2.5.3 二次函数的综合应用-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.5.3 二次函数的综合应用 1.平移变换 问题1 在把二次函数的图像进行平移 时,有什么特点? 依据这一特点,可以怎样来 研究二次函数的图像平移? 我们不难发现:在对二次函数的图像进行 平移时,具有这样的特点———只改变函数图像 的位置,不改变其形状,因此,在研究二次函数 的图像平移问题时,只需利用二次函数图像的 顶点式研究其顶点的位置即可. 2.对称变换 问题2 在把二次函数的图像关于与坐 标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特 点? 依据这一特点,可以怎样来研究二次函数 的图像平移? 我们不难发现:在把二次函数的图像关于 与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这 样的特点———只改变函数图像的位置或开口 方向,不改变其形状,因此,在研究二次函数图 像的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数 的顶点位置和开口方向来解决问题. 【例1】 求把二次函数y=2x2-4x+1的图 像经过下列平移变换后得到的图像所对应的 函数解析式: (1)向右平移2个单位,再向下平移1个 单位. (2)向上平移3个单位,再向左平移2个 单位. 【分析】 由于平移变换只改变函数图像的位 置而不改变其形状(即不改变二次项系数),所 以只改变二次函数图像的顶点位置(即只改变 一次项和常数项).所以,首先将二次函数的解 析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后 的二次函数图像的顶点位置求出平移后函数 图像所对应的解析式. 【解】 二次函数y=2x2-4x+1的解析式可 变为y=2(x-1)2-1,其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数y=2(x-1)2-1的图像向右 平移2个单位,再向下平移1个单位后,其函数 图像的顶点坐标是(3,-2),所以,平移后所得 到的函数图像对应的函数表达式就为y=2(x -3)2-2. (2)把函数y=2(x-1)2-1的图像向上 平移3个单位,再向左平移2个单位后,其函 数图像的顶点坐标是(-1,2),故平移后所得 到的函数图像对应的函数表达式就为y=2(x +1)2+2. 【例2】 某经销商销售一种产品,这种产品的 成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本 价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于 18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销 售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函 数关系如图所示: (1)求y 与x 之间的函数关系式,并写出 自变量x 的取值范围. (2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 45 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多 少时,每 天 的 销 售 利 润 最 大? 最 大 利 润 是 多少? (3)该经销商想要每天获得150元的销售 利润,销售价应定为多少? 【分析】 (1)先判断为一次函数,再根据已知 两点的坐标用待定系数法求其解析式并写出 取值范围;(2)根据“销售利润=(销售价-成 本价)×销售量”得二次函数关系式,再根据其 图像与性质,结合自变量取值范围求解;(3)根 据(2)所求的解析式代值可求解,但要根据自 变量的取值范围进行取舍. 【解】 (1)由图像可以看出,y 与x 之间的函 数关系为一次函数, 因此,可 设 为 y=kx+b,由 已 知 两 点 (10,40)和(18,24),得 10k+b=40 18k+b=24{ ,解得 k=-2 b=60{ , ∴y=-2x+60(10<x≤18). (2)销 售 利 润 W =y(x-10)=(x- 10)(-2x+60)=-2x2+80x-600, 配方,得 W=-2(x-20)2+200. 但由于10<x≤18,在该抛物线的对称轴 左侧,W 随x 的增大而增大, 因此,当销售价x=18(元)时,有最大利 润W=192(元). (3)若 W=-2x2+80x-600=150,则 x1=15,x2=25, 但当x=25时,不满足10<x≤18,所以, 销售价应定为x=15(元). 【说明】 (1)初中阶段,求函数解析式一般采 用待定系数法.用待定系数法解题,先要明确 解析式中待定系数的个数,再从已知中得到相 应个数的独立条件(一般来讲,最直接的条件 是点的坐标),最后代入求解.当解析式中的待 定系数只有一个时,代入已知条件后会得到一 个一元一次方程;当解析式中的待定系数为两 个或两个以上时,代入独立条件后会得到方程 组.正因如此,正确求解方程(方程组)的能力 成为运用待定系数法求解析式的前提和基础. (2)用函数探究实际问题中的最值问题, 一种是列出一次函数解析式,分析自变量的取 值范围,得出最值问题的答案;另一种是建立 二次函数模型,列出二次函数关系式,整理成 顶点式,当二次项系数小于0,有最大函数值, 即为顶点的纵坐标,自变量的取值即为顶点的 横坐标,当二次项系数大于0,有最小函数值, 即为顶点的纵坐标,自变量的取值即为顶点的 横坐标,但特殊情况还要注意自变量的取值 范围. 【例3】 求把二次函数y=2x2-4x+1的图 像关于下列直线对称后所得到图像的对应函 数解析式: (1)直线x=-1. (2)直线y=1. 【解】 (1)如图1,把二次函数y=2x2-4x+ 1的图像关于直线x=-1作对称变换后,只 改变图像的顶点位置,不改变其形状. 图1 由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知, 函数y=2x2-4x+1图像顶点为A(1,-1), 所以,对称后所得到图像的顶点为 A1(-3, -1),所以,二次函数y=2x2-4x+1的图像 关于直线x=-1对称后所得到图像的函数解 析式 为y=2(x+3)2-1,即y=2x2+12x 55 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 +17. (2)如图2,把二次函数y=2x2-4x+1 的图像关于直线y=1作对称变换后,只改变 图像的顶点位置和开口方向,不改变其形状. 图2 由y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1可知, 函数y=2x2-4x+1图像的顶点 为 A(1, -1),所以,对称后所得到图像的顶点为B(1, 3),且开口向下,所以,二次函数y=2x2-4x +1图像关于直线y=1对称后所得到图像的 函数解析式为y=-2(x-1)2+3,即y= -2x2+4x+1. 1.如图1,抛物线y=- 1 4x 2+x+c与x 轴交于A,B 两点,与y 轴交于点C,其中,点 A 的坐标为(-2,0). (1)求此抛物线的解析式. (2)①若点 D 是第一象限内抛物线上的 一个动点,过点 D 作DE⊥x 轴于E,连接 CD,以OE 为直径作☉M,如图2,试求当CD 与☉M 相切时D 点的坐标; ②点F 是x 轴上的动点,在抛物线上是 否存在一点G,使以A,C,G,F 四点为顶点的 四边形是平行四边形? 若存在,求出点G 的 坐标;若不存在,请说明理由. 2.平面直角坐标系中,四边形ABCO 是 菱形,点C 的坐标为(-3,4),点A 在x 轴的 正半轴上,O 为坐标原点,连接 OB,抛物线 y=ax2+bx+c经过C,O,A 三点. (1)直接写出这条抛物线的解析式. (2)如图1,对于所求抛物线对称轴上的 一点E,设△EBO 的面积为S1,菱形 ABCO 的面积为S2,当S1≤ 1 4S2 时,求点E 的纵坐 标n 的取值范围. (3)如图2,D (0,- 5 2 ) 为y 轴上一点 ,连 接AD.动点P 从点O 出发,以 5 5 个单位/秒 的速度沿OB 方向运动,1秒后,动点Q 从点 O 出发,以2个单位/秒的速度沿折线 O— A—B 运动.设点P 运动时间为t秒(0<t≤ 6),是否存在实数t,使得以P,Q,B 为顶点的 三角形与△ADO 相似? 若存在,求出相应的 t值;若不存在,请说明理由. 65 2.解:(1)y=-5x+100; (2)设每天所获销售利润为 w 元,则 w=(40-30+x)(-5x+100)=-5(x-5)2+ 1125.∵-5<0,∴抛物线开口向下,在对称轴直线x=5的左侧,w 随x 的增大而增大.∵40+ x≤30(1+40%),∴x≤2.∴当x=2时,w最大值=-5(2-5)2+1125=1080.答:当销售单价定 为42元时,才能使每天所获销售利润最大,最大利润是1080元. 2.5.3 二次函数的综合应用 1.解:(1)由题意,得- 1 4× (-2)2+(-2)+c=0,解得c=3, ∴抛物线的解析式为y=- 1 4x 2+x+3. (2)①连接CM,DM,易证OC,DE 都是☉M 的切线, ∴∠DCM +∠CDM = 1 2 (∠OCD +∠EDC)= 1 2×180°=90° ,∴∠CMD =90°, ∴∠CMO+∠DME=90°,∵∠OCM+∠CMO=90°,∴∠OCM=∠DME, ∵∠COM=∠DEM=90°,∴△OCM∽△EMD,∴ OC ME= OM DE ,∴OC·DE=ME·OM, 设点D 的横坐标为t,则OM=ME= 1 2t ,DE=- 1 4t 2+t+3, ∵抛物线y=- 1 4x 2+x+3与y 轴的交点为C(0,3), ∴OC=3,∴3× (-14t 2+t+3)=12t· 1 2t ,整理,得t2-3t-9=0, 解得t1= 3+35 2 >0 ,t2= 3-35 2 <0 (不合题意,舍去), 当t= 3+35 2 时,- 1 4t 2+t+3= 9+35 8 ,故所求点D 的坐标为 (3+352 , 9+35 8 ) . ②存在 (Ⅰ)当存在的点G 在x 轴上方时,如图, ·11· ∵四边形ACGF 是平行四边形,∴CG∥x 轴,∴点C 与点G 关于抛物线的对称轴x=2 对称, ∵点C 的坐标为(0,3),∴点G 的坐标为(4,3); (Ⅱ)当存在的点G 在x 轴下方时,如图,过点G 作GH⊥x 轴于点H, ∵四边形ACFG 是平行四边形,∴GH=CO=3, ∴点G 的纵坐标为-3,∴- 1 4x 2+x+3=-3,即x2-4x-24=0, 解得x1=2+27,x2=2-27,∴点G 的坐标为(2+27,-3)和(2-27,-3), 综上所述,满足题目条件的点G 有3个,分别为(4,3),(2+27,-3),(2-27,-3). 2.解:(1)y= 1 6x 2- 5 6x ; (2)解法一:设BC 交y 轴于点G,则S2=OG·BC=20,∴S1≤5, 又OB 所在直线的解析式为y=2x,OB= OG2+GB2=25, ∴当S1=5时,△EBO 的OB 边上的高为 5, 如图1, 图1 设平行于OB 的直线为y=2x+b,则它与y 轴的交点为M(0,b),与抛物线对称轴x= 5 2 ·21· 交于点E (52,n) .过点O 作ON⊥ME 于N,若ON= 5,由△MNO∽△OGB 得OM=5, 所以y=2x-5, 由 y=2x-5 x= 5 2 ì î í ï ï ïï ,得y=0,即点E (52,0) . ∵与OB 平行且到OB 的距离为 5的直线有两条, ∴由对称性,得另一条直线为y=2x+5,得点E'(52,10) . 由题意得,n 的取值范围为:0≤n≤10,且n≠5. 解法二:如图2,抛物线的对称轴l 为x= 5 2 ,延长OB 交l于点T,延长CB 交l于点H, 直线l与x 轴交于点F, 图2 当点E 在OT 的上方时,点E (52,n) . S1=S△EOF-S△EBH-S梯形HBOF= 1 2× 5 2×n- 1 2× 1 2 (n-4)- 1 2×4× ( 1 2+ 5 2 )=n-5, 当S1≤5时,即n-5≤5,n≤10. 由对称性,点E (52,10) 关于点T ( 5 2 ,5) 的对称点为E'(52,0),由题意,n≥0,所以n 的 取值范围为:0≤n≤10,且n≠5. (3)如图3,动点P,Q 按题意运动时,当1<t<3.5时,OP= 5 5t ,BP=25- 5 5t , 图3 ·31· OQ=2(t-1),连接QP,当QP⊥OP 时,有 PQ OQ= 2 5 ,∴PQ= 4 5 (t-1), 若PQ PB= 1 2 ,则有PQ PB= OD OA ,又∠QPB=∠DOA=90°,∴△BPQ∽△AOD, 此时,PB=2PQ,即25- 5 5t= 8 5 (t-1),10-t=8(t-1),∴t=2, 若PB PQ= 1 2 ,则有PB PQ= OD OA ,又∠BPQ=∠DOA=90°,∴△BPQ∽△DOA, 此时,PQ=2PB,即 4 5 (t-1)=2(25- 55t),4t-4=20-2t,∴t=4(不合题意,舍去). 当3.5≤t≤6时,QB=10-2(t-1)=12-2t,连接QP, 当QP⊥BP 时,则有∠PBQ=∠ODA,∠QPB=∠DOA=90°,所以△BPQ∽△DOA, 此时,BQ= 5PB,即12-2t= 5(25- 55t), 12-2t=10-t,∴t=2(不合题意,舍去), 当QP⊥BQ 时,同理△BPQ∽△DAO,此时PB= 5BQ, 即25- 5 5t= 5 (12-2t),所以t= 50 9 , 所以符合条件的t值为:t1=2,t2= 50 9. 第3章 直线与圆 3.1 相似形 3.1.1 平行线分线段成比例定理 1.解:设BF=xcm,∵DE∥BC,∴ DE BC= AD AB ,∴ x x+2= 5 8 ,x= 10 3 ,即BF= 10 3cm. 2.解:∵ AB AC= BD DC= 5 4 ,BD+DC=BC=7cm,∴BD= 35 9cm. 3.(1)证明:如图1,过点B 作BE∥AC 交AD 延长线于点E. ∵BE∥AC,∴∠E=∠CAE,∵∠BAE=∠CAE,∴∠BAE=∠E,∴BA=BE,∵BE ∥AC,∴△BDE∽△CDA,∴ BE AC= BD CD ,∴ AB AC= BD DC. ·41·