2.5.1 二次函数的图像与二次方程的解-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

2.解::a,③是方程x{-hx十8-0的两相异实根,△-h{}-32>0,解得 >4/②或 -4V2,.a+B-k,-8,a+B>4/2 3. 解:关于x的不等式x}-(a十1)x十a<0,即(x-1)(x一a)<0.当a=1时,不等式即 (x-1)}<0,不等式无解;当a>1时,不等式的解为1 x<a;当a<1时,不等式的解为a r_1. 4.解:(1)设方程x2+2(n-2)x十n②十4=0的根为x1,x。. 则x+x=-2(m-2),xx。=m+4,△-4(m-2)-4(m}+4)0,m<0, .}+x{}-xx。+21,.(x1+x)②-3xx+21. 4(m-2)-3(m②+4)+21,n-16m-17-0..m--1或17(舍),即m=-1; (2)设f(x)-x*+2(m-2)x十n②+4 (△-4(n-2)?-4(m*+4)0 0 由题意得:2-n>1 ., m1..n0且n子-1. U/(1)-(n十1)0 7-1 即实数n的取值范围为n<0目n关一1. 2.4.3 分式不等式 1.(1)x<-1或x>1 2.-5 _0 _u0 -20 /-20 3.解:(1) 或 (2)不等式转化为 ,所以x>2或x<-1. 0 >0 2十1>0“ 2十1<0 2.5 二次函数 2.5.1 二次函数的图像与二次方程的解 1.解:(1)开口向上;对称轴为直线x=1;顶点坐标为(1,一4);当x三1时,函数有最小值 y=一4;当x<1时,y随着x的增大而减小;当x>1时,y随着x的增大而增大.其图像如图 ①所示. .9. V-1y-r-2r-3 ① ② (2)开口向下;对称轴为直线x一3;顶点坐标为(3,10);当x一3时,函数有最大值y-10 当x<3时,v随着x的增大而增大;当x>3时,v随着x的增大而减小,其图像如图②所示 _ 2.(1)解:由题意得△-[-(2-3)]2-4(^2十1)>0,解得的取值范围是 < 0.<0. (3)解:设A(x,0),B(x,0),由(2)知x<0,x<0,.OA=-x,OB=-x.OA十 $$B=-(t+t=-(2k-3),OA·OB= ·x=*+1,.OA+OB=2OA·OB-3,$$$ fa十十c-0 (a--2 3. 解:由题意有 ,得“ ,则f(x)=-2bx*十bx十b.方程f(x)十5x十 c一 3=0可化为:-2bx^*}+(6+5)x+(b+3)=0,△=(b+5)}+8b(b+3)=0,解得:b=-1或 25 # ,故函数f(x)的解析式为f(x)一2x2一x一1或f(x)= 0. 2.5.2 二次函数的极值 -,即y--10x十700; (2)由x-100+10y,=-10x+700,得=-100x+7100 (3)w=x(-10x十700)-(-100x+7100) 800 即w--10x*+800x-7100,当x-- -一40时,景点每日获取的利润 2u. 2×(-10) 4ac-b②4×(-10)×(-7100)-800② 最大,w大一 4X(-10) 一8900(元),答:当门票价格为40元时 景点每日获取的利润最大,最大利润是8900元 .10·第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.5 二次函数 2.5.1 二次函数的图像与二次方程的解 二次函数y=ax2(a≠0)的图像可以由y =x2 的图像各点的纵坐标变为原来的a 倍得 到.在二次函数y=ax2(a≠0)中,二次项系 数a 决定了图像的开口方向和在同一个坐标 系中的开口的大小. 二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图像的开口大小及方向;h 决 定了二次函数图像的左右平移,而且“h 正左 移,h 负右移”;k 决定了二次函数图像的上下 平移,而且“k正上移,k负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函 数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的方法: y=ax2+bx+c=a (x2+ b ax ) +c= a(x2+ b ax+ b2 4a2 ) +c- b2 4a=a (x+ b 2a ) 2 + 4ac-b2 4a . 【例1】 若关于x 的方程m(x+h)2+k=0 (m,h,k 均为常数,m≠0)的解是x1=-3, x2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0的解是 ( ) A.x1=-6,x2=-1 B.x1=0,x2=5 C.x1=-3,x2=5 D.x1=-6,x2=2 【分析】 通过方程的解是x1=-3,x2=2理 解为是函数y=m(x+h)2+k 与x 轴的两个 交点坐标为(-3,0),(2,0),从而把方程问题 转化为函数的平移,根据平移规律找到新的函 数从而求出方程 m(x+h-3)2+k=0的 两根. 【解】 将方程 m(x+h)2+k=0(m,h,k 均 为常数,m≠0)的解是x1=-3,x2=2这层意 义理解为是函数y=m(x+h)2+k 与x 轴的 两个交点坐标为(-3,0),(2,0),而方程m(x +h-3)2+k=0的两根可以看作是函数y= m(x+h-3)2+k 与x 轴的两个交点.而这两 个函数的关系是第一个函数向右平移了3格, 所以对应的交点应该为(0,0),(5,0),所以对 应的方程的两个根为x1=0,x2=5,所以选B. 【说明】 抛物线平移后二次项系数不变,解决 抛物线平移分代数法和几何法,其中代数法 是:抛物线的平移遵循“左加右减,上加下减” 的原则,据此,可以直接由解析式中常数的加 或减求出变化后的解析式;几何法是:通过画 图的方法,根据图中顶点坐标的变化,写出变 化后的解析式的顶点式. 【例2】 小明从右图的二次 函数y=ax2+bx+c 图像 中,观察得出了下面的五条 信息:①a<0,②c=0,③函 数的最 小 值 为-3,④当 x<0时,y>0, ⑤当0<x1<x2<2时,y1>y2.你认为其中 正确的个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【分析】 本题考查了二次函数的相关知识,观 94 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 察图像可知a>0,故①错误;因为函数图像经 过原点,故c=0,②正确;③正确;④正确;⑤二 次函数开口向上时,对称轴的左边,y 随x 的 增大而减小,故⑤正确. 【解】 C 【例 3】 如 图,二 次 函 数 y=ax2+bx+3的图像经过 点A(-1,0),B(3,0),则一 元二次方程ax2+bx=0的 根是 . 【分析】 把点的坐标代入到二次函数的解析 式中,确定a 和b,进一步确定一元二次方程, 再解一元二次方程. 【解】 因为点A(-1,0),B(3,0)在二次函数 y=ax2+bx+3的图像上, 所以有 a-b+3=0 9a+3b+3=0{ , 解得 a=-1 b=2{ . 一元二次方程ax2+bx=0为-x2+2x =0. 解得x1=0,x2=2. 【说明】 方程ax2+bx=0的根,可以看成是 函数y=ax2+bx 与x 轴的交点横坐标,而y =ax2+bx 又可以看成是由y=ax2+bx+3 向下平移3个单位得到的,在平移过程中,坐 标轴不变,所以可以根据对称性求其与x 轴 交点坐标. 1.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶 点坐标、最大(小)值及y 随x 的变化情况,并 画出其图像. (1)y=x2-2x-3 (2)y=1+6x-x2 2.已知关于x 的方程x2-(2k-3)x+k2 +1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围. (2)试说明x1<0,x2<0. (3)若抛物线y=x2-(2k-3)x+k2+1 与x 轴交于A,B 两点,点A、点B 到原点的 距离分别为OA,OB,且OA+OB=2OA· OB-3,求k的值. 3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a ≠0),且函数图像过点(1,0).若函数图像的对 称轴方程为x= 1 4 ,方程f(x)+5x+3=0有 两个相等的实数根,求此二次函数的解析式. 05