专题19.3 有理数的小数形式 无理数（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题19.3 有理数的小数形式 无理数 教学目标 1. 进一步深化理解有理数的概念； 2. 掌握无限循环小数化成分数的方法； 3. 认识无理数、无理数的估算；实数的概念与分类； 4. 理解被开方数越大，它的算术平方根也越大；用计算器开方。 教学重难点 1.重点 （1）掌握设参（未知数）解决一些抽象数学的问题，达到转化的目的； （2）继七年级下册用反证法证明几何问题后，本册用它证明代数问题； （3）数的概念范围进一步扩大，目前已学习到实数；体验教材这个探索过程，感受其中所用的数学工具及思想的多元化。 2.难点 （1）概念辨析；限循环小数化成分数； （2）反证法； （3）抽象问题具体化。 知识点1 有理数的小数形式 1.有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 ①引入：我们知道，有理数是能够写成分数分数（a，b是整数，a≠0）的数，请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现? 我们发现，这些有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即 在小学，我们曾经学习过分数与小数的互化，知道分数化成小数即用分子除以分母. 当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数，例如， ②当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数： 当分子除以分母除不尽时，分数为什么一定能化成无限循环小数呢?我们以为例加以说明，下面是化成小数的过程： 由于除法中余数一定小于除数，因此在除数确定的情况下，出现的余数只有有限种可能，如除数是22时，出现的余数只有0、1、2、 … 、21,共22种可能.如果永远除不尽，那么相同的余数一定会重复出现，如3÷22,相同的余数8和14依次重复出现.一旦出现相同的余数，补0后再继续相除，商也一定会出现循环，如 ,在相同的余数8和14依次重复出现后，商相应出现循环节36.所以当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数. ③任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 2.无限循环小数化成分数 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.在小学，我们已经学习了如何把有限小数化成分数， 如那么, 无限循环小数如何化成分数呢? ①“单循环”（即循环节为1位数） ②“双循环”（即循环节为2位数） ③“三循环”（即循环节为3位数） 至此我们知道：有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 【即学即练】 1.判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)有限小数一定是有理数； (2)有理数一定是有限小数； (3)无限循环小数一定是有理数； (4)有理数一定是无限循环小数. 2．将无限循环小数2．333…化成分数是 ． 3．将无限循环小数0.1333…化成分数是 ． 4．用如下方法可以将0.化为分数形式. 步骤①设x＝0. 步骤②10x＝10×0. 步骤③10x＝1.，则10x＝1+0. 步骤④10x＝1+x，解得：x＝. (1)用以上方法将0.化为分数形式； (2)0.0化为分数形式是　　.（直接写出结果） 知识点2 无理数 1.引入 如图19-2-1,把边长为1的两个正方形分别沿着它们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相同的等腰直角三角形，它们的面积都是再把这四个等腰直角三角形拼成一个四边形ABCD, 那么我们就得到 一个面积为2的正方形. 图19-2-1中，正方形ABCD的边长是多少? 设正方形ABCD的边长为x, 则 x²=2. 由算术平方根的意义，得 所以正方形ABCD的边长是 正方形ABCD的边长是一条线段的长，即表示一个数，那么是有理数吗? 2.反证法证明不是有理数 事实上，不是有理数.可以用反证法证明如下： 假设是一个有理数，那么存在互素的正整数a、b, 使两边平方，得于是a²=2b² . 于是a²是2的倍数，所以a 也是2的倍数 . 设 a=2m, 其中m是正整数，就有(2m)²=2b², 即 b²=2m² . 于是b²是2的倍数，所以b也是2的倍数. 由此可见，a与b不是互素的，与假设的a与b互素相矛盾. 因此不是有理数. 3.无理数 这样，我们就得到了不是有理数，也就是说，既不是有限小数，也不是无限循环小数，那么一定是无限不循环小数.实际上，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 无限不循环小数又叫作无理数.例如，、、2等都是无理数，π也是无理数. 【即学即练】 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B．2 C．0.2 D． 2．实数，，，，（相连两个3之间依次多一个0），其中无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互素的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 知识点3 无理数的估算 究竞有多大? 虽然是无理数，但我们可以用有理数估计它的大致范围. 我们知道，边长越大的正方形的面积越大；反之，面积越大的正方形的边长也越大.所以被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果a>b≥0, 那么> . 利用这个结论，我们可以估计的大小： 如果表19-1继续下去，可以得到的更精确的近似值.我们可以用计算器求出一个数的平方根或其近似值. 记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 注意：用计算器求一个数的平方根时，按键顺序与计算器的型号有关，具体操作可以参考计算器的使用说明书. 【即学即练】 1．请你写出一个比小且比大的无理数 ． 2．为的整数部分，则的值为 ． 3．某一正方体的体积是，则它的棱长的整数部分是 ． 4．的整数部分是 ，小数部分是 ． 5. 关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是10的平方根 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 知识点4 实数及其分类 1.实数：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类 ①有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数. 实数可以这样分类： ②实数也可以分为正实数、0、负实数. 【即学即练】 1．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0.31，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧0． 整数：; 非负实数：; 无理数：; 2．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，0，，，． 有理数集合：｛    …｝； 无理数集合：｛    …｝； 负实数集合：｛    …｝． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 4．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型01 分数化成小数 【典例1】．将下列分数化成小数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．把下列分数分成化成小数，不能化为有限小数的，保留三位小数． ，，，． 题型02 无限循环小数化成分数 【典例1】．将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 题型03 判断无理数 【典例1】．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．实数，，，0，，，（相邻每个2之间依次多一个1），其中无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 实数的分类 【典例1】．把下列各数进行分类：0，，3.14，，，，，， 负实数： 正有理数： 无理数： 【变式1】．把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【变式2】．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 题型05 实数的概念综合辨析 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【变式2】．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【变式3】．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 【变式4】．有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 用计算器开方 【典例1】．用计算器求下列各式的值（结果精确到）： （1）；     （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1】．用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： （1）；（2）；（3）；（4）． 题型07 无理数的估算 【典例1】．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式1】．写一个大于2小于3的无理数 ． 【变式2】．若为正整数，且满足，则 ． 题型08 无理数的整数部分、小数部分及其应用 【典例1】．的小数部分为 ． 【变式1】．的整数部分为（   ） A．2 B．6 C．3 D．5 【变式2】．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【变式3】．已知正数两个不同的平方根分别为和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型09 实数表示的意义辨析 【典例1】．下列说法中，错误的是（   ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【变式1】．关于“”，下列说法不正确的是（   ） A．它可以表示面积为21的正方形的边长 B．它表示21的算术平方根 C．它的小数部分是 D．方程的解是 题型10 正方形边长与无理数 【典例1】．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图①中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图②． (1)大正方形纸片的边长为___________； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【变式1】．如图①，正方形网格中每个小正方形的边长都为，正方形的顶点都在格点上． (1)正方形的面积是多少？边长是多少？ (2)正方形的边长是有理数还是无理数？它在哪两个整数之间？ (3)在图②中画一个与图①面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并写出它的边长． 【变式2】．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 题型11 反证法证明无理数 【典例1】．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【变式1】．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互素的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 一、单选题 1．在给出的一组数中无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列分数中，不能化为有限小数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的有(    ) (1)所有无限小数都是无理数;(2)所有无理数都是无限小数;(3)有理数都是有限小数;(4)不是有限小数的不是有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列几种说法正确的有（ ） ①无理数都是无限小数；②带根号的数是无理数；③实数分为正实数和负实数；④无理数包括正无理数、0和负无理数． A．①②③④ B．②③ C．①④ D．① 5．估算的值（   ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 6．下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 二、填空题 7．将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 8．已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 9．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 三、解答题 10．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，…，，． 有理数集合：｛    …｝； 无理数集合：｛    …｝； 正实数集合：｛    …｝； 负实数集合：｛    …｝；． 11．把下列分数化为小数： （1）；    （2）；    （3）；    （4）． 12．用计算器求下列各式的值（精确到0.01） （1）；  （2）； （3）；  （4）；  （5）. 13．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 14．是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 15．（1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 16．阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 【解析】解：设， 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数）， 所以，解得． 所以，．这样我们就将无限循环小数化为了分数． （1）试着用上述方法将无限循环小数分别化为分数； （2）将无限循环小数化为分数． 17．探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 18．根据表格回答问题： 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16 (1)11.56的平方根是多少？ (2)___________． (3)估计在哪两个整数之间． 19．定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数.如不能表示为两个互素的整数的商，所以几个号无理数.可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且b≠0，则2=，所以a²=2b². 因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数.设a=2n（n是整数）， 所以b²=2n²，所以b也是偶数，与a与b是互素的整数矛盾， 所以是无理数. 仔细阅读上文，然后请证明：是无理数． 20．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.3 有理数的小数形式 无理数 教学目标 1. 进一步深化理解有理数的概念； 2. 掌握无限循环小数化成分数的方法； 3. 认识无理数、无理数的估算；实数的概念与分类； 4. 理解被开方数越大，它的算术平方根也越大；用计算器开方。 教学重难点 1.重点 （1）掌握设参（未知数）解决一些抽象数学的问题，达到转化的目的； （2）继七年级下册用反证法证明几何问题后，本册用它证明代数问题； （3）数的概念范围进一步扩大，目前已学习到实数；体验教材这个探索过程，感受其中所用的数学工具及思想的多元化。 2.难点 （1）概念辨析；限循环小数化成分数； （2）反证法； （3）抽象问题具体化。 知识点1 有理数的小数形式 1.有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 ①引入：我们知道，有理数是能够写成分数分数（a，b是整数，a≠0）的数，请把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现? 我们发现，这些有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，即 在小学，我们曾经学习过分数与小数的互化，知道分数化成小数即用分子除以分母. 当分子除以分母能够除尽时，分数可以化成有限小数，例如， ②当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数： 当分子除以分母除不尽时，分数为什么一定能化成无限循环小数呢?我们以为例加以说明，下面是化成小数的过程： 由于除法中余数一定小于除数，因此在除数确定的情况下，出现的余数只有有限种可能，如除数是22时，出现的余数只有0、1、2、 … 、21,共22种可能.如果永远除不尽，那么相同的余数一定会重复出现，如3÷22,相同的余数8和14依次重复出现.一旦出现相同的余数，补0后再继续相除，商也一定会出现循环，如 ,在相同的余数8和14依次重复出现后，商相应出现循环节36.所以当分子除以分母除不尽时，分数一定能化成无限循环小数. ③任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 可以把整数看成小数点后是0的小数，于是任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 2.无限循环小数化成分数 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.在小学，我们已经学习了如何把有限小数化成分数， 如那么, 无限循环小数如何化成分数呢? ①“单循环”（即循环节为1位数） ②“双循环”（即循环节为2位数） ③“三循环”（即循环节为3位数） 至此我们知道：有理数必为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数必为有理数. 【即学即练】 1.判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)有限小数一定是有理数； (2)有理数一定是有限小数； (3)无限循环小数一定是有理数； (4)有理数一定是无限循环小数. 【答案】 （1）正确，理由：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式； （2）不正确，理由：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，所以有理数还可能是无限循环小数； （3）正确，理由：无限循环小数一定能化成分数，分数属于有理数。 （4）不正确，理由：有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，所以有理数还可能是有限小数。 2．将无限循环小数2．333…化成分数是 ． 【答案】 3．将无限循环小数0.1333…化成分数是 ． 【答案】 4．用如下方法可以将0.化为分数形式. 步骤①设x＝0. 步骤②10x＝10×0. 步骤③10x＝1.，则10x＝1+0. 步骤④10x＝1+x，解得：x＝. (1)用以上方法将0.化为分数形式； (2)0.0化为分数形式是　　.（直接写出结果） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等式的基本性质，设x=，仿照材料中的探求过程，即可得出答案； （2）设x=，进而得出10x=，由（1）中得到的x＝代入得10x=，进而求出x． 【详解】（1）设x＝， 10x＝＝， 即10x＝3+x， 解得：x＝， 即：； （2）设x=， 则10x=10×= ∴10x=， 又在（1）有， ∴10x=， 解得：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用以及等式的基本性质，根据题意得出等量关系是解题关键. 知识点2 无理数 1.引入 如图19-2-1,把边长为1的两个正方形分别沿着它们的一条对角线剪开，得到四个形状、大小都相同的等腰直角三角形，它们的面积都是再把这四个等腰直角三角形拼成一个四边形ABCD, 那么我们就得到 一个面积为2的正方形. 图19-2-1中，正方形ABCD的边长是多少? 设正方形ABCD的边长为x, 则 x²=2. 由算术平方根的意义，得 所以正方形ABCD的边长是 正方形ABCD的边长是一条线段的长，即表示一个数，那么是有理数吗? 2.反证法证明不是有理数 事实上，不是有理数.可以用反证法证明如下： 假设是一个有理数，那么存在互素的正整数a、b, 使两边平方，得于是a²=2b² . 于是a²是2的倍数，所以a 也是2的倍数 . 设 a=2m, 其中m是正整数，就有(2m)²=2b², 即 b²=2m² . 于是b²是2的倍数，所以b也是2的倍数. 由此可见，a与b不是互素的，与假设的a与b互素相矛盾. 因此不是有理数. 3.无理数 这样，我们就得到了不是有理数，也就是说，既不是有限小数，也不是无限循环小数，那么一定是无限不循环小数.实际上，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数. 无限不循环小数又叫作无理数.例如，、、2等都是无理数，π也是无理数. 【即学即练】 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B．2 C．0.2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的概念：无限不循环小数是无理数；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：是有理数，是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 2．实数，，，，（相连两个3之间依次多一个0），其中无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的立方根，熟练掌握无理数就是无限不循环小数是解题的关键． 【详解】解：，，，是有理数， ，（相连两个3之间依次多一个0）是无理数，共有2个． 故选：B 3．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素（没有相同的因数）的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则，即_________①． ∵是整数且不为， ∴是的倍数． 设（是整数，且）， 则． ∴_________②． ∴也是的倍数，与，是互素的整数矛盾． ∴是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； ①__________________；②__________________ (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，与是互素的两个整数，且， 则 即． 因为是整数且不为， 所以是不为的偶数． 设（是整数，且）， 则． 所以． 所以也是偶数，与，是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 故答案为：，． （2）设，与是互素的两个整数，且，则， 所以， ，是整数且不为， 为的倍数． 设（是整数）， ， 也是的倍数，与与是互素的整数矛盾， 是无理数． 知识点3 无理数的估算 究竞有多大? 虽然是无理数，但我们可以用有理数估计它的大致范围. 我们知道，边长越大的正方形的面积越大；反之，面积越大的正方形的边长也越大. 所以被开方数越大，对应的算术平方根也越大，即如果a>b≥0, 那么> . 利用这个结论，我们可以估计的大小： 如果表19-1继续下去，可以得到的更精确的近似值.我们可以用计算器求出一个数的平方根或其近似值. 记忆常用数的近似值：≈1.414 ≈1.732 ≈2.236 注意：用计算器求一个数的平方根时，按键顺序与计算器的型号有关，具体操作可以参考计算器的使用说明书. 【即学即练】 1．请你写出一个比小且比大的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了无理数的定义，实数大小的比较，根据可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小且比大的无理数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 2．为的整数部分，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的估算，掌握实数的估算方法是解题的关键；本题根据实数估算的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：∵，即，为的整数部分， ∴ 故答案为：． 3．某一正方体的体积是，则它的棱长的整数部分是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据某一正方体的体积是，求出，然后由无理数的估算方法即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵某一正方体的体积是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴它的棱长的整数部分是， 故答案为：． 4．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 10 / 【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据平方运算估算出的值，即可解答． 【详解】解：， ，则， 的整数部分为：10， 小数部分为， 故答案为：，． 5. 关于“”，下面说法不正确的是（ ） A．它是10的平方根 B．它是一个无理数 C．若a<<a+1，则整数a为3 D．它表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【解析】解：A、10的平方根是±，所以是10的一个平方根，或是10的算术平方根；符合题意； B、是一个无理数，题干的说法正确，不符合题意； C、∵3＜＜3+1，a＜＜a+1，∴整数a为3，题干的说法正确，不符合题意； D、表示面积为10的正方形的边长，题干的说法正确，不符合题意． 故选：A． 知识点4 实数及其分类 1.实数：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类 ①有理数为有限小数或无限循环小数，无理数为无限不循环小数.不是有理数的实数就是无理数. 实数可以这样分类： ②实数也可以分为正实数、0、负实数. 【即学即练】 1．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0.31，④（相邻两个1之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧0． 整数：; 非负实数：; 无理数：; 【答案】①，⑧；①，③，④，⑤，⑦，⑧；②，④，⑤ 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根，先计算算术平方根，再根据实数的分类解答即可． 【详解】解：①， 整数：； 非负实数：； 无理数： ． 2．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，0，，，． 有理数集合：｛    …｝； 无理数集合：｛    …｝； 负实数集合：｛    …｝． 【答案】有理数集合：｛，，0，，…｝； 无理数集合：｛，，，…｝； 负实数集合：｛，，，…｝． 【分析】本题考查实数分类，实数分为：有理数和无理数，其中整数和分数统称为有理数，无理数是无限不循环小数，根据定义逐项检验即可得到答案，熟记实数分类是解决问题的关键． 【详解】解：，， 有理数集合：｛，，0，，…｝；无理数集合：｛，，，…｝；负实数集合：｛，，，…｝． 故答案为：有理数集合：｛，，0，，…｝；无理数集合：｛，，，…｝；负实数集合：｛，，，…｝． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．根据实数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意； B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意； C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意； D、无理数不包括，故该选项不符合题意； 故选： A． 4．下列命题：①无理数都是实数；②实数都是无理数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数；⑤不带根号的数都是有理数，其中错误的命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据无理数的定义，即无理数是无限不循环小数，结合各选项说法进行判断即可． 【详解】解：①无理数都是实数，正确；②错误，实数包括无理数和有理数；③错误，无限循环小数是有理数；④错误，带根号的数不一定是无理数，如；⑤错误，不带根号的数不一定是有理数，如π等无限不循环小数，错误； 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 题型01 分数化成小数 【典例1】．将下列分数化成小数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分数化小数，有理数的除法的知识，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据分数化小数依次进行有理数的除法计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为． （2）解：由题意得， 故答案为． （3）解：由题意得， 故答案为． （4）解：由题意得， 故答案为． 【变式1】．把下列分数分成化成小数，不能化为有限小数的，保留三位小数． ，，，． 【答案】；；； 【分析】分数化小数时，用分子除以分母．把不能化成有限小数的小数点后面第四位进行“四舍五入”． 【详解】解：能化为有限小数，； ，不能化为有限小数，； ，能化为有限小数，； 不能化为有限小数，． 【点睛】本题考查了分数化小数的方法，掌握方法，灵活运用，正确转化即可． 题型02 无限循环小数化成分数 【典例1】．将下列循环小数化为分数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法化为分数即可； （3）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可； （4）根据混循环小数化分数的方法化为分数即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】本题考查循环小数化为分数的方法．纯循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，以循环节做分子；混循环小数的循环节有几位，就在分母上写几个9，循环节之前有几位，就在后面再补几个0做分母，用从小数点后面第一位开始到第一个循环位结束时的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数做分子． 【变式1】．将下列小数化为分数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了小数化分数，熟知小数化分数的方法是解题的关键． （1）设，则，可得，解方程即可得到答案； （2）设，则，可得，解方程即可得到答案； （3）设，则，，可得，解方程即可得到答案； （4）设设，则，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03 判断无理数 【典例1】．下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义和算术平方根，熟知无限不循环小数是无理数是解题关键； 根据无理数是无限不循环小数逐项判断即可得解. 【详解】解：A、，3是有理数，故本选项不符合题意； B、是无理数，故本选项符合题意； C、是有理数，故本选项不符合题意； D、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：B. 【变式1】．实数，，，0，，，（相邻每个2之间依次多一个1），其中无理数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键．根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可． 【详解】解：是有理数；是有理数；是无理数；0是有理数；是有理数；是无理数；（相邻每个2之间依次多一个1）是无理数，总共有3个无理数． 故选：A． 【变式2】．在下列各数0、、、、（相邻两个1之间的0的个数依次加1）、、中，无理数的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：0，是整数，不是无理数； ，，，是小数或分数，不是无理数； ，（每两个1之间依次增加一个0），是无理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 题型04 实数的分类 【典例1】．把下列各数进行分类：0，，3.14，，，，，， 负实数： 正有理数： 无理数： 【答案】，；3.14，，； 【分析】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握负实数，正有理数和无理数的定义．根据负实数，正有理数和无理数的定义，对各个数进行判断即可． 【详解】解：负实数：，； 正有理数：3.14，，； 无理数：； 故答案为：，；3.14，，；． 【变式1】．把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 【变式2】．把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 【答案】②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：，， 整数   { ② ， ③， ⑥，．．．}； 分数   { ⑦，⑧，．．．}； 无理数 { ①， ④ ， ⑤ ， ．．．} 故答案为：②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤． 题型05 实数的概念综合辨析 【典例1】．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数 C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数 【答案】A 【分析】无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可． 【详解】、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确； 、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误； 、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误； 、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误； 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，无理数，实数的定义，解题的关键在于正确区分各名词的含义． 【变式2】．下列说法中，错误的是（    ） A．实数可分为有理数和无理数 B．无理数可分为正无理数和负无理数； C．无理数都是无限小数 D．无限小数都是无理数． 【答案】D 【分析】有理数与无理数统称实数，无限不循环小数是无理数，根据概念逐一分析即可． 【详解】解：实数可分为有理数和无理数，原说法正确，故A不符合题意； 无理数可分为正无理数和负无理数，原说法正确，故B不符合题意； 无理数都是无限小数，原说法正确，故C不符合题意； 无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是实数的分类，无理数的含义，熟记概念是解本题的关键． 【变式3】．下列说法正确的是（   ） A．实数分为正实数和负实数 B．实数分为整数和分数 C．实数分为有理数和无理数 D．带根号的数都是无理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数、实数、有理数的分类，无理数的定义．根据有理数和无理数以及实数的分类，无理数的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、实数可分为正实数和负实数以及0，原说法错误，本选项不符合题意； B、实数可分为正实数，零和负实数，原说法错误，本选项不符合题意； C、实数可分为有理数和无理数，说法正确，符合题意； D、带根号的数不一定是无理数，如是有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式4】．有下列说法：①带根号的数是无理数；②无理数是开方开不尽的数；③无理数是无限小数；④所有实数都是分数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数的分类与概念，有理数与无理数的概念逐一分析即可． 【详解】解：带根号的数不一定是无理数；故①不符合题意； 无理数是无限不循环的小数，故②不符合题意； 无理数是无限小数，故③符合题意； 所有实数不都是分数，无理数就不是分数，故④不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是无理数的含义，实数的含义，熟记概念是解本题的关键． 题型06 用计算器开方 【典例1】．用计算器求下列各式的值（结果精确到）： （1）；     （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】利用计算器进行求解即可得到答案 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【点睛】本题主要考查了用计算器计算算术平方根和立方根，解题的关键在于能够熟练使用计算器进行计算． 【变式1】．用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）0.755；（3）235.000；（4）324.000 【分析】根据用计算器求一个数的平方根或立方根，先输入被开方数，再按开方键，结果用四舍五入法精确到0.001，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了利用计算器求一个数的平方根和立方根，熟练掌握计算器各按键的功能，并注意输入顺序是解题的关键． 题型07 无理数的估算 【典例1】．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法估算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵，即， ∴， 故选C． 【变式1】．写一个大于2小于3的无理数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，根据题意确定出符合题意的数即可． 【详解】解：（答案不唯一，如，，均可）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】．若为正整数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴， 故答案为：． 题型08 无理数的整数部分、小数部分及其应用 【典例1】．的小数部分为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间，设的整数部分为，小数部分为，根据，即可求得和，即可． 【详解】解：设的整数部分为，小数部分为， ∵， ∴， ， 故答案为：． 【变式1】0．的整数部分为（   ） A．2 B．6 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的整数部分，先根据，得，则的整数部分为3，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即的整数部分为3， 故选：C． 【变式2】．的整数部分是 ，小数部分是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键． 先利用算术平方根确定的范围，再确定的整数和小数部分． 【详解】解：∵， ∴． ∴，即． ∴的整数部分是2，小数部分是． 故答案为：． 【变式3】．已知正数两个不同的平方根分别为和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根． （1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即可； （2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算的大小，求出其整数部分c，最后把a，b，c代入进行计算，求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， 解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是． 题型09 实数表示的意义辨析 【典例1】．下列说法中，错误的是（   ） A．的平方根是 B．是无理数 C．是有理数 D．是分数 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的计算，无理数的概念，掌握平方根的计算是关键． 根据平方根的计算方法，以及无理数的概念判定即可求解． 【详解】解：A、，的平方根是， ∴的平方根是，正确，不符合题意； B、是无理数，正确，不符合题意； C、是有理数，正确，不符合题意； D、是无理数，故原选项错误，符合题意； 故选：D ． 【变式1】．关于“”，下列说法不正确的是（   ） A．它可以表示面积为21的正方形的边长 B．它表示21的算术平方根 C．它的小数部分是 D．方程的解是 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式，解题的关键是掌握用夹逼法估算无理数的方法，二次根式的加法法则．根据正方形的面积公式，即可判断A；根据的意义，即可判断B；根据无理数的估算方法，即可判断C；根据平方根定义，即可判断D． 【详解】解：A、设面积为21的正方形边长为，则， ∴，故A正确，不符合题意； B、表示21的算术平方根，故B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴的小数部分是，故C正确，不符合题意； D、方程的解是，故D不正确，符合题意． 故选：D． 题型10 正方形边长与无理数 【典例1】．如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿图①中的虚线裁剪后拼成一个大的正方形纸片，如图②． (1)大正方形纸片的边长为___________； (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)不能裁出符合条件的长方形．理由见解析 【分析】本题考查算术平方根，正方形面积公式，关键是由题意求出长方形纸片的长和宽． （1）由正方形的面积公式即可求解； （2）设长方形纸片的长和宽分别是，，得到，求出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为， 大正方形纸片的边长为， 故答案为：10； （2）解：沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下： 长方形纸片的长是宽的2倍， 设长方形纸片的长和宽分别是，， ， ， ， ， 长方形纸片的长是， ， 沿此大正方形纸片边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片． 【变式1】．如图①，正方形网格中每个小正方形的边长都为，正方形的顶点都在格点上． (1)正方形的面积是多少？边长是多少？ (2)正方形的边长是有理数还是无理数？它在哪两个整数之间？ (3)在图②中画一个与图①面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并写出它的边长． 【答案】(1)面积是17，边长是． (2)是无理数，4和5之间 (3)见解析，（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的定义、无理数的估算及算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． （1）用大正方形面积减去四个三角形面积可得正方形的面积，根据正方形面积公式，结合算术平方根的定义可得正方形的边长； （2）根据无理数的定义，结合（1）中结论可得边长为无理数，利用“夹逼法”估算的取值范围即可；（3）利用网格画出正方形，同（1）的方法求出边长即可． 【详解】（1）解：如图，设大正方形为， ∴． ∵， ∴正方形的面积是17，边长是． （2）∵是无理数， ∴正方形的边长是无理数， ∵， ∴， ∴在和之间． （3）如图所示正方形即为所求， ∵小正方形的面积=， ∴小正方形的边长为． 【变式2】．【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点（小正方形的顶点）组成的正方形成为格点正方形．图①是由四个边长为的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为，则这个格点正方形的边长为． 【问题解决】 (1)图②是由个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的面积为______，边______； (2)在由个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1)； (2)作图见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，算术平方根的应用，等积变换， （1）利用割补法求出正方形的面积，再利用开平方运算求解，即可解题； （2）根据题意，并结合（1）方法分析，再画出图形即可； 利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边：， 故答案为：；； （2）如图，取格点、、、，再顺次连接， ∵正方形的面积为：， ∴格点正方形的边长为， 则正方形即为所作． 题型11 反证法证明无理数 【典例1】．【阅读理解】 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【答案】(1)①表示的代数式；②表示的代数式 (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互素的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 【变式1】．【阅读理解】公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机． 定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互素的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，与是互素的两个整数，且， 则，即 ① ． 因为是整数且不为0， 所以是不为0的偶数． 设（是整数，且），则． 所以 ② ． 所以也是偶数，与是互素的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互素的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互素的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互素的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为6的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴， ∴b也是6的倍数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 一、单选题 1．在给出的一组数中无理数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②有规律的无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，找出无理数即可． 【详解】解：在中无理数有共2个， 故选：B． 2．下列分数中，不能化为有限小数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数． 逐项分析后即可解答． 【详解】解：A．的分母中只含有质因数2和5，所以能化成有限小数，故本选项不符合题意； B．的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数，故本选项不符合题意； C．的分母中含有质因数7，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意； D．的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．下列说法正确的有(    ) (1)所有无限小数都是无理数;(2)所有无理数都是无限小数;(3)有理数都是有限小数;(4)不是有限小数的不是有理数 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据无理数，有理数的定义进行判断． 【详解】解：（1）所有无限小数都是无理数，错误，例如，是无限循环小数，是有理数； （2）所有无限不循环小数都是无理数，所以无理数都是无限小数，正确； （3）有理数都是有限小数，错误，例如，是无限循环小数，是有理数； （4）不是有限小数的不是有理数，错误，例如，是无限循环小数，是有理数． 综上所述，正确的结论有1个． 故选A． 【点睛】本题考查了实数．重点应该掌握无理数的定义：无限不循环小数是无理数． 4．下列几种说法正确的有（ ） ①无理数都是无限小数；②带根号的数是无理数；③实数分为正实数和负实数；④无理数包括正无理数、0和负无理数． A．①②③④ B．②③ C．①④ D．① 【答案】D 【分析】根据实数的概念即可判断每一项的正误. 【详解】解：①无理数都是无限小数，根据无理数指的是无限不循环小数，可知①正确； ②带根号的并且开不尽方的数才是无理数，例如虽然带了根号，但可以开的尽，就不是无理数，所以②错误； ③实数分为正实数、0和负实数，所以③错误； ④无理数包括正无理数和负无理数，0是有理数，所以④错误； 故答案选D. 【点睛】本题考查实数的概念，熟练掌握实数的相关概念是解题关键，注意易错点是0是有理数而不是无理数，带根号开不尽方的才是无理数，无理数都是无限小数，但不能说无限小数都是无理数. 5．估算的值（   ） A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握无理数的估算是解题的关键．先估计的整数部分，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：B 6．下列关于的描述正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．27的平方根 C．体积为27的正方体的棱长 D．面积为27的正方形的边长 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据算术平方根的定义和勾股定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A. 它是一个无理数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 27的算术平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. 不能表示为体积为27的正方体的棱长，故该选项不正确，不符合题意；     D. 面积为27的正方形的边长，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题 7．将下列各数进行分类（填序号即可）： ①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0”）． 正整数：______；分数：______；无理数：______． 【答案】①⑤；④⑥；②⑦ 【分析】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可． 【详解】解：， 正整数有①⑤； 分数有：④⑥； 无理数有：②⑦； 故答案为：①⑤；④⑥；②⑦． 8．已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键． 先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的小数部分是． 故答案为：9，． 9．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求实数的近似值，掌握无理数的估算方法并能熟练运算是解题关键． 的整数部分为3，的整数部分则为4． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分为3，的整数部分则为4． 表示实数的整数部分， ∴． 故答案为：4． 三、解答题 10．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中． ，，，，，0，…，，． 有理数集合：｛    …｝； 无理数集合：｛    …｝； 正实数集合：｛    …｝； 负实数集合：｛    …｝；． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，掌握以上知识是解此题的关键； 根据实数的定义及其分类解答，即可求解； 【详解】解：有理数：有理数是指能够表示为两个整数之比的数，其中分母不能为，这两个整数可以是任意整数，包括正整数、‌负整数和零（但分母不能为零），有理数包括了所有的整数、有限小数和无限循环小数； 无理数：无限不循环小数又叫无理数，注意：①无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，②无限循环小数是有理数，可以化成分数，无限不循环小数是无理数； 正实数：正实数是大于的所有实数，不包括‌，正实数包括正整数和正分数； 负实数：负实数是指小于零的实数，包括负有理数和负无理数‌； 根据有理数、无理数、正实数和负实数定义可得： 有理数集合：， 无理数集合：， 正实数集合：， 负实数集合： 11．把下列分数化为小数： （1）；    （2）；    （3）；    （4）． 【答案】（1），，；（2），，；（3），，（4），， 【分析】分数化小数的方法是用分子除以分母． 【详解】解：（1），，． （2），，． （3），，． （4），，． 【点睛】本题考查了分数化小数，属于基础知识，要掌握．不能化成有限小数的要根据要求保留小数位数，没要求的要用循环小数表示． 12．用计算器求下列各式的值（精确到0.01） （1）；  （2）； （3）；  （4）；  （5）. 【答案】（1）1.90；（2）；（3）；（4）6.90；（5） 【分析】（1）先按“”，再按被开方数，然后按“=”即可； （2）（5）  先按“-”，再按“”，再按被开方数，然后按“=”即可； （3）（4）先按“”，再按被开方数，然后按“=”即可； 【详解】（1）. （2）. （3）． （4）． （5）. 【点睛】此题主要考查了计算器的使用方法，以及四舍五入法求近似值问题的应用，要熟练掌握．​解题的关键是要会使用计算器上的根号按键． 13．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的估算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平方和立方根的定义先求出，然后进行无理数的估算求出； （2）先把代入，求出其值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴整数部分； （2）解：∵，， ∴， ∴其平方根为：． 14．是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是____________，小数部分是____________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键： （1）利用夹逼法进行估算即可； （2）利用夹逼法进行估算求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分为； 故答案为：4，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 15．（1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】（1），5；（2）见解析；（3）3 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，估算无理数的大小，算术平方根的应用： （1）阴影部分的面积等于大正方形面积减去四周小三角形的面积，再根据算术平方根求出边长即可； （2）参照图（1）即可作图； （3）估算的大小，得出和y的值，进而即可求解． 【详解】（1）整个方格的面积为， 四周四个直角三角形的面积之和为：（每个直角三角形的两条直角边分别为1和2）， 那么中间阴影部分正方形的面积就等于整个方格的面积减去四周四个直角三角形的面积，即，所以阴影部分正方形的面积为5，其边长为5算术平方根：， 故答案为：，5； （2）如图： （3）解：， ， ， ，， ∴9的算术平方根为3． 16．阅读材料：我们已经学会了把有限小数化成分数，现在让我们来探究如何将化为分数： 【解析】解：设， 那么（利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数）， 所以，解得． 所以，．这样我们就将无限循环小数化为了分数． （1）试着用上述方法将无限循环小数分别化为分数； （2）将无限循环小数化为分数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据给出的例子，设这个有限小数为x，表示出它的10倍数，然后用10倍数减去这个循环小数，通过解方程解决问题； （2）将无限循环小数化为分数，根据上面的方法，先把化成分数，然后加上整数部分即可． 【详解】解：（1）设， 则，，． （2）由，得． 【点睛】此题考查了把无限循环小数化成分数的方法，关键在于利用倍数关系构造了另一个有同样循环节的数，进而解决问题． 17．探究问题 （1）阅读操作，在小学阶段我们学过，任何有限位小数都可以转化成分数的形式． 请你将下列各数化成分数形式： ① ② （2）发现问题，我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是 ． （3）提出问题，对于 ？ （4）分析问题：例如：如何将化成分数的形式？ 分析：假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，所以 ． 说明可以将化成分数的形式． （5）解决问题．请你类比上面的做法，将下列的无限循环小数化成整数或分数的形式： ① ，② ，③ ． （6）归纳结论： ． 【答案】（1），；（2）无限循环小数；（3）无限循环小数如何将其化成分数的形式；（4）；（5）①1；②；③；（6）整数部分为0的无限循环小数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是找出其中的规律，即通过方程形式，把无限小数化成整数形式． （1）根据进行计算即可， （2）根据（1）可得出还有无限循环小数， （3）根据（1）（2）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， （4）根据例题可直接得出， （5）根据（4）的计算方法，设出未知数，进行计算即可， （6）根据（5）的计算过程即可得出归纳结论． 【详解】解：（1）①②， 故答案为：，； （2）我们小学阶段的小数，除有限位小数外，还有无限位的小数，那就是无限循环小数， 故答案为：无限循环小数； （3）提出问题，对于无限循环小数如何将其化成分数的形式， 故答案为：无限循环小数如何将其化成分数的形式； （4）， 故答案为：； （5）①假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ②假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， ③假设，由等式的基本性质得，， 即，也就是， 解这个关于的一元一次方程，得，则， 故答案为：1，，； （6）归纳结论：整数部分为0的无限循环小数， 故答案为：整数部分为0的无限循环小数． 18．根据表格回答问题： 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 9 9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21 16 (1)11.56的平方根是多少？ (2)___________． (3)估计在哪两个整数之间． 【答案】(1) (2)38 (3)33和34之间 【分析】本题主要考查了平方根的定义，无理数大小的估计，熟练掌握平方根的定义，观察表格中数据的规律，是解题的关键． （1）根据表格中的数据，从而得出，即可得出答案； （2）根据表格中的数据，从而得出，即可得出答案； （3）根据表格中的数据可以推出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知：，则， ∴11.56的平方根为． （2）解：根据表格中的数据， ∴， ∴． 故答案为：38． （3）解：根据表中数据可知：，， ∴，， ∵， ∴， 即在33与34之间． 19．定义：可以表示为两个互素整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数.如不能表示为两个互素的整数的商，所以几个号无理数.可以这样证明： 设，a与b是互素的两个整数，且b≠0，则2=，所以a²=2b². 因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数.设a=2n（n是整数）， 所以b²=2n²，所以b也是偶数，与a与b是互素的整数矛盾， 所以是无理数. 仔细阅读上文，然后请证明：是无理数． 【答案】证明见解析. 【分析】先设，由已知条件a与b是互素的两个整数，且b≠0，则5=可得：a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互素的正整数矛盾，从而证明了答案． 【详解】设，a与b是互素的两个整数，且b≠0，则5=， 所以a²=5b². ∵a，b是整数且不为0， ∴a为5的倍数．设a=5n（n是整数）， ∴b²=5n²， ∴b也是5的位数，与a与b是互素的整数矛盾， ∴是无理数． 【点睛】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． 20．小李同学探索的近似值的过程如下： ∵面积为150的正方形边长为，且， ∴设，其中， 画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积 为 又∵， ∴， 当时，可忽略，得：，解得：， ∴． (1)的整数部分为________； (2)仿照小李的探索过程，求的近似值．（画出示意图，标注数据，并写出求解过程） 【答案】(1)13 (2)示意图见解析， 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿造示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$