2025年福建省泉州市鲤城区科技中学中考数学最后一卷

2025年福建省泉州市鲤城区科技中学中考数学最后一卷 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣4 D．|﹣4| 2．（4分）近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）2025年春节期间，南京夫子庙——秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（　　） A．3.429×106 B．3.429×103 C．3429×103 D．3429×106 4．（4分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3）2＝4a6 D．a6÷a3＝a2 6．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　） A．2km B．3km C．km D．4km 7．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x 8．（4分）一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 9．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1 10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 12．（4分）比较大小：　 　 ．（填“＞”“＜”或“＝”号） 13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD，则点D到AC的距离是 　 　 ． 14．（4分）某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按60%、40%的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是 　 　 分． 15．（4分）某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　 °． 16．（4分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　 　 分米（结果用含根号的式子表示）． 三.解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：． 18．（8分）解方程组：． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率． （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　 　 ． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 22．（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB，CG⊥AB于点G．点D在△ABC外，连接CD，BD． （1）尺规作图：在BC的右侧求作一点E，连接AE，CE，使得△ACE≌△BCD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，BD与CG相交于点F，求证：AE，BD，CG相交于一点． 23．（10分）已知实数a，b，c满足a+b+c＜0，4a+c＝2b． （1）求证：b＜a； （2）若b2﹣4ac＝1，且c＞0，求b﹣4a的值． 24．（12分）如何设置挡板？ 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ 　 　 ． 【数学思考】 （2）如图③，若，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值． 【问题解决】 （3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值； （Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值． 25．（14分）【问题背景】 已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　 　 °； 【问题探究】 （2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F． ①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立： ②如图3，当ACr，时，请补全图形，并求tanα及的值． 2025年福建省泉州市鲤城区科技中学中考数学最后一卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C． C A． D C D B D C C 一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（4分）下列四个数中，最小的是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣4 D．|﹣4| 【答案】C． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵|﹣4|＝4， ∴﹣4＜﹣3＜0＜4， ∴﹣4＜﹣3＜0＜|﹣4|， ∴最小的数是：﹣4． 故选：C． 2．（4分）近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3．（4分）2025年春节期间，南京夫子庙——秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（　　） A．3.429×106 B．3.429×103 C．3429×103 D．3429×106 【答案】A． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：3429000＝3.429×106． 故选：A． 4．（4分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形， 又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线， 故选：D． 5．（4分）下列运算正确的是（　　） A．2a﹣a＝2 B．（a﹣1）2＝a2﹣1 C．（2a3）2＝4a6 D．a6÷a3＝a2 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题． 【解答】解：A．根据合并同类项法则，2a﹣a＝a，那么A错误，故A不符合题意． B．根据完全平方公式，（a﹣1）2＝a2+1﹣2a，那么B错误，故B不符合题意． C．根据积的乘方与幂的乘方，（2a3）2＝4a6，那么C正确，故C符合题意． D．根据同底数幂的除法，a6÷a3＝a3，那么D错误，故D不符合题意． 故选：C． 6．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（　　） A．2km B．3km C．km D．4km 【答案】D 【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km， ∴∠B＝30°， ∴AB＝2AC＝4（km）． 故选：D． 7．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（　　） A． B． C．6x﹣12＝4x D．4（x﹣12）＝6x 【答案】B 【分析】根据孩童人数不变列方程即可． 【解答】解：设梨有x个，则人数可表示为或， 由题意可列方程． 故选：B． 8．（4分）一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可． 【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A不符合题意； B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B不符合题意； C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与不符合题意； D、原来数据的方差S]＝2， 添加数字2后的方差S]，故方差发生了变化，故D符合题意． 故选：D． 9．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞﹣1 C．x＞0 D．x＞1 【答案】C 【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣1）+k＞0，然后解关于x的不等式即可． 【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得﹣k+b＝0，解b＝k， 则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣1）+k＞0， 而k＞0， 所以x﹣1+1＞0， 解得x＞0． 故选：C． 方法二： 一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移1个单位得y＝k（x﹣1）+b， ∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0）， ∴一次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的图象过点（0，0）， 由图象可知，当x＞0时，k（x﹣1）+b＞0， ∴不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是x＞0， 故选：C． 10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（　　） A．a＜﹣3 B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个 C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10 【答案】C 【分析】根据点P（2a﹣4，a+3）在第二象限得2a﹣4＜0，a+3＞0，解得﹣3＜a＜2，由此可对选项A进行判断；根据“整点”定义得a＝﹣2，﹣1，0，1，进而得当a＝﹣2时，点P（﹣8，1）；当a＝﹣1时，点P（﹣6，2）；当a＝0时，点P（﹣4，3）；当a＝1时，点P（﹣2，4），由此可对选项B进行判断；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，由此可对选项C进行判断；根据当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为6可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限， ∴，解得：﹣3＜a＜2， 故选项A不正确，不符合题意； ∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”， ∴a为整数， 又∵﹣3＜a＜2， ∴a＝﹣2，﹣1，0，1， 当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）； 当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）； 当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）； 当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）； ∴“整点”P的个数是4个， 故选项B不正确，不符合题意； 根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”， ∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个， 故选项C正确，符合题意； 当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6， 故选项D不正确，不符合题意． 故选：C． 二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　　 ． 【答案】x． 【分析】根据二次根式（a≥0）可得：3x﹣1≥0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：3x﹣1≥0， 解得：x． 故答案为：x． 12．（4分）比较大小：　＜　 ．（填“＞”“＜”或“＝”号） 【答案】＜． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【解答】解：∵， ||，||， ， ∴． 故答案为：＜． 13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD，则点D到AC的距离是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E， ∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC， ∴DE＝BD， ∴点D到AC的距离为， 故答案为． 14．（4分）某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按60%、40%的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是 　96　 分． 【答案】见试题解答内容 【分析】设思想素质测试的成绩为x分，根据加权平均数的定义及题意列不等式，再求解可得答案． 【解答】解：设思想素质测试的成绩为x分． 由题意得x•60%+81×40%≥90， 解得x≥96， ∴思想素质测试的成绩至少为9（6分）． 故答案为：96． 15．（4分）某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝　19　 °． 【答案】19． 【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝119°，∠DCF＝100°，最后利用角的和差关系求解即可． 【解答】解：过点C作CF∥AB，如图所示： ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°， 又∠BAC＝119°，∠D＝80°， ∴∠ACF＝119°，∠DCF＝100°， ∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝19°． 故答案为：19． 16．（4分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 　　 分米（结果用含根号的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC， 在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm， ∴（dm），（dm）， ∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC， ∴， ∴， ∴（dm）， 故答案为：． 三.解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）计算：． 【答案】． 【分析】先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可． 【解答】解： ． 18．（8分）解方程组：． 【答案】见试题解答内容 【分析】先有①×3+②得出10x＝5，求出x，再把x代入①求出y即可． 【解答】解：， ①×3+②得：10x＝5， 解得：x， 把x代入①得：2y＝5， 解得：y＝﹣4， 所以方程组的解是． 19．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【解答】解： • • ＝a﹣2， 当时，原式2﹣2． 20．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的． （1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率． （2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是　③④　 ．（填写所有正确结论的序号） ①最先填满的是甲盒； ②4个盒子中的小球的数量一样多； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等． 【答案】（1）； （2）③④． 【分析】（1）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率； （2）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【解答】解：（1）如图， 将第一层的两个管道分别记为P，Q，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种， 即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足小球通过管道B（记为事件N）的结果有2种，分别是（P，B），（Q，B）， ∴； （2）如图， 画树状图， ∴落在甲盒的概率为，落在乙盒的概率为，落在丙盒的概率为，落在丙盒的概率为， ①最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误； ②4个盒子中的小球的数量不一定一样多，原选项错误； ③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确； ④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确； ∴③④正确， 故答案为：③④． 21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，　①或②　 ． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形BCDE为平行四边形； （2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可． 【解答】解：（1）选择①或②，证明如下： 选择①，∵∠B＝∠AED， ∴BC∥DE， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 选择②，∵AE＝BE，AE＝CD， ∴BE＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 故答案为：①或②； （2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∴AE6， 即线段AE的长为6． 22．（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB，CG⊥AB于点G．点D在△ABC外，连接CD，BD． （1）尺规作图：在BC的右侧求作一点E，连接AE，CE，使得△ACE≌△BCD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）条件下，BD与CG相交于点F，求证：AE，BD，CG相交于一点． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）分别以A，C为圆心，BD，CD为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，CE，△ACE即为所求； （2）如图，设BD交AE于点F′．证明点F′在AB的垂直平分线上且在线段BD上可得结论． 【解答】（1）解：如图，△ACE即为所求； （2）证明：如图，设BD交AE于点F′． ∵△ACE≌△BCD， ∴∠CBD＝∠CAE， ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA， ∴∠F′AB＝∠F′BA， ∴F′A＝F′B， ∴点F′在AB的垂直平分线上且在线段BD上， ∵CA＝CB，CG⊥AB， ∴AG＝GB， ∴CG垂直平分线段AB， ∵BD与CG相交于点F， ∴点F在AB的垂直平分线上且在线段BD上， ∴点F，点F′重合， ∴AE，BD，CG相交于一点． 23．（10分）已知实数a，b，c满足a+b+c＜0，4a+c＝2b． （1）求证：b＜a； （2）若b2﹣4ac＝1，且c＞0，求b﹣4a的值． 【答案】（1）见解析；（2）1． 【分析】（1）根据题意可得c＝2b﹣4a，结合已知得倒a+b+2b﹣4a＜0，由不等式的性质可得b﹣a＜0，即可证明； （2）根据a+b+c＜0，c＞0，得到a+b＜0，结合（1）中b﹣a＜0，求出b＜0，再根据4a+c＝2b，c＞0，求出b﹣4a＞﹣b＞0，进而得到b2﹣4ac＝（b﹣4a）2，结合b2﹣4ac＝1，即可求解． 【解答】解：（1）∵4a+c＝2b，a+b+c＜0， ∴c＝2b﹣4a，a+b+2b﹣4a＜0， ∴3b﹣3a＜0，即b﹣a＜0， ∴b＜a； （2）根据题意可知，a+b＜0， ∵b﹣a＜0， ∴b﹣a+a+b＜0，即b＜0， ∵4a+c＝2b，c＞0， ∴c＝2b﹣4a＞0， ∴b﹣4a＞﹣b＞0， ∵c＝2b﹣4a， ∴b2﹣4ac＝b2﹣4a（2b﹣4a）＝b2﹣8ab+16a2＝（b﹣4a）2， ∵b2﹣4ac＝1， ∴b﹣4a＝1． 24．（12分）如何设置挡板？ 如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计） 【初步体验】 （1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ 　2　 ． 【数学思考】 （2）如图③，若，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值． 【问题解决】 （3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中： （Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值； （Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值． 【答案】（1）2； （2）； （3）（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为，把P（0，3）代入求解即可； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PG⊥OA于G，解直角三角形求出PG＝2，OG＝2，则P（﹣2，2），当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为y1，当粒子的轨迹与OP相切（有唯一交点）时，函数图象为y2刚好落在B1处，此时由于OP遮挡，粒子无法落到BB1上，类似（1）可求B（2，0），设B1（n，0），抛物线解析式为，根据待定系数法求出直线OP解析式为y＝﹣x，联立方程组，化简得x2+（1﹣n）x﹣3n＝0根据直线OP与y2的图象有唯一的交点，可得出Δ＝（1﹣n）2﹣4（﹣3n）＝0，求出解得，则，即可求解； （3）（Ⅰ）当OP与y1在点O处相切时，∠AOP 最小，此时，设直线OP解析式为y＝kx，联立方程组，化简得x2+（3+2k）x＝0，根据直线OP与y1的图象有唯一的交点，可得出Δ＝（3+2k）2＝0，求出，则，然后根据正切定义求解即可； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PH⊥OA于H，根据正切的定义可求出PH＝OH•tanα，设OH＝p，则PH＝xtanp，则P（﹣p，ptanα），类似（1）求出y2的解析式为，把P（﹣p，ptanα） 代入求出，根据勾股定理得出OP2＝p2+（ptanα）2，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则OB＝m， ∴B（0，m）， ∵OA＝3，OP＝3， ∴A（﹣3，0），P（0，3）， 设抛物线解析式为， 把P（0，3）代入，得， 解得m＝2， 故答案为：2； （2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PG⊥OA于G， ∵，∠AOP＝45°， ∴PG＝OP•sin 45°＝2，OG＝OP•cos45°＝2， ∴P（﹣2，2）， 当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为y1， 当粒子的轨迹与OP相切（有唯一交点）时，函数图象为y2，刚好落在B1处，此时由于OP遮挡，粒子无法落到BB1上， 设B（m，0）， ∵y1经过A（﹣3，0）、P（﹣2，2）、B（m，0）， ∴设抛物线解析式为， 把P（﹣2，2）代入，得， 解得m＝2， ∴B（2，0）， 设B1（n，0）， ∵y2经过A（﹣3，0）、B1（n，0）， ∴设抛物线解析式为， 设直线OP解析式为y＝kx，则﹣2k＝2，解得k＝﹣1， ∴y＝﹣x， 联立方程组， 化简得x2+（1﹣n）x﹣3n＝0， ∵直线OP与y2的图象有唯一的交点， ∴方程x2+（1﹣n）x﹣3n＝0有两个相等的实数根， 即Δ＝（1﹣n）2﹣4（﹣3n）＝0， 解得n＝25或（舍去）， ∴， ∴， 即m的值为； （3）（Ⅰ）当OP与y1在点O处相切时，∠AOP 最小， 此时， 设设直线OP解析式为y＝kx， 联立方程组， 化简得x2+（3+2k）x＝0， 直线OP与y1的图象有唯一的交点， ∴方程x2+（3+2k）x＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（3+2k）2＝0， 解得， ∴， 设， 则； （Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PH⊥OA于H， 则， ∴PH＝OH•tanα， 设OH＝p，则PH＝xtanp， ∴P（﹣p，ptanα）， ∵AO＝BO＝3， ∴B（3，0）， ∴y2的解析式为y2（x+3）（x﹣3）x2， ∵点P在y2的图象上， ∴， 又OP2＝p2+（ptanα）2， ∴， ∴当p2＝7时，OP2有最小值为8， ∴OP的最小值为． 25．（14分）【问题背景】 已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝　30　 °； 【问题探究】 （2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F． ①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立： ②如图3，当ACr，时，请补全图形，并求tanα及的值． 【答案】（1）30；（2）证明过程详见解析；（3）补全图形如图，，． 【分析】（1）根据等腰△AOE的角度和切线的性质即可求出∠CAE＝30°； （2）因为AD＝BC，且AD＝AE+ED，要证BC＝CD+ED，实际要证CD＝AE，根据我们证线段相等的思路：①同一个三角形证等腰②不同三角形证全等，可证△OAE≌△FCD即可； （3）由AC得tanα，再作OH⊥AE，证△OEH∽△CED得到，通过设边长，再利用勾股定理表示CD2建立勾股方程即可找到线段之间的关系． 【解答】（1）解：∵α＝60°，OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°， ∵AC与圆相切， ∴∠OAC＝90°， ∴∠CAE＝30°． 故答案为：30． （2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r， ∴OA＝OE＝CF＝DF＝r， ∵∠OAC＝∠ADC＝90°， ∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD， ∴∠OAE＝∠ACD， ∵OA＝OE，CF＝DF， ∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF， 在△OAE和△FCD中， ， ∴△OAE≌△FCD（AAS）， ∴AE＝CD， ∵AD＝AE+ED， ∴BC＝CD+ED． 即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立． （3）解：补全图形如图， ∵AC是切线， ∴∠OAC＝90°， ∵AC， ∴tan∠AOC， 设OA＝3m，则AC4m，OC＝5m， ∵，OE＝OA＝3m， ∴CE＝2m，OE+CE＝5m＝OC， 即点E在线段OC上， ∴tanα＝tan∠AOC． 法一：如图，过O作OH⊥AE，垂足为H，则AH＝EH， ∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED， ∴△OEH∽△CED， ∴， 设EH＝AH＝3a，则DE＝2a， ∴AD＝AH+EH+ED＝8a， 在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2＝16m2﹣64a2， 在Rt△CED中，CD2＝CE2﹣ED2＝4m2﹣4a2， ∴16m2﹣64a2＝4m2﹣4a2，解得am， ∴BC＝ADm，CDm＝AB， ∴． 法二：由OH∥CD，得∠DCE＝∠HOE＝∠CAD，证△CAD∽△ECD， 直接得到， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$