2.4.3 分式不等式-【暑假大串联】2024-2025学年初升高数学衔接教材

2.解：，α，3是方程x2一kx十8=0的两相异实根，.△=k2一32>0，解得k>4√2或k< -42,.a+3=k,a3=8,.a+3|>4W2. 3.解：关于x的不等式x2-(a+1)x十a<0,即(x一1)(x一a)<0.当a=1时，不等式即 (x-1)2<0,不等式无解；当a>1时，不等式的解为1<x<a;当a<1时，不等式的解为a< x<1. 4.解：(1)设方程x2十2(m一2)x十m2十4=0的根为x1,x2, 则x1十x2=一2(m一2)，x1x2=m2十4，△=4(m一2)2一4(m2+4)≥0，.m≤0， ,'x月十x员=x1x2十21，.(x1十x2)2=3x1x2十21， 4(m-2)2=3(m2+4)十21，.m2-16m-17=0,.m=-1或17（舍），即m=-1: (2)设f(x)=x2十2(m一2)x十m2十4， [△=4(m-2)2-4(m2+4)≥0 「m0 由题意得：2-m>1 m<1,∴.m≤0且m≠一1， f(1)=(m+1)2>0 m≠一1 即实数m的取值范围为m≤0且m≠一1. 2.4.3分式不等式 1.(1)x≤-1或x> 1(2)<2或>3(3)<-2或x>0（0x>-号2.k=5 a>0 3.解：(1) 02不等式转化为一20或一20 ,所以x>2或x<-1. 1b<0b>0 x+1>0x+1<0 （3)不等式转化为0<：-3<x一2或x-3<3-2<0,所以z>3度名<：<号 2.5二次函数 2.5.1二次函数的图像与二次方程的解 1.解：(1)开口向上；对称轴为直线x=1:顶点坐标为(1，一4)：当x=1时，函数有最小值 y=一4；当x<1时，y随着x的增大而减小：当x>1时，y随着x的增大而增大.其图像如图 ①所示 9。第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 2.4.3 分式不等式 分母中含有字母的不等式,称为分式不 等式. 【例1】 解下列不等式: (1) 2x-3 x+1<0 (2) x+3 x2-x+1≥0 【分析】 (1)类似于一元二次不等式的解法, 运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等 式组处理;或者因为两个数(式)相除异号,那 么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式 直接转化为整式不等式求解. (2)注意到经过配方,分母实际上是一个 正数. 【解】 (1)解法一:原不等式可化为: 2x-3<0 x+1>0{ 或 2x-3>0 x+1<0{ ⇒ x< 3 2 x>-1 ì î í ï ï ï ï 或 x> 3 2 x<-1 ì î í ï ï ï ï ⇒-1<x< 3 2. 解法二:原不等式可化为:(2x-3)(x+ 1)<0⇒-1<x< 3 2. (2)∵x2-x+1= (x- 1 2) 2 + 3 4>0 原不等式可化为:x+3≥0⇒x≥-3. 【例2】 解不等式: 1 x+2≤3. 【解】 原不等式可化为: 1 x+2-3≤0⇒ -3x-5 x+2 ≤0⇒ 3x+5 x+2≥0⇒ (3x+5)(x+2)≥0 x+2≠0{ ⇒x<-2或x≥- 5 3 【说明】 (1)转化为整式不等式时,一定要先 将右端变为0. (2)本例也可以直接去分母,但应注意讨 论分母的符号: 1 x+2≤3⇒ x+2>0 3(x+2)≥1{ 或 x+2<0 3(x+2)≤1{ ⇒ x>-2 x≥- 5 3 ì î í ï ï ï ï 或 x<-2 x≤- 5 3 ì î í ï ï ï ï ⇒x≥ - 5 3 或x<-2. 【例3】 解不等式: 2 x>x-1. 【分析】 看似一个非常简单的不等式,但是分 母中含有字母.用正常的去分母的方法是思路 之一,从另一方面看,不等式左边是一个反比 例函数的形式,右边是一次函数的形式,从函 数的角度出发亦为解题的另一种思路. 【解法一】 代数法 先讨论x 的正负: ①当x>0时,不等式两边都乘x 得2> x2-x,x2-x-2<0,(x-2)(x+1)<0,解 得:-1<x<2,所以0<x<2. ②当x<0时,不等式两边都乘x 得2<x2 -x,x2-x-2>0,(x-2)(x+1)>0,解得:x< -1或x>2,所以x<-1. 综合①②得不等式的解集是0<x<2或 x<-1. 【解法二】 函数图像法 74 第 二 部 分 数 学 基 础 知 识 设y1= 2 x ,y2=x-1,画 出y1,y2 在同一平面直角坐 标系 内 的 图 像(如 图),联 立 y1= 2 x 和y2=x-1,易求得其 交点坐标分别为 A(-1,-2)和B(2,1).通过 观察图像可得当0<x<2或x<-1时,y1> y2,即不等式的解集是0<x<2或x<-1. 【说明】 纵观两种不同的求解方法,代数法能 充分体现数学的思维严谨性,函数图像法却能 在直观上让人容易理解和接受,体现函数思想 在解题中的应用,望同学们根据自身的情况选 取适合自己的解题方法! 1.解下列不等式: (1) x+1 x-1≥0 (2) 3x+1 2x-1<2 (3) 2 x>-1 (4) 2x2-x+1 2x+1 >0 2.若不等式 x+2 k >1+ x-3 k2 的解是x> 3,求k的值. 3.自学下面材料后,解答问题. 分母中含有未知数的不等式叫分式不等 式.如: x-2 x+1>0 ;2x+3 x-1<0 等.那么如何求出 它们的解集呢? 根据我们学过的有理数除法 法则可知:两数相除,同号得正,异号得负.其 字母表达式为: 若a>0,b>0,则 a b>0 ;若a<0,b<0, 则a b>0 ; 若a>0,b<0,则 a b<0 ;若a<0,b>0, 则a b<0. (1)反之:若 a b>0 ,则 a>0 b>0{ 或 a<0 b<0{ 若a b<0 ,则 或 . (2)根据上述规律,求不等式 x-2 x+1>0 的 解集. (3)求分式不等式 x2+1 x-3> x2+1 3x-2 的解集. 84