2.5.2 二次函数的极值-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

V-1y-r-2r-3 ① ② (2)开口向下;对称轴为直线x一3;顶点坐标为(3,10);当x一3时,函数有最大值y-10 当x<3时,v随着x的增大而增大;当x>3时,v随着x的增大而减小,其图像如图②所示 _ 2.(1)解:由题意得△-[-(2-3)]2-4(^2十1)>0,解得的取值范围是 < 0.<0. (3)解:设A(x,0),B(x,0),由(2)知x<0,x<0,.OA=-x,OB=-x.OA十 $$B=-(t+t=-(2k-3),OA·OB= ·x=*+1,.OA+OB=2OA·OB-3,$$$ fa十十c-0 (a--2 3. 解:由题意有 ,得“ ,则f(x)=-2bx*十bx十b.方程f(x)十5x十 c一 3=0可化为:-2bx^*}+(6+5)x+(b+3)=0,△=(b+5)}+8b(b+3)=0,解得:b=-1或 25 # ,故函数f(x)的解析式为f(x)一2x2一x一1或f(x)= 0. 2.5.2 二次函数的极值 -,即y--10x十700; (2)由x-100+10y,=-10x+700,得=-100x+7100 (3)w=x(-10x十700)-(-100x+7100) 800 即w--10x*+800x-7100,当x-- -一40时,景点每日获取的利润 2u. 2×(-10) 4ac-b②4×(-10)×(-7100)-800② 最大,w大一 4X(-10) 一8900(元),答:当门票价格为40元时 景点每日获取的利润最大,最大利润是8900元 .10· 2.解:(1)y=-5x十100; (2)设每天所获销售利润为w元,则w=(40-30十x)(-5x十100)=-5(x-5)②}十 1125..一5 0,.'.抛物线开口向下,在对称轴直线x一5的左侧,随x的增大而增大.·.40+ x<30(1+40%),..x2...当x-2时,w最大=-5(2-5)②+1125-1080.答:当销售单价定 为42元时,才能使每天所获销售利润最大,最天利润是1080元 2.5.3 二次函数的综合应用 1.解:(1)由题意,得 .抛物线的解析式为y一一 (2)①连接CM,DM,易证OC,DE都是M的切线. X180{*-90”,.CMD-90. 'CMO+DME-90”,. OCM+ CMO=90{ OCM=DME, 3+3/5 3-3/5 解得t一 20,t一 <o(不合题意,舍去), 。_& 2 3十35 9十35 335 1 59十3/5 当一 ,故所求点D的坐标为( 2 8 2 8 ②存在 (I)当存在的点G在:轴上方时,如图 .11.第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.5.2 二次函数的极值 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像可以看作 是将函数y=ax2 的图像作左右平移、上下平 移得到的,于是,二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)具有下列性质: (1)当a>0时,函数y=ax2+bx+c图 像开口向上;顶点坐标为 (- b 2a ,4ac-b 2 4a ) ,对 称轴为直线x=- b 2a ;当x<- b 2a 时,y 随着 x 的增大而减小;当x>- b 2a 时,y 随着x 的 增大 而 增 大;当 x=- b 2a 时,函 数 取 最 小 值y= 4ac-b2 4a . (2)当a<0时,函数y=ax2+bx+c图 像开口向下;顶点坐标为 (- b 2a ,4ac-b 2 4a ) ,对 称轴为直线x=- b 2a ;当x<- b 2a 时,y 随着 x 的增大而增大;当x>- b 2a 时,y 随着x 的 增大 而 减 小;当 x=- b 2a 时,函 数 取 最 大 值y= 4ac-b2 4a . 【例1】 当-2≤x≤2时,求函数y=x2-2x -3的最大值和最小值. 【分析】 作出函数在所给范围的及其对称轴 的草图,观察图像的最高点和最低点,由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相 应自变量x 的值. 【解】 作出函数的图像.当x=1时,ymin= -4,当x=-2时,ymax=5. 【例2】 当1≤x≤2时,求函数y=-x2-x +1的最大值和最小值. 【解】 作出函数的图像.当x=1时,ymax= -1,当x=2时,ymin=-5. 【说明】 由上述两例可以看到,二次函数在自 变量x 的给定范围内,对应的图像是抛物线 上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的 最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给 自变量x 范围内的图像形状各异.下面给出 一些常见情况: 【例3】 当t≤x≤t+1时,求函数y= 1 2x 2- x- 5 2 的最小值(其中t为常数). 15 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 【分析】 由于x 所给的范围随着t的变化而 变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对 位置. 【解】 函数y= 1 2x 2-x- 5 2 的对称轴为x=1. 画出其草图. (1)当对称轴在所给范围左侧,即t>1时: 当x=t时,ymin= 1 2t 2-t- 5 2 ; (2)当对称轴在所给范围之间,即t≤1≤ t+1⇒0≤t≤1时: 当x=1时,ymin= 1 2×1 2-1- 5 2=-3 ; (3)当对称轴在所给范围右侧,即t+1< 1⇒t<0时: 当x=t+1时,ymin= 1 2 (t+1)2-(t+1) - 5 2= 1 2t 2-3. 综上所述:ymin= 1 2t 2-3,t<0 -3,0≤t≤1 1 2t 2-t- 5 2 ,t>1 ì î í ï ï ï ï ï ï ïï 【例4】 某商品的进价为每件20元,售价为 每件25元时,每天可卖出250件.市场调查反 映:如果调整价格,一件商品每涨价1元,每天 要少卖出10件. (1)求出每天所得的销售利润 w(元)与 每件涨价x(元)之间的函数关系式. (2)求销售单价为多少元时,该商品每天 的销售利润最大. (3)商场的营销部在调控价格方面,提出 了A,B 两种营销方案. 方案A:每件商品涨价不超过5元; 方案B:每件商品的利润至少为16元. 请比较哪种方案的最大利润更高,并说明 理由. 【分析】 (1)每天所得的销售利润 w(元)= 每件的销售利润(25-20+x)(元)×销售 数量. (2)利用顶点坐标公式可求得,也可利用 顶点式求得. (3)利用二次函数的性质解题,先讨论其 二次函数有增减性,再讨论x 的取值,最后比 较得出哪种方案的最大利润更高. 【解】 (1)根据题意得: w=(25+x-20)(250-10x), 即:w=-10x2+200x+1250(0≤x≤ 25). 或w=-10(x-10)2+2250(0≤x≤ 25). (2)∵-10<0, ∴抛物线开口向下,二次函数有最大值, 当x=- b 2a=- 200 2×(-10)=10 时,销售 利润最大,此时销售单价为:10+25=35(元). 答:销售单价为35元时,该商品每天的 销售利润最大. (3)由(2)可知,抛物线对称轴是直线x= 10,开口向下,对称轴左侧w 随x 的增大而增 大,对称轴右侧w 随x 的增大而减小. 方案A:根据题意得,x≤5,∴0≤x≤5. 25 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 当x=5时,利润最大. 最大利润为 w=-10×52+200×5+ 1250=2000(元) 方案B:根据题意得,25+x-20≥16, ∴x≥11. ∴11≤x≤25. ∴当x=11时,利润最大. 最大利润为 w=-10×112+200×11+ 1250=2240(元) ∵2240>2000, ∴综上所述,方案B 最大利润更高. 【说明】 解决二次函数中方案优化问题,一般 都会用到二次函数的增减性,请细心体会其 用法. 1.某旅游景点的门票价格是20元/人,日接 待游客500人,进入旅游旺季时,景点想提高门 票价格增加盈利.经过市场调查发现,门票价格 每提高5元,日接待游客人数就会减少50人.设 提价后的门票价格为x(元/人)(x>20),日接待 游客的人数为y(人). (1)求y 与x(x>20)的函数关系式. (2)已知景点每日的接待成本为z(元),z 与y 满足函数关系式:z=100+10y.求z与x 的函数关系式. (3)在(2)的条件下,当门票价格为多少 时,景点每日获取的利润最大? 最大利润是多 少? (利润=门票收入-接待成本) 2.2022年卡塔尔世界杯足球赛即将举 行,某商店购进一批单价为30元的纪念品,如 果按每件40元出售,那么每天可销售100件. 经市场调研发现,纪念品的销售单价每上涨 1元,其销售量每天相应减少5件,如果每件纪 念品的利润不超过40%,设纪念品的销售单 价上涨x 元,每天销售量为y 件. (1)直接写出y 与x 之间的函数关系式. (2)将纪念品销售单价定为多少,才能使 每天所获销售利润最大? 最大利润是多少? 35