故选：D． 题型06 根据三角形三边关系分析问题 【典例1】已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可． 【解析】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形， ∴8﹣6＜m＜8+6， ∴2＜m＜14， ∴整数m的最小值是3． 故选：B． 【变式1】若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm 【答案】B 【分析】首先设三角形的第三边长为x cm，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，再求出周长即可． 【解析】解：设三角形的第三边长为x cm，由题意得： 5﹣2＜x＜5+2， 解得：3＜x＜7， ∵第三边的数值为奇数， ∴x＝5， ∴这个三角形的周长为：2+5+5＝12（cm）， 故选：B． 【变式2】已知三角形的三边长分别是3，4，x+1，则x的取值范围是 　0＜x＜6　． 【答案】0＜x＜6 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【解析】解：根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x+1＜4+3， 即0＜x＜6． 故答案为：0＜x＜6． 【变式3】在△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜6 B．2＜a＜7 C．3＜a＜8 D．4＜a＜14 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系定理，可得不等式8﹣5＜2a﹣1＜8+5，解此不等式即可． 【解析】解：∵△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8， 根据三角形的三边关系定理可得， AC﹣AB＜BC＜AC+AB， ∴8﹣5＜2a﹣1＜8+5， 解得，2＜a＜7． 故选：B． 【变式4】五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系求解即可． 【解析】解：由题意，4＜m＜7，则m的值为5或6． 若m＝5，5＜n＜9，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若m＝6，6＜n＜10，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以n＝9． 故选：C． 【典例2】已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（　　） A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【解析】解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2， 即3＜a＜7． ∴|a﹣3|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4． 故选：C． 【变式1】已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　0　． 【答案】0 【分析】根据三角形三边关系得到a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0，再去绝对值，合并同类项即可求解． 【解析】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长， ∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0， ∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b| ＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b） ＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b ＝0． 故答案为：0． 【变式2】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝　a+3b﹣c　． 【答案】a+3b﹣c 【分析】此题的关键是根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【解析】解：∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c+a＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c+b﹣c+a﹣（c﹣a﹣b）＝a+3b﹣c． 故答案为：． 【变式3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|． 【答案】4a﹣2c 【分析】三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可． 【解析】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝a+b﹣c+2a﹣2b﹣2c+a+b+c＝4a﹣2c． 题型07 三角形的角平分线与求角 【典例1】如图，在中，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质知识点． 先根据三角形内角和求出，再由角平分线得到，最后在中求． 【详解】， 则， 是的角平分线， ， 把代入可得， ， ． 答：的度数是． 【变式1】如图，，分别平分，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． （1）根据三角形内角和定理用、表示出，再用、表示出，再根据角平分线的定义可得，然后求出与、关系，代入数据进行计算即可得解； （2）根据三角形内角和定理用、表示出，再用、表示出，再根据角平分线的定义可得，然后求出与、关系． 【详解】（1）解：根据三角形内角和定理，， ， 同理，， 、分别平分和， ，， ， ； （2）证明：根据三角形内角和定理，， ， 同理，， 、分别平分和， ，， ， ． 题型08 三角形的中线与面积的问题 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解析】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【变式1】王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解析】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线， 故选：B． 【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：∵点D是边BC的中点，△ABC的面积等于8， ∴S△ABD＝S△ABC＝4， ∵E是AB的中点， ∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2， 故选：A． 【变式3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】1 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解析】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 题型09 三角形的中线与周长的问题 【典例1】在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD， ∵△ABD的周长为45， ∴AB+AD+BD＝45， ∵AB＝20， ∴20+CD+BD＝45， ∴CD+BD＝25， ∵BC＝18， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43， 故选：B． 【变式1】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【答案】B 【分析】根据中点得到BE＝CE，再表示出△ACE和△ABE的周长，找出它们的联系即可． 【解析】解：∵点E是BC的中点， ∴BE＝CE， ∵AB＝7，AC＝10， ∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝25＝10+CE+AE， ∴CE+AE＝15， ∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝7+CE+AE＝7+15＝22， 故选：B． 【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的定义推知BD＝DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长之差为（AB﹣AC）． 【解析】解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD， ∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故选：C． 【变式3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 【分析】根据中线的定义知CD＝BD．结合三角形周长公式知AC﹣AB＝5cm；又AC+AB＝13cm．易求AC的长度． 【解析】解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点，CD＝BD． ∵△ADC的周长﹣△ABD的周长＝5cm． ∴AC﹣AB＝5cm． 又∵AB+AC＝13cm， ∴AC＝9cm． 即AC的长度是9cm． 题型10 画三角形的高线 【典例1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的高的概念判断． 【解析】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B符合条件， 故选：B． 【变式1】下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的定义，过点B与AC边垂直，且垂足在边AC上，然后结合各选项图形解答． 【解析】解：根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高． 故选：D． 【变式2】如图，在△ABC中，边AB上的高是（　　） A．AF B．BE C．CE D．BD 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，即可得到结果． 【解析】解：△ABC中，过点C作边AB的垂线，与直线AB相交，点C与交点之间的线段是边AB上的高， 由图可知：CE是边AB上的高， 故选：C． 【变式3】如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 【答案】D 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB， A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 题型11 三角形的高线与求角 【典例1】如图，是的高，，求度数． 【答案】 【分析】本题三角形的内角和定理，高线的定义，结合三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，在中，于点，于点E，、相交于点F，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线定义，三角形内角和定理，连接，根据垂线定义得出，根据，，得出，根据，求出即可． 【详解】解：连接， ∵于点，于点E， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型12 三角形三线相关的综合性问题 【典例1】如图，在中，平分，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高等知识，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三角形的高的定义和三角形内角和定理可求出的度数，根据三角形角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 【解析】解：∵AF是△ABC的中线， ∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意； ∵AE是角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，B说法正确，不符合题意； ∵AD是高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠C+∠CAD＝90°，C说法正确，不符合题意； ∵BE≠EC， ∴S△ABE≠S△AEC，D说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，先根据是边上的高，，求出，结合，得，因为平分则，最后结合三角形内角和为进行列式，即可作答． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分 ∴， ∴． 【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点． （1）若AE平分∠BAC，∠DAE＝15°，∠B＝60°，求∠C的度数． （2）在（1）条件下，直接写出∠AEC＝　105°　． 【答案】（1）30° （2）105° 【分析】（1）先求出∠BAD的度数，即可求出∠BAE的度数，于是得出∠BAC的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠C的度数； （2）在△ACE中根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数． 【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∠B＝60°， ∴在△ABD 中，∠BAD＝90°＝60°＝30°， 又∵∠DAE＝15°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝30°+15°＝45°， 又∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝90°， ∴在△ABC中，∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣90°﹣60°＝30°； （2）由（1）知∠BAE＝∠CAE＝45°，∠C＝30°， ∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°， 故答案为：105°． 【变式4】如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)当为高时，若，求的度数； (2)当为角平分线时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是由角平分线定义和三角形内角和定理推出． （1））由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，由三角形的外角性质即可求出的度数； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， ， ∴ ， ∴ ． 【变式5】如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【答案】（1）50° （2）12 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解析】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12． 【变式6】如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　1　； （2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系． 【答案】（1）1 （2）∠BOC＝90°+∠A 【分析】（1）根据三角形中线的性质，表示出C△BCD、C△ACD，即可解答． （2）根据角平分线的性质，即可解答． 【解析】解：（1）∵CD是中线， ∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴C△BCD＝BC+BD+AD+3+AD+CD，C△ACD＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴C△BCD﹣C△ACD＝1， 故答案为：1． （2）∵BE、CD是△ABC的角平分线， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A， ∴∠BOC＝90°+∠A． 【变式7】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝68°，∠C＝23°， （1）求∠DAE的度数； （2）探究：小明认为如果条件∠B＝68°，∠C＝23°改成∠B﹣∠C＝45°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）22.5° （2）能 ∠DAE=22.5° 【分析】（1）先求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得出∠CAE的度数，据此可解决问题． （2）利用三角形的内角和定理结合整体思想即可解决问题． 【解析】解：（1）∵∠B＝68°，∠C＝23°， ∴∠BAC＝89°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝． ∵AD⊥BC，∠C＝23°， ∴∠CAD＝90°﹣23°＝67°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝67°﹣44.5°＝22.5°． （2）能． ∵∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣∠C﹣[90°﹣]＝， 又∵∠B﹣∠C＝45°， ∴∠DAE＝． 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系， 直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案． 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； B．∵，∴不能构成三角形，故该选项不符合题意； C．∵，∴能构成三角形，故该选项符合题意； D．∵，∴不能构成三角形．故该选项符合题意； 故选：C． 2．如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可． 【详解】解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D； 故选D． 3.已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类． 【详解】解：∵ ∴设，则，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， 则这个三角形是是钝角三角形， 故选：C 4.如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的计算，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：∵在中，，， ， ∵平分， ， ， 故选：C． 5．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 7．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用翻折变换的性质和三角形内角和定理． 通过分析翻折后形成的角与原三角形内角的关系，计算出的度数． 【详解】由题知： ， ， ， ， 故选：A． 8.如图，点M是射线ON上的一个动点（不与点O重合），点A在射线ON外，且∠AON＝30°，在点M运动过程中，若△AOM为锐角三角形，则∠A的取值范围是（　　） A．60°＜∠A＜90° B．30°＜∠A＜60° C．0°＜∠A＜30° D．0°＜∠A＜90° 【答案】A 【分析】过点A作AP⊥ON，AQ⊥OA，分别交ON 于点P，Q，求出∠OAP＝60°，即可求解． 【解析】解：如图，过点A作AQ⊥OA，AP⊥ON，分别交ON 于点Q，P， ∵∠AON＝30°， ∴∠OAP＝90°﹣30°＝60°， 若△AOM为锐角三角形，则点M应在点P，Q之间， ∴60°＜∠A＜90°， 故选：A． 9.在钝角中，最大角的度数可能是 （答案不唯一） （写一个满足条件的度数）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形内角和定理．设最大角为α，先求出其度数的取值范围是，再写出一个度数即可． 【详解】解：在钝角中，设最大角为α，则其度数的取值范围是， ∴最大角的度数可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 10.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　cm2． 【答案】1 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解析】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEF＝S△BCE＝×2＝1（cm2）． 故答案为1． 11.如果△ABC的两边长a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 　5＜c＜9　． 【答案】5＜c＜9 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解析】解：∵a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣2＝0， ∴a＝7，b＝2． ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴7﹣2＜c＜7+2，即5＜c＜9． 故答案为：5＜c＜9． 12.如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 4 个． 【答案】4 【分析】尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍，从而得解．本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试． 【详解】如图，满足条件的点C共有4个． 故答案为：4． 13.如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的内角和的平分线和的交点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A'的位置，折痕为DE．若∠A＝30°，∠C＝40°，若点E是AB边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿DE折叠，DE为折痕，使得点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED＝　40°或75°或130°　． 【答案】40°或75°或130° 【分析】根据翻折分三种情况进行解答，分别画出相应的图形，利用翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质进行计算即可． 【解析】解：（1）如图1，当A′D∥AB时， ∴∠AED＝∠A′DE，∠A＝∠A′DC＝30° 由翻折可知，∠ADE＝∠A′DE， ∵∠ADE+∠A′DC+∠A′DE＝180°， ∴∠AED＝＝75°； （2）如图2，当A′D∥BC时， ∴∠ADF＝∠C＝40°，∠AFD＝∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝110°， 由翻折可知，∠ADE＝∠A′DE＝∠ADA′＝20°， ∴∠AED＝∠EFD+∠A′DE ＝110°+20° ＝130°， （3）如图3，当A′D∥BC时， ∠A′DC＝∠C＝40°， ∴∠ADA′＝180°﹣40°＝140°， 由翻折可得∠ADE＝∠A′DE＝＝110°， ∴∠AED＝180°﹣30°﹣110°＝40°， 综上所述，∠AED＝40°或75°或130°， 故答案为：40°或75°或130°． 15.四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来． 【答案】一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒 【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒不可以组成三角形； 当取时， ∵， ∴这三根木棒可以组成三角形； 综上所述，一共有3种取法：取这三根木棒，取这三根木棒，取这三根木棒． 16.（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 【答案】（1）6，，，，，， （2），， （3），， （4），，；， 【分析】本题考查认识三角形，根据三角形的相关定义解答即可． 【详解】解：（1）图中的三角形为：，，，，，，共6个； （2）以为边的三角形有，，； （3）分别是，，中，，边的对角； （4）是，，的内角，是，的内角． 故答案为：6；，，，，，；，，；，，；，，；，． 17.如图，从A处观测C处的仰角为，从B处观测C处的仰角为．已知，试求出和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是解题的关键．根据三角形外角的性质可得，由此可求出的度数，再由内角和为可求出的度数． 【详解】是的外角， ， ． ， ． 18.如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)若点为边的中点，，的面积为30，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积计算公式求出，再根据三角形中线的定义即可得到的长； （2）由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，接着求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 是的中点， ； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ， ， ． 19.已知在中，， (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握三边关系，绝对值的非负性； （1）根据两边之差小于第三边，两边之和大于第三边求解即可； （2）根据绝对值的非负性可得，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：， ， ， 20.【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为 °． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为 ． 【答案】（1）是；（2）30；（3）或 【分析】本题考查了三角形的余角与补角，等腰三角形的性质； 特例感知：本题直接考查对倍余三角形定义的理解和简单应用，只需将三角形的锐角代入定义式子验证即可； 深入探究：本题综合考查等腰三角形性质和倍余三角形定义，需要分类讨论等腰三角形角的关系，对逻辑思维和知识综合运用能力要求较高．； 拓展延伸：本题结合直角三角形和倍余三角形知识，通过分类讨论不同锐角组合满足倍余三角形定义的情况来求解角度，考查对知识的灵活运用和分类讨论思想． 【详解】解：特例感知：倍余三角形定义为钝角三角形中两个锐角与满足． 在三角形三个内角为，和，两个锐角为，，， 满足倍余三角形定义， 故答案为：是； 深入探究：情况一，当是底角时，是底角，那么，代入，解得； 情况二，当是底角时，是顶角，根据三角形内角和为，，，所以，不成立； 情况三：当是顶角时，是底角，，且，由可得，代入，即，不成立． 故答案为：； 拓展延伸：在中，，，则因为是倍余三角形，，设，，然后分情况讨论． 情况一：当时，，则，根据三角形内角和； 情况二：当时，，，，． 故答案为：或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 认识三角形 认识三角形 教学目标、教学重难点 知识清单 题型精讲 强化训练 三角形的有关概念 三角形的内角和 三角形的三边关系 三角形的角平分线 三角形的分类 三角形的中线 三角形的高线 数三角形的个数 三角形的分类 求三角形的内角 用方程求解三角形的内角 求三角形边的取值范围 根据三角形三边关系分析问题 三角形的角平分线与求角 三角形的中线与面积的问题 三角形的中线与周长的问题 画三角形的高线 三角形的高线与求角 三角形三线相关的综合性问题 教学目标 1.理解三角形及其边、内角等概念； 2.探索并证明三角形的内角和为180°。 3.理解并证明三角形两边之和大于第三边； 4.理解三角形的角平分线、中线和高线等概念； 教学重难点 1.重点 （1）三角形的定义与概念； （2）三角形内角和定理及其应用，三角形的分类 （3）三角形三边关系及其应用； （4）三角形的角平分线、中线和高线的概念和性质。 2.难点 （1）运用三边关系解决实际问题； （2）运用三角形内角和定理解决求角问题 （3）区分三角形的角平分线、中线和高线在不同类型三角形中的位置和性质。运用性质求解问题。 知识点01 三角形的有关概念 1. 三角形的概念： 如图，我们知道，由 不在同一直线上 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的边，角，顶点以及三角形的表示，如图： 在三角形中，组成三角形的线段叫做三角形的 边 ，有 AB、BC、AC 。 相邻两边组成的角叫做三角形的 内角 ，简称三角形的角。有 ∠A、∠B、∠C 。 相邻两边的公共端点叫做三角形的 顶点 。有 顶点A、顶点B、顶点C 。 用符号 △ 来表示三角形，右图三角形即表示为 △ABC 。 3. 三角形中的相邻与相对关系： AB、AC与∠A相邻，所以是∠A的 邻边 ，BC与∠A相对，所以是∠A的 对边 ； 同理可得∠B、∠C的邻边与对边。 【即学即练】 1．如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连接BE，AD交于点F． （1）图中共有多少个AB以为边三角形？并把它们表示出来． （2）除△ABF外，以点F为顶点的三角形还有哪些？ 知识点02 三角形的内角和 1.三角形内角和定理：三角形三个内角的和是 180° . 2.三角形内角和定理的作用: ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数; ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角度数: ③求一个三角形中各角之间的关系. 【即学即练】 1.在△ABC中，∠A=3∠B=6∠C，那么∠A= 。 2.如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线． （1）求∠ADC的度数． （2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数． 知识点03 三角形的分类 三角形的分类——按角分类 三角形 三个内角 都是锐角 的三角形是锐角三角形。 有一个内角 是直角 的三角形是直角三角形。 有一个内角 是钝角 的三角形是钝角三角形。 【即学即练】 1．若三角形有两个内角的和是100°，那么这个三角形是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 知识点04 三角形的三边关系 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可以得到如下性质：三角形的任意两边之和 大于 第三边。 推论：三角形的任意两边之差 小于 第三边。 【即学即练】 1．以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（　　） A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 2．一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则第三边的长可能是（　　） A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm 3．已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a﹣b+c|﹣|a﹣c﹣b|的结果为 　 　． 知识点05 三角形的角平分线 1. 三角形角平分线的定义： 如图。三角形的一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间 的 线段 是三角形的角平分线。 2. 三角形角平分线的性质：AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。 【即学即练】 1．如图所示，AC平分∠BAE，AD⊥BE于点D，∠B＝40°，∠E＝70°，则∠CAD的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 知识点06 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 如图，连结三角形的一个顶点与该顶点 对边中点 的线段叫做三角形的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM ＝ CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角三角形的周长差等于对应另两边的差。即： 【即学即练】 1．如图，AD、CE都是△ABC的中线，连接ED，△ABC的面积是10cm2，则△BDE的面积是（　　） A．1.25cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．5cm2 2．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大2cm，则AC的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 知识点07 三角形的高线 1. 三角形高线的定义： 如图，从三角形的顶点向它的对边所在的直线作 垂线 ， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。 BD是△ABC的高BD ⊥ AC 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上； 二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点； 三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，三条高线的交点在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，三条高线的交点在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，三条高线的交点在 三角形外 。 【即学即练】 1．如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段AD是AB边上的高 B．线段BE是AC边上的高 C．线段CF是AC边上的高 D．线段CF是BC边上的高 2．如果一个三角形的三条高线的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 题型01 数三角形的个数 【典例1】请同学们认真观察，图中共有（　　）三角形． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式1】如图所示的图形中，三角形的个数是（　　） 【变式2】图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 【变式3】（1）如图1，图中共有三角形 　 　个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 　 　个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【变式4】观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　个三角形；图③有　 　个三角形；图④有　 　个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　个三角形（用含n的代数式表示结论）． 题型02 三角形的分类 【典例1】下列关于三角形分类的说法错误的是（　　） A．只要三角形有一个钝角，这个三角形就是钝角三角形 B．直角三角形有一个角为90° C．只要确定一个三角形有两个锐角，那么这个三角形就是锐角三角形 D．一个三角形的三个角均相等，那么它是锐角三角形。 【变式1】下列几何图形是钝角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 题型03 求三角形的内角 【典例1】如图，在中，点D，E分别在，上，，，．求的度数． 【变式1】在△ABC中，若∠A＝80°，∠B＝20°，则∠C＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．100° 【变式2】如图，在中，在边上，，求的度数． 【变式3】如图，已知为上一点，连接交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，，求的度数． 题型04 用方程求解三角形的内角 【典例1】求出下列图形中的值． 【变式1】在△ABC中，，若，则的度数为 ． 【变式2】若三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，则x的值为（　　） A．30 B．45 C．60 D．90 【变式3】根据要求完成：求图中与的值； 【变式4】定义：当三角形中其中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”．若一个“倍角三角形”的其中一个内角为，则这个三角形中最大的内角度数为 ． 题型05 求三角形边的取值范围 【典例1】若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜7 B．2＜x＜7 C．1＜x＜6 D．0＜x＜7 【变式1】一木工有两根长分别为30厘米和50厘米的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，则第三根木条的长度x厘米应在的范围是（　　） A．30＜x＜50 B．50＜x＜80 C．20＜x＜50 D．20＜x＜80 【变式2】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（　　） A．c＞4 B．c＜12 C．4＜c＜12 D．4≤c≤12 【变式3】设△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a，b满足|a+b﹣6|+（a﹣b+4）2＝0，则第三边c的长度取值范围是（　　） A．3＜c＜5 B．2＜c＜4 C．4＜c＜6 D．5＜c＜6 【变式4】AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝5，AC＝7，则BD的取值范围是（　　） A．BD＞1 B．BD＜5 C．1＜BD＜5 D．1＜BD＜6 题型06 根据三角形三边关系分析问题 【典例1】已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 【变式1】若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm 【变式2】已知三角形的三边长分别是3，4，x+1，则x的取值范围是 　 　． 【变式3】在△ABC中，AB＝5，BC＝2a﹣1，AC＝8，则a的取值范围是（　　） A．1＜a＜6 B．2＜a＜7 C．3＜a＜8 D．4＜a＜14 【变式4】五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且4＜m＜n＜14），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．11 【典例2】已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（　　） A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣4 【变式1】已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　 　． 【变式2】已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|＝　 　． 【变式3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|． 题型07 三角形的角平分线与求角 【典例1】如图，在中，，，是的角平分线，求的度数． 【变式1】如图，，分别平分，． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 题型08 三角形的中线与面积的问题 【典例1】三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【变式1】王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8，则△BDE的面积等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 题型09 三角形的中线与周长的问题 【典例1】在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 【变式1】如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝7，AC＝10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是（　　） A．18 B．22 C．28 D．32 【变式2】如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 【变式3】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长． 题型10 画三角形的高线 【典例1】在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列各图中，画出AC边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在△ABC中，边AB上的高是（　　） A．AF B．BE C．CE D．BD 【变式3】如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 题型11 三角形的高线与求角 【典例1】如图，是的高，，求度数． 【变式1】如图，在中，于点，于点E，、相交于点F，若，求的度数． 题型12 三角形三线相关的综合性问题 【典例1】如图，在中，平分，，，，求和的度数． 【变式1】如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线．则下列结论错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠BAE＝∠EAC C．∠C+∠CAD＝90° D．S△BAE＝S△EAC 【变式2】如图，在中，是边上的高，平分，求的度数．    【变式3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点． （1）若AE平分∠BAC，∠DAE＝15°，∠B＝60°，求∠C的度数． （2）在（1）条件下，直接写出∠AEC＝　 　． 【变式4】如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)当为高时，若，求的度数； (2)当为角平分线时，若，求的度数． 【变式5】如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【变式6】如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　； （2）若CD是△ABC的角平分线，试说明∠BOC与∠A的数量关系． 【变式7】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝68°，∠C＝23°， （1）求∠DAE的度数； （2）探究：小明认为如果条件∠B＝68°，∠C＝23°改成∠B﹣∠C＝45°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（   ） A．2，3，5 B．3，4，8 C．4，5，6 D．5，5，11 2．如图，四个图形中，线段是的高的图是（   ） A．   B．   C．   D．   3.已知中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 4.如图，中，，，线段是的平分线，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 7．如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8.如图，点M是射线ON上的一个动点（不与点O重合），点A在射线ON外，且∠AON＝30°，在点M运动过程中，若△AOM为锐角三角形，则∠A的取值范围是（　　） A．60°＜∠A＜90° B．30°＜∠A＜60° C．0°＜∠A＜30° D．0°＜∠A＜90° 9.在钝角中，最大角的度数可能是 （写一个满足条件的度数）． 10.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2． 11.如果△ABC的两边长a、b满足条件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么这个三角形的第三边长c的取值范围为 　 　． 12.如图在长方形网格中，每个长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形的面积为2，则满足条件点C的个数是 个． 13.如图，点是的内角和的平分线和的交点，若，则 ． 14.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A'的位置，折痕为DE．若∠A＝30°，∠C＝40°，若点E是AB边上的固定点，D是AC上一动点，将纸片沿DE折叠，DE为折痕，使得点A落在A′处，使A′D与三角形ABC的其中一边平行，则∠AED＝　 　． 15.四根木棒的长度分别为．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．一共有多少种取法？把它们都列出来． 16.（1）图中共有_________个三角形，它们分别是_________； （2）以为边的三角形有_________； （3）分别是，，中_________，_________，_________边的对角； （4）是_________，_________，_________的内角；是_________，_________的内角． 17.如图，从A处观测C处的仰角为，从B处观测C处的仰角为．已知，试求出和的度数． 18.如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． (1)若点为边的中点，，的面积为30，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 19.已知在中，， (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的值． 20.【概念呈现】 设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角． 【特例感知】 （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填写“是”或“不是”）倍余三角形． 【深入探究】 （2）若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为 °． 【拓展延伸】 （3）在中，，，点D是边上一点，若是倍余三角形，则的度数为 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$